功能梯度材料梁在后屈曲構形附近的自由振動

李清祿，李世榮

(蘭州理工大學 理學院，蘭州 730050)

眾所周知，當壓力超過臨界值后，梁將產生超出原直線平衡狀態的后屈曲［1，2］。從梁的振動理論可知，軸向力的作用將會對梁橫向振動的固有頻率產生影響，因此研究彈性直梁在屈曲前后的自由振動具有現實的工程背景。文獻［3，4］已對軸向力作用下均質彈性直梁在屈曲前的橫向自由振動進行了研究。功能梯度材料(functionally graded material，FGM)是一種非均質復合材料［5］，在航空航天、汽車、生物及核工業等領域有廣闊的應用前景。同時，由于該種材料在結構中各組分呈連續變化，不存在明顯的界面與性能的突變，因此具有優于一般層疊型功能材料的特性。近年來，FGM結構已引起國際學術界的廣泛關注［6-8］。由彈性穩定性線性理論可知，結構在面內載荷作用下一階固有頻率為零時意味著結構發生分岔失穩。但結構進入后屈曲狀態后還會表現出繼續承受橫向載荷的能力，此時其自振頻率如何變化，特別是在后屈曲構形附近各階頻率如何變化，目前還缺少定量的研究結果。對于均勻梁在后屈曲附近的自由振動問題以后一些研究結果，文獻［9］根據可伸長梁的幾何非線性理論，建立了加熱彈性梁振動的動力學方程，研究了梁在基本熱過屈曲構形附近的各階小振幅振動模態及其頻率響應，并給出了頻率與升溫參數的關系曲線。文獻［10］建立了軸向載荷作用下彈性梁橫向振動的動力學方程，研究了梁在基本過屈曲構形附近的各階小振幅振動模態及其頻率響應，給出頻率與軸向力參數的關系曲線。

本文在上述文獻的基礎上，根據可伸長梁的幾何非線性理論，建立FGM梁在軸向載荷作用下的幾何非線性動力學控制方程，然后，在小振幅振動假設下將控制方程進行線性化處理，得到FGM彈性梁在后屈曲構形附近微幅振動的控制方程。采用打靶法數值求解所得強非線性邊值問題，獲得一端可移簡支一端固定的FGM Euler梁在后屈曲構型附近的頻率響應，給出頻率與軸向力參數的特征關系曲線。

1 問題的數學模型

考慮由功能梯度材料制成的Euler梁，初始長度為l，寬度為b，厚度為h。其一端可移簡支、一端固定，受水平壓力p作用。上表面為純陶瓷，下表面為純金屬，中間是由陶瓷到金屬的連續過渡。假設功能梯度梁的物性參數沿厚度按冪函數形式連續變化。

1.1 本構方程

假設陶瓷材料的體積分數為:

FGM的等效物性參數可表示為:

其中Xc及Xm分別表示陶瓷和金屬材料的物性參數，n稱為FGM的梯度指標。

由Kirchhoff平截面假設，橫截面上任意一點的正應變為:

其中R為軸線伸長率。

應力應變表示為:

其中E(y)為FGM梁的彈性模量，由式(4)可得FGM梁的彈性模量為:

其中Ec和Em分別為陶瓷材料和金屬材料的彈性模量。

軸力N和彎矩M分別為:

1.2控制方程

將慣性力看作分布載荷，可得FGM梁在對稱平面內自由振動的動力學控制方程:

其中:t為時間變量;x為水平坐標，與梁未變形時的軸線重合;u(x，t)和w(x，t)分別為軸線上物質點在水平和鉛直方向的位移;θ(x，y)為變形后軸線切線與軸的夾角;H(x，t)和V(x，t)分別為內力合力在水平和鉛垂方向的分量;M為彎矩;I0，I1分別為梁軸線伸長后單位長度的質量分布和單位長度的轉動慣性矩;R為軸線伸長率。

其中:

引入無量綱變換:

可得無量綱控制方程:

方程(11)為軸向力作用下FGM Euler梁幾何非線性自由振動的動力學控制方程精確數學模型。這是一個包含六個基本未知函數的強非線性偏微分方程的混合問題，其中還考慮了轉動慣性力的影響。

2 過屈曲梁的小振幅自由振動

為了討論梁在靜態過屈曲構形附近的自由振動，先將方程(11)的解表示為:

其中:Us，Ws，θs，Hs，Vs，Ms為梁的靜態后屈曲問題解

2.1 靜態部分控制方程

靜態軸線伸長率Rs為:

2.2 動態部分的控制方程

Ud，Wd，θd，Hd，Vd，Md為梁的振動問題解。這里只研究后屈曲梁的線性振動問題，為此，在振動方程中令sinθd= θd，cosθd=1，并只保留動態響應函數的線性項。并假設線性振動系統的動力響應模式為:

則得FGM屈曲后梁小振幅振動的控制方程:

如果令Hs=0，Us=Ws=θs=Vs=Ms=0，則上述方程退化為屈曲前梁的線性振動問題。

2.3 邊界條件

靜態后屈曲問題及其振動問題的邊界條件為:

3 數值方法及結果

采用打靶法［7］求上述邊值問題的數值解。將方程(12)和(14)聯立求解，同時獲得后屈曲狀態解和振動解，需要求解的基本未知量總共有12個，其中包含頻率參數ω。

在具體數值計算時，取梁的長細比λ=150。圖1給出了一端可移簡支、一端固定的Euler FGM梁在后屈曲構形附近小振幅振動的前三階無量綱頻率ω與軸向力P之間的特征關系曲線，其中虛線表示屈曲前的情況，實線表示屈曲后的情況。

結果表明，在屈曲前FGM梁的前三階頻率均隨無量綱載荷單調遞減，這是由于軸向壓力的存在使梁的撓度增加，相當于減少了梁的剛度，使固有頻率降低。在無量綱軸向壓力達到臨界載荷時，一階振動頻率接近于為零，但二階以上頻率在梁的臨界失穩狀態不為零。因為只有軸向載荷達到與振動模態相同的屈曲模態所對應的載荷特征值時，相應的高階頻率才為零。在相同的載荷下純陶瓷梁(n=0)的固有頻率最大，純金屬(n→∞)梁的固有頻率最小，功能梯度材料梁的固有頻率介于兩者之間，且呈現相同的變化趨勢。

圖1 前三階無量綱頻率與載荷之間的關系Fig.1 Characteristic relationship between frequency ω and load P

另外，由圖1可見，各階頻率與載荷的特征曲線都在P=Pcr處出現轉折。這是由于結構的靜態平衡構形在此處發生了分岔。而分岔點正是結構從原始直線平衡狀態進入曲線平衡狀態的轉折點。從曲線的變化趨勢來看，載荷對一階頻率的影響最為明顯。結果表明FGM梁在屈曲前后自由振動頻率受軸向力的影響較大。從變化速率來看，屈曲前二階和三階頻率呈現為近似的線性關系。屈曲后一階頻率先增大然后有降低趨勢，二階頻率先增大然后急劇減小，而三階頻率先減小后增加然后又減小。圖1中在將功能梯度梁退化為均勻各向同性梁的情況下(n=0)可以看出，P=0處各階無量綱頻率分別為 ω1=15.411、ω2=49.923、ω1=104.027，與文獻［11］中結果比較，可以看出兩者十分接近。

4 結論

基于軸線可伸長理論，建立了FGM Euler梁在屈曲構形附近自由振動的幾何非線性精確模型。在小振幅振動的假設下，由一般模型退化得到后屈曲FGM梁線性振動的控制方程。采用打靶法分別獲得了一端可移簡支一端固定FGM梁在屈曲前和屈曲后的前三階無量綱固有頻率隨無量綱載荷變化的特征關系曲線。結果表明:

(1)梁在未屈曲時，各階頻率都隨載荷而單調下降;當載荷達到臨界值時，一階振動頻率為幾乎接近于零;但是，二階以上頻率在臨界載荷處大于零。

(2)屈曲后，一階振動的固有頻率先增大然后有降低趨勢，二階頻率先增大然后急劇減小，而三階頻率先減小后增加然后又減小。

(3)隨著梯度指數的增大，梁的固有頻率降低。上述結果從理論上證明，可以通過控制載荷及其梯度指數的變化來實現對結構自由振動頻率的調節。

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