海洋細長結構參數(shù)激勵不穩(wěn)定區(qū)的確定方法

徐萬海，吳應湘，鐘興福，何 楊，劉培林，馮現(xiàn)洪

(1.天津大學 建筑工程學院，天津 300072;2.中國科學院 力學研究所，北京 100190;3.海洋工程股份有限公司，天津 300451)

21世紀是海洋經(jīng)濟時代，隨著世界經(jīng)濟的快速發(fā)展，能源短缺問題日益突出，由于陸上及近海的石油資源日益枯竭，深海油氣開發(fā)已成為各國能源戰(zhàn)略的重點。根據(jù)不同的海洋環(huán)境及經(jīng)濟方面的考慮，會采取不同的平臺開采方案，如張力腿平臺(TLP)，SPAR平臺，半潛平臺等。不論海洋油氣開發(fā)采用何種平臺方案，張緊式細長柔性結構如立管、張力腿等都會在其中扮演重要的角色。立管是進行深水油氣開采必不可少的設備，它連接海底礦藏與海面的作業(yè)平臺，進行鉆探、導液和泥漿等工作。張力腿一般為圓柱形結構，是連接張力腿平臺與海底錨固基礎的關鍵部件，提供平臺本體必要的結構剛度。立管與張力腿結構形式有很大的相似之處，最大的不同就是立管的軸向預張力比張力腿小，同時立管內部有流體流動［1］，如果忽略內流影響，兩種結構的動力響應分析方法是一致的。

張力腿等細長的海洋工程結構，主要受到兩種外部激勵形式的作用，一種是平臺縱蕩而產生的受迫振動，第二種是平臺垂蕩引起的參數(shù)振動［2，3］。前人的研究工作主要集中在兩方面:一種是將張力腿簡化為線性Euler-Bernoulli梁模型，同時考慮平臺縱蕩和垂蕩激勵作用［2，3］;另一種是把張力腿看成非線性梁結構，為了簡單起見，僅考慮平臺的垂蕩激勵［4，5］。上述的兩種簡化方法，最終得到張力腿參數(shù)振動的控制方程均為Mathieu方程。當采用非線性梁模型，同時考慮平臺垂蕩與縱蕩共同作用，研究張力腿的非線性動力響應還很少見。綜合地考慮軸向與流向的非線性因素及耦合效應時，張力腿參數(shù)振動的控制方程不再是Mathieu方程，而變?yōu)楦话愕?Hill方程［6］。

本文的主要目的是給出不同情況下，Hill方程不穩(wěn)定區(qū)的確定方法，同時比較不同方法之間的不同之處，并給出各自的適用范圍。

1 控制方程

張力腿被簡化為兩端簡支的梁結構，假設頂端平臺的運動是關于時間的簡諧函數(shù)，采用Han和Benaroya［7］提出的非線性模型，忽略轉動慣量和扭轉效應的影響，應用Galerkin法和模態(tài)展開原則，得到描述張力腿等細長的海洋工程結構參數(shù)激勵系統(tǒng)的無量綱Hill方程［6］:

Ua，Va分別為平臺垂蕩和縱蕩的幅值，L為張力腿的長度。

2 Hill方程的不穩(wěn)定區(qū)域確定方法

Hill方程的解會根據(jù)不同的δ，ε和M組合而變得穩(wěn)定或者不穩(wěn)定。由于水動力阻尼的存在，張力腿等一般不會發(fā)生參數(shù)失穩(wěn)。但在不穩(wěn)定區(qū)內，張力腿的動力響應幅值明顯大于穩(wěn)定區(qū)域內的結果，所以確定Hill方程不穩(wěn)定區(qū)域是十分必要的。關于不穩(wěn)定區(qū)的分析有很多種方法，其中攝動方法和傅里葉分析是比較常用的。

2.1 變形參數(shù)法［8］

令:

將式(4)代入Hill方程式(1)，根據(jù)ε的階次整理:

方程(5)的解必須是周期為π或2π的周期函數(shù):

因此:

由于變形參數(shù)法確定Hill方程不穩(wěn)定區(qū)時，隨著n數(shù)值的增加計算量會變得相當可觀。在此只討論n=0，1，2 的情況。

(1)n=0時

δ0=0，有v0=a，于是:

v1必須是周期的，因此δ1=0，化簡求解式(10)，并將v1代入式(7)中:

其中NST為長期項，消去長期項，得到邊界曲線為:

(2)n=1時

當n≠0時，方程(5)的通解為:

把式(13)代入式(6):

當n=1時，消去式(14)中的長期項:

消去式(17)中的長期項，邊界曲線為:

消去式(19)的長期項，邊界曲線為:

(3)n=2時

當n=2時，消去式(14)中的長期項:

消去式(23)中的長期項，邊界曲線為:

消去式(25)中的長期項，邊界曲線為:

2.2 改進的變形參數(shù)法

應用變形參數(shù)法進行穩(wěn)定區(qū)域的理論分析時，必須滿足ε?1，很多情況下，ε?1的假設并不滿足，所以傳統(tǒng)的變形參數(shù)法已經(jīng)不再適用。很多學者對該方法進行了改進［9，10］，改進的變形參數(shù)法可以用來確定參數(shù)激勵的幅值不是很小的Hill方程不穩(wěn)定區(qū)。

設δ是ε的多項式函數(shù)，即:

式中:δ0，ω1，ω'2，ω'3，…均為任意常數(shù)。由于 ε 可以不是小量，引入一個新的小參數(shù):

于是式(27)可以寫成:

式中:δ0，ω1，ω2，ω3，…均為任意常數(shù)。

令:

把ε，δ，v的表達式代入式(1)中，比較α的同次冪項系數(shù):

運用變形參數(shù)法確定參數(shù)振動不穩(wěn)定區(qū)相同的公式推導方法，最終得到相應的邊界曲線表達式:

(1)n=0時

邊界曲線為:

(2)n=1時

為消除方程中的長期項，需滿足如下關系式:

邊界曲線為:

邊界曲線為:

(3)n=2時

為消除方程中的長期項，需滿足如下關系式:

邊界曲線為:

邊界曲線為:

2.3 傅里葉分析法

當δ和ε是小參數(shù)時，Hill方程的不穩(wěn)定區(qū)域根據(jù)攝動方法可以獲得，但是實際的海洋環(huán)境條件下，δ和ε不再是小參數(shù)，變形參數(shù)方法不再適用，而改進的變形參數(shù)方法僅僅能分析ε～1的情況，大參數(shù)情況下同樣不適用。所以需要采用傅里葉分析法來確定Hill方程不穩(wěn)定區(qū)域。

當δ是方程(1)的可列特征值時，下面的周期解滿足式(1)［11］

把方程(44)、(45)、(46)和(47)代入式(1)，相應的cos(2nτ)，cos(2n+1)τ，sin(2nτ)和 sin(2n+1)τ 各項前面系數(shù)等于0，經(jīng)過整理，得到無窮項的行列式關系如下:

可以根據(jù)實際工程設計需要，截取有限項n，應用簡單的數(shù)值方法可以得到Hill方程的不穩(wěn)定區(qū)圖像。

3 Hill方程的不穩(wěn)定區(qū)圖像

應用MATLAB軟件畫出變形參數(shù)法以及改進的變形參數(shù)法得到的Hill方程不穩(wěn)定區(qū)，分別取M=0，M=0.25，M=0.5，圖1和圖2分別給出了用上述兩種攝動方法得到的Hill方程的前3階不穩(wěn)定區(qū)。

然后給出傅里葉分析方法獲得的不穩(wěn)定區(qū)。為了簡化計算過程，同時保證最終結果的正確性和足夠的精度，截取式(48)～式(51)中的有限10項，分別取M=0，M=0.25，M=0.5，應用 MATLAB 軟件編程，畫出大參數(shù)情況下方程(1)的不穩(wěn)定圖，δ和ε的取值范圍限定在0到20，圖3給出了Hill方程(1)的前3階不穩(wěn)定區(qū)。對比圖1、圖2和圖3可以發(fā)現(xiàn)，大參數(shù)情況下，Hill方程(1)的不穩(wěn)定區(qū)相比于小參數(shù)情形，具有明顯的不同。

4 結論

本文給出了三種不同的確定Hill方程不穩(wěn)定區(qū)方法、分別為變形參數(shù)法、改進變形參數(shù)法及傅里葉分析法，通過對三種方法優(yōu)缺點的對比，可以得到如下結論:

(1)參數(shù)激勵系統(tǒng)的控制方程是小參數(shù)的Hill方程時，可以采用變形參數(shù)法、改進變形參數(shù)法分析其不穩(wěn)定特性，分析結果具有較高的精度。但計算量會隨著不穩(wěn)定區(qū)階數(shù)的提高，變得十分巨大。

(2)參數(shù)激勵系統(tǒng)的控制方程不是小參數(shù)的Hill方程時，需要采用傅里葉分析法討論其解的不穩(wěn)定性，實際計算表明，傅里葉分析法可以根據(jù)需求得到高階不穩(wěn)定區(qū)，并且其思路簡單，計算量不大，建議在張力腿、立管等細長海洋結構的設計計算過程中采用。

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