連續線性-混沌混合隔振裝置設計與研究

陶為俊，浣 石，朱石堅，李曉勇

(1.廣州大學 工程抗震研究中心，廣州 510405;2.海軍工程大學 振動與噪聲研究所，武漢 430033)

近年來，關于非線性隔振系統在各個領域受到廣泛的重視，并得到普遍的應用［1-7］。非線性隔振系統存在許多迥異于線性系統的特殊性能，如共振曲線的偏移與突跳、在一定參數下可呈現混沌運動特征、內共振、吸引子共存等，這些可以用來實現線性系統無法實現的某些功能。研究表明:系統在混沌狀態下具有很好的隔振性能以及能大幅度隔離結構噪聲中的線譜成分，因此在艦艇等動力設備的隔振上有著廣泛的應用前景［1］。

自從ueda［2］對Duffing方程的研究以來，非線性隔振系統在簡諧激勵下能夠出現混沌響應［3-5］。朱石堅［6-8］等對非線性混沌響應進行了許多的研究，提出了混沌隔振方法，且做了相應的理論、計算與實驗，證實了混沌隔振在被動隔振中的可行性，特別是在消除線譜激勵上有明顯的優勢。然而，混沌隔振需要在非線性條件下才能夠很好的工作，強的非線性對隔振系統進入混沌狀態是十分有利的。

基于上述原因，本文設計出連續線性混沌隔振裝置，對其力-位移曲線中線性項與非線性項進行了分析。以及利用數值計算對特定參數下的隔振裝置在簡諧激勵力作用下的動力學特性進行分析，說明隔振裝置具有很好的隔離線譜的能力。該裝置的研究對其在混沌隔振中的應用具有一定的實際意義。

1 隔振裝置

1.1 幾何模型

分段線性能夠很好的實現混沌，并且已有一定的應用［9-11］，理論上而言，分段線性隔振系統可以有多個分段，但從工程實現的角度來看，其分段數不可能過多，一般采用雙線性或三分段線性隔振系統。如果系統的分段數(以彈簧為例)可以任意的增多，將彈簧從高到低排列，并將其頂端連接起來，如圖1所示，將線性彈簧用彈性材料來取代，則分段線性隔振系統中包含了無限多的分段彈簧，本文稱為連續線性隔振系統(如圖2所示)。

圖3為設計出的混沌隔振裝置，該隔振裝置主要由三個部分組成:(1)平面板;(2)凹面板;(3)夾心板，其具體功能如下:

(1)平面板:形狀為一長方體，其功能是將上方的任意荷載通過平面板轉化為面荷載，并作用到夾心板上。其剛度要求很大，在隔振裝置設計中不考慮平面板的變形。

圖3 連續線性隔振裝置圖Fig.3 Continuous linear VIS set-up

(2)夾心板:從圖3中YZ平面看，其由左右兩個相同的長方體和中間一個長方體組成。其功能是在上方的面荷載作用下，夾心板發生壓縮變形，在壓縮過程中，夾心板與凹面板接觸面增大，對于每一個接觸部分來說，由于變形很小，認為是線性變形。當接觸的面積不斷增大，使得整體反力不斷提高，從而實現非線性。

(3)凹面板:形狀為一長方體，在其中挖去一個凹槽，凹槽的形狀根據具體的情況來設計。其主要功能是通過上方載荷的大小來實現凹面板與夾心板之間的接觸面積，并提供反力。設計中不考慮凹面板的壓縮變形。

1.2 工作原理

當系統未加任何載荷時，此時夾心板與凹面板的接觸位置為左右兩邊的平臺處。當平面板上方作用一載荷時，平面板向下移動，并將載荷傳遞給夾心板，夾心板將產生壓縮變形，如圖2所示。夾心板材料在整個變形中認為是線性的，即對于每個已經接觸的部分來說，滿足線性關系，但此時夾心板與凹面板的接觸面積隨著載荷的增大而增大，因此，系統的整體剛度也越來越大，從而實現非線性。從隔振裝置外形來看，與三明治類似，因此，此隔振模型又可以簡稱為三明治隔振模型。

1.3 計算模型

圖4 隔振裝置平面圖Fig.4 VIS plan

根據理論設計，凹面間隙最大高度為:

當荷載F在豎直方向上作用在平面板軸心上時，隔振系統此時簡化為一單自由度系統，則根據豎向力平衡有:

由(2)式可以看出，方程中包含n+1次項。k1為方程的線性項系數，主要與參數E、l1、D1、h2有關，因此，線性項完全由夾心板左右兩個長方體的尺寸決定。對于隔振系統的一次項剛度的調節可以通過夾心板左右兩個長方體的尺寸來調節。例如，將夾心板材料模型取為橡膠材料模型，其彈性模量一般介于幾個MPa到幾十個MPa之間，其幾何模型參數分別為h2=0.01 m，D1=0.1 m，l1=0.1 m。通過計算，上述參數下模型的一次項剛度至少可以達到107，而這個剛度完全能夠滿足大部分隔振設備的需要;kn+1為方程的非線性項系數，主要與參數E、D、h2有關，還與凹槽線形有關，對于確定的凹槽來說，其主要由中間長方體尺寸決定，因此，非線性項系數可以通過夾心板中間長方體的幾何尺寸來調整。例如取 α =0.01，n=2，則 α-n=104，h2=0.01 m，D=1 m，則非線性項系數可以達到1012。而根據k1、kn+1的計算公式可以看出，整體剛度的變化主要通過彈性模量E，寬度D、D1，厚度h2的調整。

根據公式(3)可以看出，當壓縮位移大于zmax時，凹槽與上面的彈性材料完全接觸，則此時系統變為一個線性系統，其剛度由于凹槽存在，使得隔振裝置計算中出現了一個附加值P。

根據k1、kn+1比例可以有下面的關系:

從式(4)可以看出，當0＜α＜1時，α-n＞1，適當減小α，增大指數n則可以增大α-n，從而增大了kn+1與k1的比例系數。但指數n與系數α在工程實際中是有限的，n不能太大，α也不能夠太小，一般取α=0.01，n=2 ～4，則 α-n=104～108，則kn+1?k1，其比例關系還可以通過夾心板寬度D1、D來進一步調節。因此，從理論分析來看，隔振裝置整體的剛度可以通過上述參數的調節達到工程需要，且k1、kn+1的比例關系也可以通過參數的改變來達到預計比例。

根據上述理論分析，本文就連續線性隔振裝置選擇一定的參數，選擇的模型幾何參數為:E=5×106Pa，D=0.3 m，l1=0.1 m，D1=0.01 m，l2=0.3 m，h2=0.01 m，n=2，α =0.01，l=0.8 m，H=0.03 m，h1=0.02 m。利用理論進行計算，隔振裝置的凹槽部分的線形如圖5所示，凹槽最大間隙為5.447 mm，而這個凹槽的線形在工程制作中也是可以簡單實現的。隔振裝置在靜力情況下的力-位移曲線如圖6所示，其一、三次項剛度系數分別為 1.0 ×106，1.0 ×1012。

2 隔振系統裝置

根據上述連續線性隔振裝置模型，將此隔振裝置應用在具體隔振系統中時，為了實現拉壓雙向作用，因此，系統中使用了兩個隔振器，分別放在被隔振對象1的上下兩個位置，下部隔振器直接作用在基礎上，上面的隔振器通過反力架9，然后再作用在基礎上。其隔振系統裝置圖如圖7所示。

圖7 隔振系統裝置圖Fig.7 VIS set-up

當系統在簡諧激勵作用下，根據連續線性隔振模型，建立其動力學方程為:

當 -zmax＜X＜zmax時:

當X≥zmax或X≤ -zmax時:

其中:n=1，2，3，…。

將方程(5)、(6)無量綱化處理后則方程變為:

3 數值計算

3.1 非線性動力學行為

混沌動力學計算研究方法主要采用4階龍格庫塔法，本文根據此方法對上述系統進行了數值計算，計算的初始條件為(0.002，0)，計算的積分步長取為激勵力周期的1/100，激勵力頻率為43.4 Hz，靜載荷G=2.2×103N，C=1.414×103(N·s/m)。當激勵力幅值為F=7 700 N時，其系統軌跡為周期4運動(如圖8所示);當激勵力幅值為F=9 000 N時，此時系統處于混沌狀態(如圖9所示)，其系統Poincaré圖(如圖10所示)。計算其最大Lyapunov指數0.240 7。系統在上述參數下處于混沌狀態。隔振系統的振幅在±4 mm以內。

為進一步分析系統全局動力學特性，對激勵力幅值F從0 N～13 500 N范圍內進行分析，步長為50 N。得到系統周期及混沌運動的全局演化過程如圖11所示。

從圖11可以看出其運動形式與激勵力f的全局演化過程:系統剛開始處于P-1周期運動，接著經過了三個倍周期分岔，之后是一個混沌區和陣發性混沌區后，最后轉變為一個新的P-1周期運動。

3.2 振動隔振效果

根據上述理論與數值計算研究，詳細分析了本文所給定參數下的Duffing系統的非線性動力學特性和全局分岔演變過程。利用上述分析的參數模型系統，將其應用在混沌隔振上，對比處于混沌狀態時的響應加速度的功率譜圖與輸入功率譜圖(如圖12，圖13所示)，從圖12，圖13可以看出，當輸入為單一頻率的線譜時，其特征線譜頻率為5.513 3 Hz，功率譜峰值為104.21 dB，其系統的混沌響應為一寬頻譜，特征線譜頻率5.513 3 Hz處的功率譜為65.53 dB，因此，通過對比分析，不難發現，當系統處于混沌狀態時，該系統能夠很好地將線譜的幅值降低，將單一頻率轉化為寬頻譜，使得單一集中的能量分散到各個諧波頻率上，體現了非常好的隔振效果。

4 結論

根據混沌隔振原理設計了連續線性隔振裝置，該裝置能夠很好的實現強非線性，其線性項系數與非線性系數完全分開，且與模型裝置幾何尺寸一一對應，調整方便，在工程中有著廣泛的應用前景。通過對特定的隔振系統進行動力學分析，得到了其全局分岔演化過程，為進一步設計、調整、優化模型裝置尺寸參數起到了指導作用。

［1］ Jiang R J，Zhu S J.Prospect of applying controlling chaotic vibration in the waterbornenoise confrontation［C］.18thBinnial Conference on MechanicalVibrationand Noise， ASME，Pittsburgh，USA，2001.9.DETC 2001/VIB-21633.

［2］Ueda Y.Explosions of strange attractors exhibited by Duffing's equation［J］.Annals New York Acad Sci，1980，357:422-433.

［3］ Rega G，Benedettini F，Salvatori A.Periodic and chaotic motions of an unsymmetrical oscillator in nonlinear structural dynamics［J］.Chaos，Solitons，and Fractals，1991，1(1):39-54.

［4］Benedettini F，Rega G，Salvatori A.Prediction of bifurcations and chaos for an asymmetric elastic oscillator［J］.Chaos，Solitons，and Fractals，1992，2(3):303-321.

［5］Yu X，Zhu S J，Long S Y.Bifurcation and chaos in multidegree-of-freedom nonlinear vibration isolation system［J］.Chaos，Solitons，and Fractals，2008，38(5):1498-1504.

［6］ Zhu S J.Chaotic technique research for noise-reduction and vibration-isolation system on warships［D］.National University ofDefense Technology， China， 2006 (in Chinese).

［7］ Jiang R J，Zhu S J，He L.Prospect of applying controlling chaotic vibration in waterborne-noise confrontation［C］.Proceeding of ASME 2001 Design Engineering Technical Conference and Computers and Information in Engineering Conference，Pittsburgh，September，2001，DETC 2001/VIB-21663.

［8］ Lou J J，Zhu S J，He L，et al.Application of chaos method to linespectrareduction［J］. JournalofSound and Vibration，2005，286(3):645-652.

［9］He Q W，Lou J J，Zhu S J.Performance of piecewise linear vibration isolators under harmonic excitation［C］.Proceeding of ASME 2001 Design Engineering Technical Conference and Computers and Information in Engineering Conference，Chicago，Illinois USA，September 2-6，2003.DETC 2003/mech-48498.

［10］He Q W，Zhu S J，Lou J J.Study on the computation method of piecewise linear system［J］.Dynamics of Continuous，Discrete，and Impulsive Systems-SeriesA-Mathematical Analysis，2006(13):1400-1404.

［11］ He Q W，Zhu S J，Wong X T.Study on the shock response character of nonlinear shock isolation systems under a type of exponential impulse［C］.Process in Safety Science and Technology，Taian，China，Oct 10-13 2002，541-545.