基于提升小波包和模糊模式識別的結(jié)構(gòu)有限元模型修正

譚冬梅，瞿偉廉

(武漢理工大學(xué) 道路橋梁與結(jié)構(gòu)工程湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430070)

為了對土木工程結(jié)構(gòu)進(jìn)行損傷識別、健康診斷以及結(jié)構(gòu)工作狀態(tài)評估與預(yù)測，通常需要一個比較準(zhǔn)確的有限元分析模型來了解結(jié)構(gòu)的動力性能。然而，在建立大多數(shù)有限元模型過程中，都是根據(jù)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)圖紙，采用較多的理想化假定和簡化，由此有限元模型計(jì)算的結(jié)構(gòu)動力特性和動力響應(yīng)往往與現(xiàn)場實(shí)驗(yàn)結(jié)果存在一定的誤差。當(dāng)結(jié)構(gòu)模態(tài)特性的實(shí)測值與有限元理論值之間存在較大的差異時，將導(dǎo)致模型計(jì)算結(jié)果與實(shí)際測量結(jié)果有較大出入，甚至?xí)龉こ讨兴试S的精度。因此則需要對結(jié)構(gòu)的有限元模型進(jìn)行修正，使得結(jié)構(gòu)模態(tài)特性的理論值趨近于實(shí)測值。目前己有的模型修正方法大致可分為基于優(yōu)化的方法、靈敏度分析方法和特征結(jié)構(gòu)分配方法。Jaishi［1］提出了基于多目標(biāo)優(yōu)化技術(shù)，利用特征值和殘余應(yīng)變能對有限元模型進(jìn)行修正。Bell［2］利用無損測試數(shù)據(jù)，將多響應(yīng)參數(shù)估計(jì)應(yīng)用于結(jié)構(gòu)的模型修正。Pavic［3］利用振動臺，將靈敏度自動模型修正方法用于結(jié)構(gòu)的有限元模型修正。這些模型修正方法已在簡支梁、懸臂桁架等簡單結(jié)構(gòu)上得到驗(yàn)證。但是，對于大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)(如空間網(wǎng)架結(jié)構(gòu))，由于有限元模型中存在大量的材料、幾何特性及聯(lián)結(jié)條件的不確定性，模型修正變得困難而復(fù)雜。

在空間網(wǎng)架中，節(jié)點(diǎn)形式多種多樣，有近似鉸接、近似完全剛接或是介于剛性連接和鉸接之間的一種半剛性連接節(jié)點(diǎn)。但空間網(wǎng)架在計(jì)算過程中，通常是采用普通的空間鉸接桁架理想化模型進(jìn)行分析，因此鉸節(jié)點(diǎn)的假設(shè)與空間網(wǎng)架中存在的實(shí)際節(jié)點(diǎn)條件明顯地有所不同。在考慮半剛性節(jié)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)模型修正研究中，Law，Chan和Wu［4］提出了在模型修正中考慮半剛性節(jié)點(diǎn)的超單元，其半剛性節(jié)點(diǎn)的考慮主要是在單元剛度矩陣中引入彈簧剛度，由改進(jìn)的求逆特征靈敏度方法修正結(jié)構(gòu)的超單元模型。Terrell［5］等也考慮了節(jié)點(diǎn)的復(fù)雜性，利用約束的遺傳子空間變換對結(jié)構(gòu)有限元模型進(jìn)行修正。

結(jié)構(gòu)發(fā)生損傷后，會引起固有頻率、振型、阻尼等模態(tài)參數(shù)發(fā)生變化，經(jīng)過測試得到的振動信號包含有非平穩(wěn)成分，因此經(jīng)典小波變換、二代小波變換被廣泛的應(yīng)用于非平穩(wěn)信號處理。其中同經(jīng)典小波相比，二代小波變換是一種在時域內(nèi)基于提升框架［6］構(gòu)造小波的方法，不但計(jì)算速度快、計(jì)算方法簡單，節(jié)省緩存空間，而且適于自適應(yīng)、非線性和整數(shù)到整數(shù)的變換，具有極大的靈活性，非常易于實(shí)現(xiàn)。此外，運(yùn)用提升小波分析還可以發(fā)現(xiàn)其它信號分析方法不能找到隱藏數(shù)據(jù)之中的表征結(jié)構(gòu)特性的信息。因此，結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)經(jīng)提升小波包分解后得到的小波包分量能量雖然不是結(jié)構(gòu)固有的動力特性參數(shù)，但小波包分量能量與模態(tài)頻率和振型相比具有更好的損傷敏感性。DAVIS等［7］對多小波的提升方法進(jìn)行了初步的研究，給出了多小波提升框架。為了有效地對結(jié)構(gòu)進(jìn)行健康監(jiān)測，考慮模型的不確定性，可以將模糊系統(tǒng)與損傷特征向量相結(jié)合。Reda等［8］提出了在結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測中基于模糊模式識別的損傷識別方法，其中智能健康監(jiān)測系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)主要是利用模糊子集來提高模式分類。

本文提出了以提升小波包分量能量為特征向量，利用模糊模式識別理論對網(wǎng)架結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元模型修正的方法。首先建立半剛性節(jié)點(diǎn)固結(jié)系數(shù)表示的空間網(wǎng)架單元剛度矩陣，再對網(wǎng)架結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行激振，得到結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)信號，然后由基于提升框架的提升小波包變換對測得的信號進(jìn)行分解，提取提升小波包分量能量建立特征向量，以此作為模糊模式識別的模糊子集，最后利用模糊模式識別方法對網(wǎng)架結(jié)構(gòu)進(jìn)行損傷識別，并研究了噪聲對該算法的影響。數(shù)值模擬結(jié)果表明本文所采用的方法是可行的。

1 半剛性節(jié)點(diǎn)固結(jié)系數(shù)表示的空間網(wǎng)架單元剛度矩陣

建立空間網(wǎng)架結(jié)構(gòu)單元的有限元模型，提出根據(jù)結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)抗轉(zhuǎn)動剛度的變化來描述節(jié)點(diǎn)連接特性的變化，定義了節(jié)點(diǎn)固結(jié)系數(shù)來描述節(jié)點(diǎn)的連接特性［9，10］。

圖1 端部半剛性連接梁單元模型Fig.1 Kinematics of a deformed beam element with semi-rigid connections

可以用圖1來表示端部半剛性連接梁單元的有限元模型，其中彈簧用來模擬端部節(jié)點(diǎn)連接特性發(fā)生的變化。對于節(jié)點(diǎn)為剛接的結(jié)構(gòu)，圖中彈簧的抗轉(zhuǎn)動剛度為無限大，即彈簧自身不發(fā)生轉(zhuǎn)動;而對于節(jié)點(diǎn)為鉸接的結(jié)構(gòu)，彈簧自身將不能承受彎矩。因此，結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)連接特性的變化可以通過彈簧抗轉(zhuǎn)動剛度的變化來表現(xiàn)。圖中為梁左端轉(zhuǎn)角，包括桿件自身彎曲引起轉(zhuǎn)角及彈簧轉(zhuǎn)動引起的轉(zhuǎn)角為桿件自身彎曲引起的左端轉(zhuǎn)角。由圖1可知，彈簧轉(zhuǎn)角φ=θ*-。定義節(jié)點(diǎn)抗轉(zhuǎn)動剛度為:

式中，M1、M2分別為梁兩端所承受的彎矩。分別定義梁兩端的節(jié)點(diǎn)固結(jié)系數(shù)為:

式中EI/L為梁的線剛度，節(jié)點(diǎn)固結(jié)系數(shù)與結(jié)構(gòu)梁端節(jié)點(diǎn)的連接狀態(tài)直接相關(guān)，可以用來表現(xiàn)結(jié)構(gòu)中節(jié)點(diǎn)連接特性發(fā)生的變化。根據(jù)已有的試驗(yàn)研究可知，對于實(shí)際結(jié)構(gòu)中的近似鉸節(jié)點(diǎn)，0≤γ＜0.143;對于半剛性連結(jié)節(jié)點(diǎn)，0.143≤γ＜0.891;而對于近似剛性連結(jié)節(jié)點(diǎn)，0.891≤γ ＜1。

由本文中的數(shù)值算例結(jié)果表明，結(jié)構(gòu)單元剛度矩陣中的扭矩對結(jié)構(gòu)的動力特性影響很小。為了簡化計(jì)算，忽略扭矩對結(jié)構(gòu)單元剛度矩陣的影響，在單元剛度矩陣中扭矩項(xiàng)用零表示。因此，可以由以節(jié)點(diǎn)固結(jié)系數(shù)表示的平面框架結(jié)構(gòu)單元的單元剛度矩陣，得到以節(jié)點(diǎn)固結(jié)系數(shù)表示的空間網(wǎng)架單元的單元剛度矩陣。

式中:f1=γ1+γ2+γ1γ2;f2=γ1(2+γ2);f3=3γ1;f4=3γ2;f5=3γ1γ2;f6=γ2(2+γ1);f7=4-γ1γ2。當(dāng) γ1=γ2=1時，式(3)即為以固結(jié)系數(shù)表示的空間網(wǎng)架結(jié)構(gòu)梁單元的單元剛度矩陣。

節(jié)點(diǎn)固結(jié)系數(shù)的變化引起結(jié)構(gòu)動力特性相應(yīng)變化。所以，以節(jié)點(diǎn)固結(jié)系數(shù)表示的半剛性連結(jié)梁單元剛度矩陣可以有效的應(yīng)用于結(jié)構(gòu)有限元模型修正中。基于以上分析，利用半剛性連接梁單元的單元剛度矩陣公式，可以建立空間網(wǎng)架結(jié)構(gòu)的有限元模型。

2 提升小波包分析

2.1 提升框架

提升框架方法是一種基于空間域的小波構(gòu)造方法［11］，通過提升框架改善小波特性構(gòu)造出具有期望特性的小波基函數(shù)，成為構(gòu)造第二代小波的基本工具。提升框架給出了雙正交小波簡單有效的構(gòu)造方法，它通過使用多項(xiàng)式插值法來獲得信號的高頻分量，構(gòu)建尺度函數(shù)獲得信號的低頻分量，主要包括分割、預(yù)測、更新三個步驟。

設(shè)原始信號序列為s={s(k)，k∈Z}，k=1，2，…，L，第二代小波變換的分解算法［11-12］為:

(1)分割:將原始信號序列分成偶樣本序列{s(2k)}和奇樣本序列{s(2k+1)}。

(2)預(yù)測:利用相鄰的N個偶樣本{s(2k)}預(yù)測奇樣本{s(2k+1)}，將預(yù)測誤差d={d(k)，k∈Z}定義為原始信號經(jīng)過第二代小波分解后的細(xì)節(jié)信號(高頻信號)，即:

其中，P=［p(1)，…，p(N)］T為N點(diǎn)預(yù)測器，p(m)為預(yù)測器系數(shù)，N為預(yù)測器系數(shù)的個數(shù)。

(3)更新:在獲得細(xì)節(jié)信號{d(k)}的基礎(chǔ)上，利用個細(xì)節(jié)信號更新偶樣本{s(2k)}，將更新后的信號序列s(k)定義為原始信號經(jīng)過第二代小波分解后的逼近信號(低頻信號)，即:

其中:U=［u(1)，…，u)］T為點(diǎn)更新器，u(m)為更新器系數(shù)，?N為更新器系數(shù)的個數(shù)。

2.2 基于提升框架的小波包分量能量

利用基于提升框架的小波包分析對原始信號進(jìn)行分解后［6］，并對小波包分解系數(shù)進(jìn)行重構(gòu)，則第j層i個節(jié)點(diǎn)的能量為［13］:

其中是j層i個節(jié)點(diǎn)的重構(gòu)信號。

由于結(jié)構(gòu)出現(xiàn)損傷時，會對小波包分量能量有較大影響，因此可以以能量為元素構(gòu)造特征向量T:

則特征向量T可以作為模糊模式識別的模糊子集，從而建立標(biāo)準(zhǔn)模糊集合進(jìn)行結(jié)構(gòu)的損傷識別。

3 模糊模式識別理論

模糊模式識別是把帶有模糊特征的現(xiàn)象準(zhǔn)確地歸入某一類的過程。模式識別機(jī)制可以分為:設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)。設(shè)計(jì)是指用一定數(shù)量的已知樣本進(jìn)行分類器設(shè)計(jì);實(shí)現(xiàn)是指用所設(shè)計(jì)的分類器對待識別的樣本進(jìn)行分類識別，即識別出與標(biāo)準(zhǔn)模式類相同或相似的對象。

模糊模式識別的方法［14］大致可分為最大隸屬法(個體識別方法)、擇近原則法(群體識別方法)、模糊聚類法等。本文主要利用模糊模式識別方法對結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元模型修正。

根據(jù)貼近度σ(A，B)作模式分類的擇近原則:設(shè)論域?yàn)閁，B∈F(U×U)為待識別對象，A1，A2，…，An∈F(U×U)為論域U中的n個已知的模糊子集，若 σ(Ai，B)=max{σ(Aj，B)|1≤j≤n}，則認(rèn)為B與Ai最貼近，判定B屬于模式Ai。因此對實(shí)測的結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)信號作提升小波包分解，提取小波包分量能量作為模糊子集，利用擇近原則以兩向量的歐式距離最短作為識別標(biāo)準(zhǔn)，與標(biāo)準(zhǔn)模糊子集中的各模式進(jìn)行目標(biāo)識別，從而識別結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)的固結(jié)系數(shù)，再代入結(jié)構(gòu)單元剛度矩陣，實(shí)現(xiàn)修正結(jié)構(gòu)有限元模型的目的。

4 數(shù)值算例

本文對一二層平板網(wǎng)架進(jìn)行了有限元分析，該網(wǎng)架有13個節(jié)點(diǎn)，32根桿件。網(wǎng)架高0.6 m，長和寬都為4 m，桿的面積為 6.32E-4 m2，彈性模量為 2.07E11 GPa，剪切模量為8E10 GPa，密度為7 800 kg/m3。桿的慣性矩Ix與Iy為3.55E-7 m4，極慣性矩J為 7.1E-7 m4。網(wǎng)架結(jié)構(gòu)見圖2。

圖2 空間平板網(wǎng)架Fig.2 The spatial truss structure

在網(wǎng)架結(jié)構(gòu)的單元剛度矩陣中，選擇網(wǎng)架結(jié)構(gòu)單元剛度矩陣中不同的固結(jié)系數(shù)作為樣本。由于結(jié)構(gòu)的對稱性，只考慮四類節(jié)點(diǎn)固結(jié)系數(shù)。為了獲得網(wǎng)架結(jié)構(gòu)的模擬加速度時程信號，選擇結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)2為輸入激勵點(diǎn)，進(jìn)行白噪聲激振，選擇結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)8為測點(diǎn)，分析中的時間步長均為0.04 s。

在測試中，不改變白噪聲激振幅值的大小，采用Daubechies(DbN)系的小波Db1作為小波包基函數(shù)，對結(jié)構(gòu)的單元剛度矩陣中的固結(jié)系數(shù)采用不同的值，計(jì)算得到結(jié)構(gòu)的加速度信號，并對其進(jìn)行三層提升小波包分析，提取提升小波包分量能量，共得到20組數(shù)據(jù)。以這20組數(shù)據(jù)歸一化后作為訓(xùn)練樣本，建立標(biāo)準(zhǔn)模糊子集，又從原測試樣本中選取10組節(jié)點(diǎn)固結(jié)系數(shù)作為測試樣本，見表1。同時，也利用經(jīng)典小波包對測試信號進(jìn)行小波包分解并提取小波包分量能量，測試結(jié)果表明，基于提升框架的小波包分解算法簡單，運(yùn)行速度快，計(jì)算速度大大高于經(jīng)典小波包分解，因此在大型實(shí)際工程的結(jié)構(gòu)在線健康監(jiān)測中，利用提升小波包分析處理非平穩(wěn)信號，可以有效地提高計(jì)算速度。

表1 10組不同節(jié)點(diǎn)固結(jié)系數(shù)的測試樣本Tab.1 Ten test samples of different joint fixity factor

在無噪聲的條件下，為了進(jìn)行比較，分別利用按擇近原則法的模糊模式識別方法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法對固結(jié)系數(shù)進(jìn)行了識別，識別結(jié)果見表2。

表2 節(jié)點(diǎn)固結(jié)系數(shù)的識別結(jié)果Tab.2 The identified result of joint fixity factor

從表2中可以看出，在無噪聲的條件下，利用模糊模式識別方法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法都可以對結(jié)構(gòu)的有限元模型進(jìn)行有效地修正。

為了比較噪聲對該算法的影響，在這10組測試測試信號中分別加入5%、10%、15%和20%的高斯白噪聲，其中對工況8(固結(jié)系數(shù)為 0.5、0.8、0.6 和 0.4)在不同噪聲條件下，測得的結(jié)構(gòu)8節(jié)點(diǎn)y方向加速度時程見圖3。

圖3 第8組工況在不同噪聲條件下的加速度圖Fig.3 The acceleration time history of the eighth case based on the different noise

同樣利用Db1小波，基于提升框架，對工況8的信號進(jìn)行提升小波包分析得到的提升小波包分量能量見圖4。

圖4 不同噪聲條件下的第8組工況的提升小波包分量能量Fig.4 The lifting wavelet packet component energy of the eighth case based on different noise

從圖4中可以看出，隨著噪聲的增加，提升小波包分量能量大致呈上升的趨勢。因此以這10組不同噪聲條件下得到的提升小波包分量能量為測試子集，利用模糊模式識別和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法識別的結(jié)果分別見表3和表4。

表3 在不同噪聲條件下，利用模糊模式識別理論識別的結(jié)果Tab.3 The identified result using fuzzy pattern recognition based on different noise

從表3中可以看出，利用模糊模式識別方法對固結(jié)系數(shù)識別過程中，在噪聲不大于5%的時候，可以對固結(jié)系數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確的識別;當(dāng)噪聲為10%和15%時，識別的準(zhǔn)確率差異較大，分別為80%和20%;而當(dāng)噪聲為20%時，已經(jīng)不能對固結(jié)系數(shù)進(jìn)行識別。

表4 在不同噪聲條件下，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論識別的結(jié)果Tab.4 The identified result using neural net based on different noise

從表4中可以看出，由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用于非線性系統(tǒng)建模，存在模型結(jié)構(gòu)確定困難、局部極小以及小樣本下推廣能力差，其測試能力與訓(xùn)練樣本的選擇有很大關(guān)系，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法對固結(jié)系數(shù)識別過程中，在無噪聲條件下，可以對固結(jié)系數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確的識別;當(dāng)噪聲為5%、10%、15%和20%時，在小樣本的條件下，已經(jīng)不能對固結(jié)系數(shù)進(jìn)行識別。

因此從表3和表4可以得到，在小樣本的條件下，由于模糊模式識別很好地考慮了模型的不確定性，因此利用模糊模式識別理論可以對結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)固結(jié)系數(shù)進(jìn)行有效的識別。

當(dāng)測試數(shù)據(jù)不是原始數(shù)據(jù)時，另外取5組不同的固結(jié)系數(shù)，計(jì)算結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)信號，然后用提升小波包分析得到提升小波包分量能量，作為模糊模式識別的測試子集進(jìn)行識別的結(jié)果見表5。

表5 節(jié)點(diǎn)固結(jié)系數(shù)的識別結(jié)果Tab.5 The identified result of joint fixity factor

從表5的結(jié)果可知，由于標(biāo)準(zhǔn)模糊模式子集的數(shù)量較小，在小樣本的條件下，利用模糊模式識別也可以對結(jié)構(gòu)的固結(jié)系數(shù)進(jìn)行粗略的識別。

由以上分析可以得出，提升小波包分析具有較好的抗噪聲干擾能力，以提升小波包分量能量作為標(biāo)準(zhǔn)模糊子集的樣本，可以在有噪聲的情況下，有效地識別出結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)固結(jié)系數(shù)。將識別得到的節(jié)點(diǎn)固結(jié)系數(shù)代入以固結(jié)系數(shù)表示的結(jié)構(gòu)單元剛度矩陣，再由坐標(biāo)變換就可得到修正后的結(jié)構(gòu)總的剛度矩陣，從而達(dá)到修正有限元剛度的目的。

5 結(jié)論

本文提出了基于提升小波包分析與模糊模式識別理論對網(wǎng)架結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元模型修正的方法。首先建立了半剛性節(jié)點(diǎn)固結(jié)系數(shù)表示的空間網(wǎng)架單元剛度矩陣，再對結(jié)構(gòu)的振動測試信號進(jìn)行提升小波包分解，提取提升小波包分量能量作為特征向量，建立標(biāo)準(zhǔn)模糊模式子集，然后利用基于擇近原則法的模糊模式識別方法對網(wǎng)架結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元模型修正。為了驗(yàn)證該方法，對一個簡化的網(wǎng)架結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行了數(shù)值仿真，并研究了噪聲對該方法的影響。研究結(jié)果表明，在小噪聲的條件下，該方法能夠有效地對網(wǎng)架結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元模型修正。

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