環境條件影響下懸索橋模態頻率變異性的定量評價

鄧 揚，丁幼亮，李愛群

(東南大學 混凝土及預應力混凝土結構教育部重點實驗室，南京 210096)

對于運營狀態下的大跨橋梁結構而言，在環境溫度和運營載荷等環境條件的變化影響下，結構實測模態頻率會在一個較寬的范圍內波動，這種波動將淹沒或掩蓋結構因局部損傷所造成的結構模態頻率的真正改變，從而對結構的損傷診斷和狀態評估產生不利的影響［1，2］。國內外的學者對此進行了大量的研究［1-6］，目前大部分的學者認為溫度是影響橋梁結構模態頻率變化的最主要因素［3］，除此之外，車輛荷載以及風速對大跨橋梁模態參數的影響甚微［4，5］。

但目前還沒有學者同時定量地分析了溫度、交通荷載及風速所產生的頻率識別的變異性，大部分的研究都僅限于一種環境因素的影響或僅得到了環境因素對頻率識別的定性影響趨勢。另一方面，最重要的是大部分的研究都沒有考慮識別方法所引起的頻率識別結果的隨機誤差，例如文獻5分析了環境因素對Ting Kau Bridge模態頻率的影響，前十階頻率識別結果的相對變化范圍為3.22%到15.07%，在消除溫度所引起的變化后，頻率的相對變化范圍減小至1.61%到7.87%，在此基礎上的分析表明頻率和風速之間的相關性十分微弱，風速所引起的模態頻率的變化不明顯，這表明在消除環境因素的影響之后，模態頻率的相對變化仍很可觀，而導致這種結果的原因就只能是頻率識別方法所產生的隨機誤差，到目前為止還沒有學者對此進行討論。

本文將基于長期監測數據量化評價溫度、風速、交通荷載及識別方法所引起的潤揚大橋懸索橋結構模態頻率的變異性，首先采用基于輸出的頻域識別方法得到模態頻率測試值，采用多樣本平均技術減小識別算法引起的隨機誤差，其次基于頻率-溫度相關性模型消除溫度對頻率的影響，再在小風速的情況下建立頻率和加速度響應均方根的相關性模型以評價交通荷載對頻率的影響，在此基礎上，分析了模態頻率和風速的相關性，得到了風速對頻率變化影響的量化評價。

1 模態頻率的現場實測

本文以潤揚大橋懸索橋為研究對象，其結構健康監測系統共安裝了29個加速度傳感器，分別布置在主梁八分點截面處，同時，在主梁的北端、北側1/8截面、北側1/4截面和南端共安裝了27個溫度傳感器，并在主跨跨中和南塔塔頂分別安裝了風速風向儀，加速度傳感器的采樣頻率為20 Hz，溫度和風監測的采樣頻率則均為1 Hz［7，8］。為了得到準確和可信的結構模態頻率，對結構健康監測系統在2006年1月至10月所采集的長期監測數據進行了分析，在這段時間內，大橋經歷了一年四季的溫度變化、臺風和強北風的來襲以及交通流量的逐漸增加，因此，模態頻率的識別結果中包含了豐富的環境條件的影響，具有普適性和代表性。本文采用峰值法識別潤揚懸索橋結構的模態頻率，其基本思想是:結構動力響應的頻率響應函數在結構固有頻率處達到極值，在僅有輸出的環境振動測試中，頻率響應函數可以被輸出的自功率譜所取代，取自功率譜密度圖上的峰值即可以確定結構的模態頻率。但頻域峰值法存在著截尾誤差和頻率分辨率有限的缺陷，為了克服這些缺陷，本文采用窗口迭代曲線擬合方法(Iterative Windowed Curve-fitting Method，簡稱 IWCM)改進了頻率識別結果，IWCM的詳細介紹見文獻［9］。

圖1給出了主梁截面5的豎向典型加速度響應時程，從中可以看出，懸索橋的動力響應在一定時間尺度內是非平穩的。圖2給出了第5階豎彎模態頻率一天的測試結果，可以看出溫度變化對頻率影響是長期的和趨勢性的，而伴隨的頻率的瞬時顫動變化則是隨機的，并且變化幅度也是可觀的。這種隨機變化是由環境激勵的非平穩性所造成的，本文認為算法所引起的模態頻率識別隨機誤差是不能忽視的，下面本文將基于長期監測數據對潤揚懸索橋的模態頻率識別變異性進行詳細的討論。

圖1 主梁截面5的豎向加速度時程Fig.1 Vertical acceleration time histories of the Sec.5

圖2 第5階豎彎模態的頻率實測序列Fig.2 Measured frequency sequences of the 5th symmetric vertical mode

2 溫度導致的模態頻率變異性

2.1 頻率識別的隨機誤差分析

去除顯著異常的測試數據之后，得到了2006年1月至10月215天的有效監測數據，在此基礎上以10-min為時間區間識別得到了懸索橋前6階豎彎振型的模態頻率，分別為1階對稱、2階反對稱、3階反對稱、4階對稱、4階反對稱和5階對稱。每階模態頻率得到了30960(144×215)個實測樣本。圖3(a)～圖3(d)分別給出了第2、4、5和6階模態頻率和溫度之間的相關散點圖，需要說明的是圖中的溫度值采用的是全橋所有溫度傳感器測試值的平均值。從圖3可以看出隨著溫度的增大，各階模態頻率都呈現出減小的變化趨勢，但頻率與溫度的相關性散點分布比較離散，呈現明顯的帶狀分布特征，即同一溫度值對應的實測模態頻率可以在一個較寬的范圍內波動，這種頻率的波動應該被認為是由于識別算法所不能處理的激勵非平穩性所引起的隨機誤差，顯然，由圖3難以有效地建立懸索橋實測模態頻率與溫度的統計模型。

為了有效地消除這種隨機誤差，本文采用多樣本平均方法來分析模態頻率和溫度的相關性，即以每天144個測試樣本的日平均值作為頻率的測試值，圖4給出了模態頻率日平均值與溫度日平均值之間的相關性分析結果。從圖4可以看出通過取多樣本的日平均值后，由于高階振型的頻率受溫度的影響較低階振型大，因此低階模態頻率與溫度的季節相關性較差，散點圖仍然比較離散，而高階模態頻率與溫度之間呈現十分明顯的季節相關性，散點圖分布較圖3更為集中。

表1進一步給出了模態頻率10-min識別值和1-day平均值的統計信息，從表1可以發現模態頻率相對變化的最大值和平均值分別從3.013%和2.633%減小到2.168%和1.268%。這說明多樣本平均方法消除了懸索橋溫度日變化對模態頻率的影響，而保留了季節溫度變化的影響，同時也可以有效地減小由識別方法的局限性所造成的模態頻率識別值的隨機誤差。

2.2 頻率－溫度相關性模型

為了定量地評價溫度對模態頻率的影響，前提是建立頻率-溫度的相關性數學模型，分析表明5次以上的多項式模型誤差趨于穩定，因此，采用6次多項式模型建立模態頻率f與溫度T的季節相關性回歸公式［10］:

式中，T為溫度日平均值;f為懸索橋模態頻率的日平均值;pi(i=1～7)為回歸模型的系數。基于懸索橋2006年的215個實測模態頻率和溫度日平均監測樣本，采用最小二乘法擬合得到了頻率-溫度的季節相關性模型。

為了考察6次多項式模型對季節相關性的擬合效果，圖5給出了第2階和第6階模態頻率實測值和預測值的對比結果，圖中實線為頻率實測值，虛線為基于回歸模型的頻率計算值。可以看出頻率實測值與計算值曲線比較吻合，說明采用6次多項式模型的擬合效果良好，能夠很好地刻畫頻率和溫度的季節相關性，因此就可以采用本文提出的多項式回歸模型實現對溫度引起的頻率識別變異性的量化評價。表2給出了當溫度分別為0℃和40℃時，根據回歸模型計算得到的懸索橋前6階模態頻率，從中可以看出，溫度對高階頻率的影響較大，而對低階頻率影響較小，第5階模態頻率的相對變化最大，為1.975%，第1階模態頻率的相對變化最小，僅為0.397%。

2.3 環境溫度歸一化的模態頻率

為了后續研究懸索橋模態頻率與交通荷載、風速的相關性，前提是將溫度對頻率的影響從頻率的實測值中消除掉，即得到環境溫度歸一化的模態頻率。統計分析表明，本文選取的215天內，風和交通荷載的日平均值變化很小，與溫度的日平均值變化相比較可以忽略。因此可以認為本文2.2節建立的模態頻率-溫度的日平均相關模型不包含風和交通荷載的影響，故采用2.2節的日平均相關性模型去消除溫度對頻率的影響是合理的。

表1 模態頻率實測結果的統計特性Tab.1 Statistics of measured modal frequencies

表2 溫度所引起的模態頻率識別的變異性Tab.2 Variations of frequency induced by temperature

圖5 模態頻率測試值和預測值的對比結果Fig.5 Comparisons of the measured and predicted results of frequencies

具體方法是取參考溫度值為20℃，將參考溫度值代入回歸模型，得到每一階頻率的參考頻率fr，同樣地將實測溫度值代入回歸模型，得到模態頻率的計算值ft，則環境溫度歸一化的模態頻率可以表示為:

式中，f為歸一化后的頻率;fm為實測頻率。這里需要說明的是，模態頻率的10-min測試值和1-day平均值均采用3.2節的季節相關性模型進行溫度歸一化，圖6和圖7分別給出了第6階模態頻率10-min和1-day平均的實測值和溫度歸一化值，圖7中實線表示頻率實測值，虛線表示歸一化值。對比圖6和圖7可以看出，對于模態頻率10-min和1-day平均的溫度歸一化值而言，溫度對頻率的趨勢性影響都被有效地消除了，但是頻率的10-min歸一化值仍然保有較寬的變化范圍，而頻率1-day平均的歸一化值的變化范圍則較小。

表3進一步給出了溫度歸一化后懸索橋前6階模態頻率值的統計特性。與表1給出的頻率實測結果對比可以發現:(1)模態頻率10-min實測值的相對變化的最大值和平均值分別僅從3.013%和2.633%減小到2.506%和2.027%，減小幅度很小，這說明非平穩激勵對頻率識別結果的影響仍較為顯著，識別方法的缺陷所帶來的模態頻率隨機誤差仍然較為明顯;(2)模態頻率1-day平均值的相對變化的最大值和平均值分別從2.168%和 1.268%減小到 0.582% 和 0.413%，這說明不僅溫度對頻率的影響被有效地消除了，同時非平穩激勵所引起的頻率識別隨機誤差也被有效地降低了。

表3 環境溫度歸一化的模態頻率的統計特性Tab.3 Statistics of normalized modal frequencies

3 交通荷載和風導致的模態頻率變異性

3.1 頻率－交通荷載相關性模型

本節將研究溫度歸一化模態頻率和交通荷載的相關性，采用懸索橋主梁豎向加速度響應的均方根(root mean square，RMS)作為交通荷載的表征值［4］。首先挑選出小風速狀態(10-min平均風速小于2m/s)的加速度響應數據，認為此時能對模態頻率產生影響的環境因素就只有交通荷載了，其次對挑選出來的加速度響應進行低通濾波，截止頻率為3Hz，通過濾波得到僅含有結構動力響應的加速度數據，最后分析溫度歸一化的10-min模態頻率和10-min加速度響應均方根的相關性。圖8給出了第1、3、4和6階模態頻率和加速度均方根的相關性散點圖，可以看出圖中頻率-RMS的散點圖分布十分離散，模態頻率和交通荷載的相關性較弱。進一步采用線性回歸分析建立溫度歸一化頻率f和RMS的相關性模型，模型表達式為:

式中，M為 RMS的值;β0和 β1為回歸系數。回歸系數可通過最小二乘的方法得到:

式中，SfM為頻率與RMS的協方差;SMM為RMS的方差;Sff為頻率的方差;和分別為RMS和頻率的均值;R為頻率和RMS的相關系數。表4給出了頻率和交通荷載的線性回歸模型以及交通荷載所導致的模態頻率的變化。從表4可以看到，所有線性回歸模型的斜率都為負值，這表明隨著交通荷載的增強，懸索橋模態頻率有輕微的減小變化趨勢。另外，表4給出了RMS分別為0 cm/s2和3 cm/s2時，根據回歸模型計算得到的懸索橋前6階模態頻率，其中第2階模態頻率的相對變化最大，為0.262%，這說明交通荷載對頻率變化的影響甚微。

圖8 溫度歸一化的模態頻率和加速度響應均方根的相關性Fig.8 Correlation between normalized modal frequency and RMS of the acceleration responses

表4 頻率－交通荷載的線性回歸模型和交通荷載導致的模態頻率變異性Tab.4 linear regression models of frequency-traffic and variations induced by traffic loadings

表5 頻率－風速的線性回歸模型和風速導致的模態頻率變異性Tab.5 linear regression models of frequency-traffic and variations induced by traffic loadings

3.2 頻率－風速相關性模型

本節將在上文的基礎上消除交通荷載對模態頻率的影響，即得到的RMS歸一化的頻率，此時頻率的變化就僅受風速這一種環境因素的影響，在此基礎上再分析頻率和風速的相關性。采用類似3.3節的方法，將頻率歸一化至某一參考RMS值:

圖9 模態頻率和風速的相關性Fig.9 Correlation between normalized modal frequency and wind speed

式中，f為RMS歸一化的頻率;fm為溫度歸一化的頻率;ft為將RMS實測值代入3.1節頻率-RMS回歸模型的頻率計算值;fr為參考頻率，其計算過程為設定RMS參考值為1 cm/s2，代入回歸模型計算得到。

在此基礎上，圖9給出了第1、3、5和6階RMS歸一化模態頻率和風速的相關性散點圖，可以看出圖中頻率-風速的散點圖分布十分離散，模態頻率和風速的相關性較弱。采用與3.1節一樣的線性回歸模型對頻率-風速相關性進行建模，表5給出了頻率和風速的回歸模型以及風速引起的模態頻率的變化。從表5可以看到，線性回歸模型的斜率都為正值，這表明隨著風速的增強，懸索橋模態頻率有輕微的增大趨勢。同時，表5給出了風速分別為0 m/s和20 m/s時，根據回歸模型計算得到的懸索橋前6階模態頻率，其中第1階模態頻率的相對變化最大，為0.215%，這說明風速對頻率變化的影響也很微弱。

4 結論

本文定量地分析了頻率識別方法、環境溫度、交通荷載及風速這四個因素對潤揚大橋懸索橋模態頻率識別的影響程度，得到了以下結論:

(1)采用多樣本平均方法可以有效地減小由識別方法的局限性所造成的頻率識別值的隨機誤差。通過多樣本使得懸索橋的模態頻率相對變化的最大值和平均值分別從3.013%和2.633%減小到了2.168%和1.268%。

(2)環境溫度是對頻率變化影響最大的因素。隨著各階頻率都表現出隨溫度升高而減小的變化趨勢。采用6次多項式模型有效地消除了溫度對頻率的影響，分析表明由溫度引起的頻率相對變化的最大值和平均值分別為1.975%和1.175%。

(3)交通荷載對頻率的變化影響甚微，兩者相關性較弱。隨著交通荷載的增強，懸索橋模態頻率有輕微的減小趨勢，采用線性回歸方法建立了溫度-RMS相關性模型，分析發現由交通荷載引起的頻率相對變化的最大值和平均值分別為0.262%和0.104%。

(4)與交通荷載類似，風速對頻率變化的影響也很小，兩者相關性也較弱。同樣采用線性回歸方法建立了溫度-風速相關性模型，分析發現由風速引起的頻率相對變化的最大值和平均值分別為0.215%和0.163%。

(5)分析表明，激勵非平穩性引起的頻率識別值的隨機性非常明顯。本文2.1節采用取頻率日平均值的方法可以較好地消除這種隨機性，但對于較小時間尺度(如10-min)的頻率值的隨機性卻沒有合適的處理辦法，因此在本文3.1和3.2節消除風和交通荷載影響之后的模態頻率識別值中仍然包含了識別過程所產生的隨機性，這也是圖9的頻率分布仍十分離散的原因。

(6)由于問題的復雜性，很難通過理論分析得到環境條件對模態頻率影響規律的先驗的合理描述，因此本文通過對結構健康監測系統海量監測數據的分析，采用簡單回歸模型從實測的角度研究了溫度、風和交通荷載對模態頻率的影響，從一定程度上揭示了環境條件對懸索橋模態頻率的影響規律。本文的研究是初步的，在此基礎上進一步開展深入的研究工作是必要的。

［1］ Ni Y Q，Hua X G.Fan K Q，et al.Correlating modal properties with temperature using long-term monitoring data and support vector machine technique［J］.Engineering Structures，2005，27(12):1762-1773.

［2］ Ding Y L，Li A Q，Liu T.Environmental variability study on the measured responses of runyang cable-stayed bridge using wavelet packet analysis［J］.Science in China Series E:Technological Sciences，2008，51(5):517-528.

［3］Cornwell P，Farrar C R，Doebling S W，et al.Environmental variability of modal properties［J］.Experimental Techniques，1999，23(6):45-48.

［4］Zhang Q W，Fan L C，Yuan W C.Traffic-induced variability in dynamic properties of cable-stayed bridge［J］.Earthquake Engineering and Structural Dynamics，2002，31(11):2015-2021.

［5］Ni Y Q，Ko J M，Hua X G，et al.Variability of measured modal frequencies of a cable-stayed bridge under different wind conditions［J］.Smart Structures and Systems，2007，3(3):341-356.

［6］李順龍，李 惠，歐進萍，等.考慮溫度和風速影響的橋梁結構模態參數分析［J］.土木工程學報，2009，42(4):100-106.

［7］李愛群，繆長青，李兆霞，等.潤揚長江公路大橋結構健康監測系統研究［J］.東南大學學報，2003，33(5):544-548.

［8］ Li A Q，Miao C Q.Design and study on the structural health monitoring system for the Runyang Yangtse River bridge［C］//Proceedings of the 2nd International Conference on Structural Health Monitoring of Intelligent Infrastructure.Shenzhen，China，2005.

［9］Macdonald J H G.Identification of the dynamic behaviour of a cable-stayed bridge from full-scale testing during and after construction［D］.University of Bristol，2000.

［10］孫 君，李愛群，丁幼亮，等.潤揚大橋懸索橋模態頻率-溫度的季節相關性研究及其應用［J］.工程力學，2009，26(9):50-55.