幾種動點軌跡形成的動態(tài)演示

于曉晶

(蘇州市職業(yè)大學 教育與人文科學系，江蘇 蘇州 215104)

動點的軌跡問題是解析幾何的一個核心問題，有些動點的軌跡方程易求，但很難想象其形狀、位置等特征，而描繪動點軌跡的形成過程是傳統(tǒng)教學手段無法實現(xiàn)的。將Matlab軟件引入到解析幾何教學研究中，則可彌補傳統(tǒng)教學的不足，是解析幾何教學的一個有力輔助工具。使用Matlab強大的圖形設計功能，就可以輕松得到動點軌跡形成的圖形，而且可以直觀、動態(tài)地研究動點軌跡形成的過程及其特征，從而激發(fā)學習興趣，促進探究學習，提高教學效率。

本文以擺線、外旋輪線、漸伸線、圓柱螺旋線、圓錐螺旋線為例，給出動點軌跡形成的演示過程的Matlab程序代碼。

1 擺線

一個半徑為a的圓在一直線上無滑動地滾動，圓周上點P的軌跡由一系列完全相同的拱形組成，這種曲線叫做旋輪線或稱為擺線。

適當選取坐標系，可寫出P點的參數(shù)方程

不妨取a=1，利用Matlab軟件編制以下程序代碼，則可演示擺線的形成過程如圖1:

圖1 擺線

2 外旋輪線

當一圓沿著一個定圓的外部作無滑動地滾動時，動圓上一點P的軌跡叫做外旋輪線，我們用a和b分別表示定圓與動圓的半徑。其參數(shù)方程為

圖2 外旋輪線

將程序中外旋輪線參數(shù)方程改為內(nèi)旋輪線參數(shù)方程

則可演示內(nèi)旋輪線的形成過程(圖3a為a=4，b=1;圖(3)b為a=5，b=1;圖(3)c為a=8，b=1)。

圖3 內(nèi)旋輪線

3 漸開線

把線繞在一個固定圓周上，將線頭P拉緊后反方向旋轉，以把線從圓周上解放出來，使放出來的部分分成為圓的切線，則線頭P的軌跡為圓的漸開線或切展線，工業(yè)上被采用為齒廓曲線。其參數(shù)方程為

選取a值及參數(shù)范圍，利用Matlab軟件編制以下程序代碼，則可演示漸開線的形成過程(見圖4)。

圖4 圓的漸開線

4 圓柱螺旋線

一個質(zhì)點一方面繞一條軸線作等角速度的圓周運動，另一方面作平行于軸線的等速直線運動，其速度與角速度成正比，求這個質(zhì)點運動的軌跡方程。

解:通過計算易求得該曲線的參數(shù)方程為

其中θ為參數(shù)，曲線的形狀像彈簧，通常叫做圓柱螺旋線。

圖5 圓柱螺旋線

利用Matlab三維彗星圖函數(shù)的作圖功能，可以讓學生直觀地看到軌跡的形成過程演示。圖5中是已經(jīng)形成的靜態(tài)軌跡，輸入下列程序代碼可以看到軌跡動態(tài)形成過程。

5 圓錐螺旋線

有一質(zhì)點，沿著已知圓錐面的一條母線自圓錐的頂點起，作等速直線運動，另一方面這一條母線在圓錐面上，過圓錐的頂點繞圓錐的軸(旋轉軸)作等速的轉動，這時質(zhì)點在圓錐面上的軌跡叫做圓錐螺線，試建立圓錐螺線的方程。

解:通過計算易求得該曲線的參數(shù)方程為

其中α為圓錐半頂角，ω為角速度，v為直線速度。

此軌跡也利用Matlab三維彗星圖函數(shù)的作圖功能，可以讓學生直觀地看到軌跡的形成過程演示。如圖6所示。

圖6 圓錐螺旋線

函數(shù)comet3顯示的是非常生動的彗星圖，其中一個圓形(彗星頭部)顯示在屏幕上。彗星的主要部分是一個緊隨頭部的拖曳部分。尾部則是一條包含整個函數(shù)的實線。但是其留下的痕跡是使用None的Erase-Mode創(chuàng)建的，不能打印或使用Redrew編輯，否則痕跡將消失。

利用Matlab編程如下，可以見圖7。

圖7中是已經(jīng)形成的靜態(tài)軌跡，輸入下列程序代碼，可以讓學生直觀地看到軌跡的形成演示過程，而且可以旋轉圖形，從不同角度觀察、研究軌跡的形狀特征。

圖7 圓錐螺旋線

圖7(a)、圖7(b)、圖7(c)是從不同視角觀察的軌跡形狀。

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