拉伸載荷作用下無限大板中三角孔-裂紋問題

劉寶良，閆相橋

(哈爾濱工業大學航天學院，150001哈爾濱，yanxiangqiao406@163.com)

由于孔邊應力集中，孔邊很可能起源裂紋.因此，很多研究者［1］專注于孔邊裂紋問題.對單軸載荷作用下無限大板中源于圓孔的分支裂紋問題，其典型解答由Bowie［2］和 Newman［3］獲得.對單軸載荷作用下無限大板中源于橢圓孔的對稱分支裂紋問題，Newman利用邊界配置法、Nisitani等［4］利用體力法獲得其數值解答.對雙軸載荷作用下無限大板中源于圓孔的分支裂紋，Tweed等利用Mellin Transform Technique獲得其解答.對單軸載荷作用下無限大板中源于三角孔或方孔分支裂紋問題，Murakami［5］利用體力法獲得其數值解.對內部壓力載荷作用下無限大板中源于圓孔的分支裂紋問題，Newman利用邊界配置法獲得其典型解答.

為此，通過把Bueckner原理普遍化，本文提出了一種求解遠方載荷作用下無限大板中孔邊裂紋問題的數值方法，通過把適于單一裂紋的Bueckner原理［6］擴充到遠方載荷作用下無限大板中孔邊裂紋問題，將原問題分解為承受遠方載荷不含孔邊裂紋的均勻問題，和在遠方不承受載荷但在裂紋面上和孔的表面上承受面力的問題.于是，以應力強度因子作為參量的問題可以通過考慮后者來解決，而利用文獻［7］最近提出的雜交位移不連續法，這種孔邊裂紋問題是很容易數值求解的.算例說明本數值方法對分析無限大板中孔邊裂紋問題既簡單又非常有效.進而利用這種數值方法研究了拉伸載荷作用下無限大板中三角孔-裂紋問題.本文通過改變孔的幾何參數，通過與無限大板中心裂紋問題的應力強度因子比較，揭示了孔的幾何參數對應力強度因子的影響.發現孔對源于它的裂紋的應力強度因子具有屏蔽效應(shielding effect)和放大效應(amplifying effect).這種屏蔽效應和放大效應隨著孔的幾何參數而變化.

1 Bueckner原理普遍化

Bueckner利用疊加原理得到一種重要結果，稱為Bueckner原理.由外部載荷引起的裂紋的應力強度因子，可以通過考慮無外部載荷作用但裂紋面上承受面力的裂紋問題來確定，該面力與無裂紋幾何體在外部載荷作用下在裂紋所在位置處產生的應力大小相等方向相反.

在這里，嘗試將適于單一裂紋的Bueckner原理擴充到擴充到遠方載荷作用下無限大板中孔邊裂紋問題.為此，將原問題分解為承受遠方載荷不含孔邊裂紋的均勻問題，和在遠方不承受載荷但在裂紋面上和孔的表面上承受面力的問題.在裂紋面上承受的面力與承受遠方載荷不含孔邊裂紋的均勻問題在該裂紋所在位置處產生的應力大小相等方向相反，即

式中:φ為裂紋面相對于x軸的方位角;γ為把孔的表面上任意一點相對于x軸的方位角，則作用于改點處的面力為

當然，由式(2)定義的面力隨孔的表面點不同而變化.

于是，以應力強度因子作為參量的問題可以通過考慮后者來解決，而利用Yan［7］最近提出的雜交位移不連續法，這種孔邊裂紋問題是很容易數值求解的.

2 雜交位移不連續法

2.1 常位移不連續單元

無限大平面體中在位置|x|＜a，y=0處具有常位移不連續量Di=(Dx，Dy)的定義為

式中:|x|＜a，y=0.

此問題的解答是由Crouch等［8］獲得的，位移場和應力場為

式中G和v分別為材料剪切模量和泊松比，Crouch等利用式(4)，(5)建立了常位移不連續邊界元法.

2.2 裂尖位移不連續單元

基于式(4)～(5)，提出了裂尖位移不連續單元(可分為左、右裂尖位移不連續單元)以模擬裂尖附近的應力奇異場.

對于左裂尖位移不連續單元，其位移不連續函數可取為

式中:Hs和Hn分別為裂尖單元中點處的切相和法向位移不連續量;atip為裂尖單元長度的1/2.在這里注意到裂尖位移不連續單元與常位移不連續單元具有相同的未知量，即2個，但由式(6)定義的位移不連續函數可以模擬裂尖附近的位移場，從而可以模擬裂尖附近的應力奇異性.

基于式(4)～(5)，根據微積分學的理論易于求得由式(6)定義的裂尖位移不連續函數引起的在點(x，y)處的位移場和應力場為

2.3 雜交位移不連續法的實施及其說明

Crouch等利用式(4)～(5)建立了常位移不連續邊界元法.可類似地利用式(7)～(8)針對裂尖單元建立邊界元方程，進而把常位移不連續單元和裂尖位移不連續單元有機地結合在一起以建立一種對平面裂紋問題很有效的邊界元法.在該邊界元方法的實施過程中，左、右裂尖位移不連續單元分別置于裂紋的左、右裂尖處，而常位移不連續單元則分布于除了裂尖位移不連續單元占據的位置之外的整個裂紋面及其它邊界.稱這種邊界元法為雜交位移不連續法.

雜交位移不連續法不同于Scavia［9］提出的雜交邊界元法.當利用Scavia提出的雜交邊界元法分析分支裂紋問題時，計算量是巨大的.而利用雜交位移不連續法，可以既簡單而又準確地處理分支裂紋問題［10-11］.

Pan［12］指出“常位移不連續法只適于無限大板中裂紋問題”.本文發現雜交位移不連續法不僅適于分析無限大板裂紋問題［13-17］而且適于處理有限大板中復雜裂紋問題［18-19］.

孔洞裂紋問題、多裂紋問題一直是斷裂力學中的重要課題.利用雜交位移不連續法可以準確地處理這些問題［20-22］.

2.4 應力強度因子的計算公式

線彈性裂紋分析的主要目標是確定裂紋尖端的應力強度因子KI和 KII.基于裂尖附近的位移場，有

3 數值算例

下面通過2個數值算例說明本文提出的數值方法對分析無限大板中孔邊裂紋問題既簡單又非常有效.

例1 拉伸載荷作用下無限大板中橢圓孔分支裂紋問題，如圖1所示.對此裂紋問題，關于x軸對稱性條件是可以利用的.考慮下列情況

圖1 拉伸載荷作用下無限大板中橢圓孔分支裂紋問題

關于邊界單元的劃分，在1/2橢圓孔上劃分具有大致相同尺寸的400個單元，在其他邊界上按照所有單元具有大致相同尺寸的限制條件劃分.計算得到的歸一化應力強度因子(SIFs nor-如表1所示.為了比較起見，表1列出了文獻［1］報道的數值計算結果.由表1可見本數值結果與文獻［1］報道的數值計算結果非常一致.

表1 拉伸載荷作用下無限大板中橢圓孔分支裂紋問題的歸一化應力強度因子

例2 內部壓力作用下無限大板圓孔分支裂紋問題，如圖2所示.對此裂紋問題，關于x軸和y軸對稱性條件是可以利用的.考慮下列情況為

圖2 內部壓力載荷作用下無限大板中圓孔分支裂紋問題

關于邊界單元的劃分，在1/4圓孔上劃分具有大致相同尺寸的200個單元，在其他邊界上按照所有單元具有大致相同尺寸的限制條件劃分.計算得到的歸一化應力強度因子(SIFs normalized如表2所示.為了便于比較，表2列出了文獻［1］報道的數值計算結果.由表2可見本數值結果與文獻［1］報道的數值計算結果非常一致.

表2 內部壓力作用下無限大板圓孔分支裂紋問題的歸一化應力強度因子

4 數值結果與討論

利用提出的求解無限大板中孔-裂紋問題的數值方法，詳細分析了拉伸載荷作用下無限大板三角孔-裂紋問題，如圖3所示.為了方便起見，首先考慮dy=dx=d情況.若此種三角孔-裂紋問題的應力強度因子在數學上用KIth(a/d)表示，則它與中心裂紋問題(長度是2a)的應力強度因子(KIcc)的比率(FIth)為

圖3 拉伸載荷作用下無限大板中三角孔－裂紋問題的示意圖

式(10)稱為歸一化應力強度因子(normalized SIFs).對于此種三角孔-裂紋問題，計算得到的歸一化應力強度因子如圖4所示.

圖4 拉伸載荷作用下無限大板中三角孔－裂紋問題的歸一化應力強度因子

為了討論方便引入一個參數ad=2a/d.從圖4可見:

1)隨著ad的增加(亦即隨著三角孔尺寸d的減小)，FIth快速單調增加，并且在某一值ad=adm處，FIth達到其最大值FIthm.在這里，adm=1.08，FIthm=1.219 6.

2)ad的繼續增加導致FIth開始快速減小，隨后慢慢減小.當ad足夠大時(亦即三角孔尺寸d相對于裂紋長度a足夠小時)，FIth幾乎等于1(亦即FIth幾乎等于KIcc).

因此，可以看出三角孔對源于它的裂紋的應力強度因子具有放大效應(amplifying effect)，但在本研究范圍內，未發現屏蔽效應(shielding effect).在趨勢上，應該也存在屏蔽效應.

通過變化三角孔的長細比dy/dx，進而研究了三角孔的幾何參數對應力強度因子的影響.為此，又考慮了3種情況:dy/dx=0.5，dy/dx=1.5和dy/dx=2.0.在這里，三角孔-裂紋問題的應力強度因子在數學上可仍然用KIth表示，令其與中心裂紋問題(長度是2a)應力強度因子的比率(FIth)，則

也稱為歸一化應力強度因子.對于dy/dx=0.5、dy/dx=2.0及dy/dx=1.0情況，計算得到的歸一化應力強度因子如圖5所示.發現對于by/bx= 2.0情況，屏蔽效應的確存在.在這里，重點討論它的放大效應.上面引入的無量綱參數adm和FIthm如表3所示.鑒于在已研究的dy/dx范圍內，FIthm隨著dy/dx明顯地變化，又考慮了2種情況:dy/ dx=2.5和dy/dx=3.0，其adm和FIthm計算結果也如表3所示.FIthm隨著dy/dx的變化如圖6所示.從表3和圖6可作結論為:隨著dy/dx增大FIthm而增加，在dy/dx=2.5時，FIthm基本上達到其最大值.

圖5 拉伸載荷作用下無限大板中三角孔－裂紋問題的歸一化應力強度因子

圖6 FIthm隨著dy/dx的變化

表3 無量綱參數adm和FIthm隨著dy/dx變化

5 結論

1)提出了求解無限大板孔邊裂紋應力強度因子的一種數值方法，算例說明本數值方法既簡單又非常有效.

2)利用這種數值方法研究了拉伸載荷作用下無限大板中三角孔-裂紋問題.通過改變孔的幾何參數，與無限大板中心裂紋問題的應力強度因子比較，揭示了孔的幾何參數對應力強度因子的影響.發現孔對源于它的裂紋的應力強度因子具有屏蔽效應和放大效應.

3)隨著dy/dx增大，FIthm而增加，在dy/dx= 2.5時，FIthm基本上達到其最大值.

4)在 dy/dx=2.5，adm=1.4時，FIthm= 1.341 9.

5)對于一個中心裂紋板，通過在裂紋板中割去一個三角孔，使得三角孔的尺寸滿足條件dy/dx= 2.5，adm=1.4，則可利用三角孔的放大效應來降低裂紋板的破壞載荷高達34%.

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