隨機(jī)參數(shù)股價波動源模型下可贖回可轉(zhuǎn)債定價

鄭曉陽，官 暢

(哈爾濱工程大學(xué) 理學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

可轉(zhuǎn)換債券是一種特殊形式的企業(yè)債，可以看作由債券和股票兩部分組成，因而兼具債權(quán)性質(zhì)和股權(quán)性質(zhì).因其賦予投資者在到期時將債券轉(zhuǎn)換成股票的權(quán)利，其中所含的可轉(zhuǎn)換股權(quán)可視為一種認(rèn)股期權(quán)，再配以贖回條款、回售條款等各種也具有不同期權(quán)性質(zhì)的條款，使得可轉(zhuǎn)換債券成為一種獨特的混合型金融衍生產(chǎn)品，其定價問題研究也具有了重要的意義［1］.

因為可轉(zhuǎn)債具有內(nèi)嵌期權(quán)性質(zhì)，對其定價問題的研究建立在了已有的期權(quán)定價研究基礎(chǔ)之上.因而1973年經(jīng)典的Black-Scholes期權(quán)定價公式的出現(xiàn)不僅極大地促進(jìn)了期權(quán)定價理論的發(fā)展，也很大程度上推動了可轉(zhuǎn)換債券的定價問題研究.最早將Black-Scholes公式用于可轉(zhuǎn)換債券定價的是Ingersoll(1977)、以及Brennan和Schwartz(1977)的研究成果.他們?yōu)榭赊D(zhuǎn)債定價提供了新思路，對后續(xù)研究具有重要參考價值［2-4］.鞅理論在近代金融數(shù)學(xué)中因其特有優(yōu)勢逐漸成為備受關(guān)注的數(shù)學(xué)工具.有關(guān)鞅理論在可轉(zhuǎn)債定價中的應(yīng)用，學(xué)者們已進(jìn)行了各種討論［5］，繼給出普通可轉(zhuǎn)債的鞅定價解析公式后，又利用鞅理論求得了考慮各種附加條款的可轉(zhuǎn)債定價公式［6-8］.之后的研究考慮了不同的股票模型，例如支付紅利的股價模型［9］、考慮信用風(fēng)險的模型［10］，同時也考慮了參數(shù)恒定或是為隨機(jī)函數(shù)的不同情形.文獻(xiàn)［11］首先采用了股價波動源模型，但模型中的各項參數(shù)都設(shè)置為常數(shù)，且異常波動源也假設(shè)為線性函數(shù).本文不局限其為線性函數(shù)，正符合此次金融危機(jī)帶來異常波動的情形，同時將各參數(shù)視為依賴時間的函數(shù)，并且考慮了附加回購條款，利用鞅定價理論得出了新模型下的可轉(zhuǎn)換債券初始價格定價公式.

1 可贖回可轉(zhuǎn)債到期時刻價值分析及市場假設(shè)

1.1 可贖回可轉(zhuǎn)債到期現(xiàn)金流分析

除了能夠像普通可轉(zhuǎn)換債券一樣到期可以選擇轉(zhuǎn)換成股票以外，附加贖回條款的可轉(zhuǎn)換債券是指，當(dāng)股票價格連續(xù)一段時間高于轉(zhuǎn)換價格時，發(fā)行方有權(quán)要求將債券贖回，從而保護(hù)發(fā)行方，幫助其減少因股價持續(xù)過高造成的損失.因而贖回條款實際是賦予了發(fā)行公司能夠強(qiáng)行轉(zhuǎn)換的權(quán)利，對投資者來說，這相當(dāng)于是一個設(shè)定了敲出價格的障礙期權(quán).

設(shè)可轉(zhuǎn)換債券面值為M，轉(zhuǎn)換價格為C，到期時刻純債券價值為PT，約定的障礙價格為L，股票在時間內(nèi)的最高價格為［0，T］，則該可轉(zhuǎn)債到期時刻的價值為CT可表示如下:

1.2 市場假設(shè)

市場模型滿足以下基本假設(shè):

1)市場為有效的無摩擦市場;

2)股票價格服從幾何布朗運動，其中股票價格預(yù)期收益率μ(t)和波動率σ(t)都是依賴于時間的函數(shù);

3)市場無風(fēng)險利率r(t)也是時間t的函數(shù)，且貸入和貸出的利率相同;

4)股票交易連續(xù)進(jìn)行，不存在交易費用及交易稅;

5)股票在可轉(zhuǎn)換債券持有期內(nèi)無紅利支付;

6)可轉(zhuǎn)換債券無違約風(fēng)險;

7)可轉(zhuǎn)換債券不會在到期日前進(jìn)行轉(zhuǎn)換.

假設(shè)股票價格滿足方程:

式中:α(t)為異常波動源的預(yù)期收益率函數(shù)［6］，此處不限定其為簡單線性函數(shù)，而是能根據(jù)市場實際情況設(shè)定的波動函數(shù);{，0≤t≤T}是概率空間(Ω，F(xiàn)，P)上的標(biāo)準(zhǔn)布朗運動;{Ft，0≤t≤T}是由{，0≤t≤T}生成的σ域.

2 Girsanov定理和概率測度轉(zhuǎn)換

2.1 Girsanov定理

Girsanov定理是進(jìn)行概率測度轉(zhuǎn)換時的基本理論依據(jù)，其具體內(nèi)容如下.

Girsanov定理:(Ω，F(xiàn)，P)是一概率空間，Ω是的所有子集構(gòu)成的σ代數(shù)，如果(θt)0≤t≤T是滿足的適應(yīng)過程，且使得如下定義的過程(Lt)0≤t≤T是一個鞅:

2.2 2次測度轉(zhuǎn)換

概率測度的轉(zhuǎn)換是對Girsanov定理的具體應(yīng)用.在本文的推導(dǎo)中，將進(jìn)行如下兩次測度轉(zhuǎn)換.

2.2.1 第1次測度轉(zhuǎn)換:

定義測度P1滿足

將式(6)代入式(2)得到

對其求解得

2.2.2 第2次測度轉(zhuǎn)換

定義測度P2，滿足

同理，P2是P1的等價鞅測度，且過程

是(Ω，F(xiàn)，P2)上的標(biāo)準(zhǔn)布朗運動.令，則有EP1(Λ2IA')= EP2(IA')對?A'∈F都成立.由式(10)可得

將其代入式(2)得到

求解得到

在對可轉(zhuǎn)債初始價格公式的推導(dǎo)過程中，還需要用到如下的兩個引理［12］.

3 可轉(zhuǎn)換債券定價推導(dǎo)

根據(jù)式(1)給出的可轉(zhuǎn)換債券在到期時刻的預(yù)期現(xiàn)金流情況，再利用鞅性質(zhì)，可知該類可轉(zhuǎn)換債券在0時刻的價值等于其到期時期望收益的貼現(xiàn)值，可將初始價格C0表示如下:

令上式右端3項分別為V1、V2、V3，以下分別求之.

3.1 V1的求解

3.2 V2的求解

P2(XT＜x，YT＜y)的計算與P1(XT＜x，YT＜y)相同，但此時取

其結(jié)果為

3.3 V3的求解

綜上，可得初始0時刻可轉(zhuǎn)換債券的初始價格為

4 結(jié)束語

本文選用股價波動源模型，正符合此次金融危機(jī)帶來異常波動的情形.利用鞅理論，推導(dǎo)出了隨機(jī)參數(shù)模型下可贖回可轉(zhuǎn)債的定價公式，推廣了鞅理論在該領(lǐng)域中的應(yīng)用，為可轉(zhuǎn)債定價研究提供了新思路.對于多種條款組合，以及考慮紅利和信用風(fēng)險等更加復(fù)雜的情況，有待日后進(jìn)一步的研究.

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