灰色預(yù)測模型的系統(tǒng)動力學(xué)仿真

郭杰，丁镠，朱超余

（1.鎮(zhèn)江高等職業(yè)技術(shù)學(xué)校江蘇鎮(zhèn)江212003；2.揚(yáng)州電力設(shè)備修造廠江蘇揚(yáng)州225003；3.南京航空航天大學(xué)江蘇南京210016）

灰色預(yù)測模型是灰色系統(tǒng)理論研究的主要內(nèi)容之一，也是預(yù)測理論體系中一個(gè)新的研究分支。1982年，華中科技大學(xué)鄧聚龍教授提出灰色系統(tǒng)理論以來[1-2]，經(jīng)過近30年的發(fā)展，灰色預(yù)測模型已被廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)、科技、工業(yè)發(fā)展、能源等眾多領(lǐng)域[3-4]。灰色預(yù)測作為灰色系統(tǒng)理論的重要組成部分不斷得到發(fā)展和優(yōu)化[5-6]。GM（1，1）作為灰色預(yù)測理論的核心模型，不斷得到改進(jìn)，其中最常用的3種預(yù)測模型為：GM（1，1）模型、DGM模型及NDGM模型。

系統(tǒng)動力學(xué)分析方法最早于1956年由美國麻省理工學(xué)院Forrester教授提出，該方法以系統(tǒng)反饋控制理論為基礎(chǔ)，計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)為主要手段，定量地研究系統(tǒng)高階次、非線性、多重反饋時(shí)變系統(tǒng)的動態(tài)行為。它采用動態(tài)模型化方法，通過建立數(shù)學(xué)模型、計(jì)算機(jī)模擬、系統(tǒng)仿真等程序，輔助人們對復(fù)雜世界進(jìn)行系統(tǒng)的思考。該方法已在分析復(fù)雜的自然生態(tài)環(huán)境系統(tǒng)與社會經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)方面有廣泛的應(yīng)用。而灰色系統(tǒng)建模也考慮了以微分方程和差分方程的思想，通過建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而對系統(tǒng)的整體功能、協(xié)調(diào)功能以及因素間關(guān)聯(lián)關(guān)系、因果關(guān)系、動態(tài)關(guān)系進(jìn)行量化研究，與系統(tǒng)動力學(xué)的仿真思路一致，因此，可將灰色預(yù)測模型與系統(tǒng)動力學(xué)仿真方法有效結(jié)合。關(guān)于系統(tǒng)動力學(xué)方法與灰色系統(tǒng)理論結(jié)合建模的研究早有學(xué)者關(guān)注，但主要集中在利用灰色分析方法輔助系統(tǒng)動力學(xué)模型的建立方面。本文結(jié)合系統(tǒng)動力學(xué)理論，將反饋機(jī)制引入3種灰色預(yù)測模型，借助系統(tǒng)動力學(xué)仿真方法分析3種灰色預(yù)測模型的擬合預(yù)測特性。

1 3種灰色預(yù)測模型簡介

設(shè)系統(tǒng)某行為特征序列的觀測值為：X（0）=（x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n））其一次累加生成序列為：X（1）=（x（1）（1），x（1）（2），…，

為近似非齊次指數(shù)序列的離散灰色模型（nonhomogenous discrete grey model，NDGM）。

經(jīng)典GM（1，1）模型求解模型參數(shù)時(shí)采用基本形式，在預(yù)測時(shí)將（1）式解得參數(shù)代入白化形式（2），文獻(xiàn)[7]指出參數(shù)求解和預(yù)測過程中離散形式到連續(xù)形式的直接跳躍是原GM（1，1）模型預(yù)測效果不理想、結(jié)果不穩(wěn)定的根源，并提出離散灰色模型，證明了該模型理論上能對齊次指數(shù)序列完全擬合。但GM（1，1）、DGM模型的均以序列服從近似指數(shù)增長規(guī)律為建模前提，為進(jìn)一步拓寬模型適用范圍提出了適用于近似齊次指數(shù)指數(shù)增長規(guī)律的離散灰色模型（NDGM），證明了NDGM模型具有原序列數(shù)乘變換以及累加序列平移變化重合性。

朱超余采用非齊次指數(shù)序列代數(shù)形式導(dǎo)入NDGM模型參數(shù)矩陣的方法，通過推導(dǎo)證明了NDGM模型對原序列平移變換也具有重合性，并進(jìn)一步證明了NDGM模型可對非齊次指數(shù)序列無偏擬合預(yù)測。但為提高模型的擬合效果灰色模型參數(shù)矩陣也逐步趨于復(fù)雜，使得對灰色模型進(jìn)行理論分析造成了困難，本文結(jié)合系統(tǒng)動力學(xué)仿真方法對灰色預(yù)測模型進(jìn)行了進(jìn)一步分析，不僅通過仿真驗(yàn)證了驗(yàn)證了理論所證上述結(jié)果的經(jīng)得起實(shí)證檢驗(yàn)，更使得不同建模序列之于不同灰色模型的建模效果有了一種較之理論推導(dǎo)更為直觀的分析方法，為灰色模型提供了一種新的分析思路。

2 灰色預(yù)測模型的系統(tǒng)動力學(xué)仿真

2.1 GM（1，1）及其系統(tǒng)動力學(xué)模型

根據(jù)（2）式，可構(gòu)建GM（1，1）模型的白化形式的存量流量圖，如圖1和圖2所示。

圖1 GM、DGM存量流量圖Fig.1 Flow chart of GM、DGM stock

圖2 NDGM模型存量流量圖Fig.2 Flow chart of NDGM model stock

其相應(yīng)變量定義及方程見表1所示。

表1 GM白化形式的系統(tǒng)動力學(xué)模型定義Tab.1 GM systemic dynamics model definition

2.2 DGM及其系統(tǒng)動力學(xué)模型

根據(jù)（3）式，可構(gòu)建DGM模型的存量流量圖與圖1相同，相應(yīng)變量定義及方程見表2所示。

表2 DGM的系統(tǒng)動力學(xué)模型定義Tab.2 DGM systemic dynamics model definition

2.3 NDGM及其系統(tǒng)動力學(xué)模型

根據(jù)（4）式，可構(gòu)建NDGM模型的存量流量圖2，相應(yīng)變量定義及方程見表3所示。

表3 NDGM的系統(tǒng)動力學(xué)模型定義Tab.3 NDGM systemic dynamics model definition

3 灰色預(yù)測模型效果分析

3.1 齊次指數(shù)序列分析

設(shè)有一組齊次指數(shù)序列X（0）=（x（0）（1），x（0）（2）…，x（0）（n）），其中x（0）（k）=2k，現(xiàn)以序列X（0）=（2，4，8，16，32）為原始序列分別建立GM、DGM、NDGM模型，測得參數(shù)如下所示：

通過對SD仿真，得到如下分析結(jié)論：

1）GM（1，1）模型的白化形式是齊次指數(shù)序列的有偏預(yù)測模型，且模型預(yù)測偏差較大：如圖3所示，曲線1為GM白化形式、曲線2為真實(shí)的齊次指數(shù)序列走勢，可以看到，GM白化形式不僅不能完全擬合原齊次指數(shù)序列，且在短期預(yù)測中已發(fā)生了較大的預(yù)測偏差。

圖3 真實(shí)值與GM（1，1）模型仿真結(jié)果對比圖Fig.3 Compared with GM（1，1）model simulation results

2）DGM、NDGM模型是齊次指數(shù)序列的無偏預(yù)測模型如圖4所示，DGM及NDGM擬合預(yù)測仿真結(jié)果與真實(shí)的齊次指數(shù)序列走勢完全重合。

圖4 真實(shí)值與DGM、NDGM模型仿真結(jié)果對比圖Fig.4 Compared with DGM、NDGM model simulation results

3.2 非齊次指數(shù)序列分析

設(shè)有兩組非齊次指數(shù)序列X（0）1，X（0）2，其中x（0）1（k）=3×2k+1，x（0）2（k）=3×（-0.9）k+1，現(xiàn)以序列X（0）1，X（0）2為原始序列分別建立DGM、NDGM模型，測得參數(shù)如表4所示。

表4 非齊次指數(shù)序列模型參數(shù)情況Tab.4 Non-homogenous index series model parameters

通過對SD仿真，得到如下分析結(jié)論：

1）NDGM模型是非齊次指數(shù)序列的完全擬合預(yù)測模型：從圖5、圖6可以看出，無論對于序列X（0）1還是序列X（0）2，NDGM模型的擬合預(yù)測值均與真實(shí)序列完全重合；

2）DGM模型是非齊次指數(shù)序列的有偏擬合預(yù)測模型：圖4是模型對一單調(diào)增長的非齊次指數(shù)序列的擬合預(yù)測過程，可以看出在預(yù)測DGM模擬的預(yù)測結(jié)果已與真實(shí)序列發(fā)生了較大偏差；圖5是模型對減幅震蕩的非齊次指數(shù)序列的擬合預(yù)測過程，可以看出DGM模型并不適合對非平緩序列建模，它對震蕩序列的擬合過程雖在擬合初期形成一個(gè)震蕩，但也是建模時(shí)對始點(diǎn)的固定而造成的，其擬合序列的衰減過程非常快，在預(yù)測的第2期（圖中第7期）已衰減為0。

圖5 序列1的仿真結(jié)果對比Fig.5 Compared with series 1 model simulation results

圖6 序列2的仿真結(jié)果對比Fig.6 Compared with series 2 model simulation results

3.3 近似非齊次指數(shù)序列分析

以1996～2008年GDP為例：

X（0）=（70 142.5，78 060.8，83 024.3，88 479.2，98 000.5，108 068.2，119 095.7，135 174.0，159 586.7，184 088.6，213 131.7，251 483.2，302 853.4）

為一組近似非齊次指數(shù)序列原始序列分別建立GM、DGM、NDGM模型，測得參數(shù)如下所示：

βGM1=1.148，βGM2=51 751.198；βNDGM1=1.249，βNDGM2=-14 001.992，βNDGM3=3 840.405，βNDGM4=134.601.

通過對SD仿真，得到如下分析結(jié)論：

1）NDGM模型能較好地?cái)M合原GDP序列：從圖6、圖7中可以看出NDGM模型的GDP擬合值基本與原GDP序列重合，略有浮動；

2）DGM模型對GDP序列進(jìn)行擬合初期存在滯后偏差：從圖7中可以看到，雖然DGM模型對序列擬合始點(diǎn)加以了固定，但是在前5期都存在著明顯的滯后偏差；

3）在對近似非齊次序列擬合時(shí)，NDGM模型明顯優(yōu)于DGM模型：NDGM模型不僅在擬合初期不存在滯后偏差，而且如圖8所示，該模型的擬合值更貼近于真實(shí)值。

圖7 模型擬合初期仿真結(jié)果對比Fig.7 Compared with initial model fitting simulation

圖8 模型5～10期仿真結(jié)果對比Fig.8 Compared with the 5～10th model fitting simulation

4 結(jié)論

本文使用系統(tǒng)動力學(xué)方法，針對GM（1，1）模型、DGM模型、NDGM模型等3種灰色預(yù)測模型建立系統(tǒng)動力學(xué)模型，分析了4種灰色預(yù)測模型的擬合預(yù)測效果。結(jié)果表明：GM模型的白化形式是齊次指數(shù)序列的有偏預(yù)測模型，且模型預(yù)測偏差較大；DGM、NDGM模型是齊次指數(shù)序列的無偏預(yù)測模型；NDGM模型是非齊次指數(shù)序列的完全擬合預(yù)測模型，說明建模序列可不必為平緩序列；DGM模型是非齊次指數(shù)序列的有偏擬合預(yù)測模型且不適合用于對非平緩序列的建模；在對近似非齊次序列擬合時(shí)，NDGM模型明顯優(yōu)于其他模型。

此外，本文將反饋觀點(diǎn)引入灰色模型，借助系統(tǒng)動力學(xué)分析灰色模型，是將灰色系統(tǒng)理論與系統(tǒng)動力學(xué)方法相結(jié)合的一次有益嘗試，有助于灰色模型的拓展與完善。

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