算法能力的提出與界定

曹懷火，潘楊友

（池州學(xué)院 數(shù)學(xué)計算機科學(xué)系，安徽 池州 247000）

算法能力的提出與界定

曹懷火，潘楊友

（池州學(xué)院 數(shù)學(xué)計算機科學(xué)系，安徽 池州 247000）

數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)包涵算法語言和算法內(nèi)容的教學(xué)，根據(jù)能力、算法的涵義及數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)能力的具體表現(xiàn)形式，文章提出“算法能力”的概念及其相應(yīng)的界定，并給出算法能力的構(gòu)成，它由閱讀算法能力、提煉算理能力、算法語言能力、應(yīng)用算法能力四部分組成。

算法能力；數(shù)學(xué)能力；算理；標準

1 算法能力的提出

1.1 問題的背景

數(shù)學(xué)課程注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，是數(shù)學(xué)教育的基本目標之一。人們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運用數(shù)學(xué)解決問題時，不斷經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號表示、運算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構(gòu)等思維過程，這些過程是數(shù)學(xué)思維能力的具體表現(xiàn)。

數(shù)學(xué)課程強調(diào)隨著學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)容的變化，課程設(shè)置與實施要重新審視能力內(nèi)涵，形成符合時代要求的創(chuàng)新型人才。為了迎合信息時代發(fā)展的需要，例如我國中學(xué)數(shù)學(xué)課程對算法內(nèi)容的教學(xué)過程中就要求把基本的數(shù)據(jù)處理、程序框圖等知識作為新的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能[1]3-4需要掌握。

學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果總是以一定的能力呈現(xiàn)的，算法內(nèi)容教學(xué)能形成什么獨特的能力呢？這種能力與算法緊密關(guān)聯(lián)，我們能否把這種能力稱為算法能力？為什么？若能稱之為算法能力，那么它的內(nèi)涵是什么？它又由哪些具體能力構(gòu)成呢？

按照不列顛大百科全書的說法，“算法就是能夠在有限步產(chǎn)生問題結(jié)果的一系列的數(shù)學(xué)步驟”，“廣義地說，算法指解決任意一個問題時所作的一種處理過程[2]629”。算法可以看作是對問題的另一種意義上的解，即不僅簡單地包括對問題的答案，還包括了獲得答案的過程、方法.這樣，某些算法設(shè)計的思路、技巧就有可能成為一般性解決問題的策略。鑒于此，我們提出“算法能力”這一概念。

1.2 問題的分析

1.2.1 數(shù)學(xué)能力涉及算法范疇 數(shù)學(xué)能力包括理解數(shù)學(xué)概念、思想和方法，能在各種情況下辨明數(shù)學(xué)關(guān)系，會邏輯地推理，會解決各種問題（常規(guī)的和非常規(guī)的問題），能夠有數(shù)學(xué)方法閱讀文獻，能夠用口頭和書面的形式表達數(shù)量關(guān)系和邏輯分析。能夠在將來的職業(yè)和日常生活中使用數(shù)學(xué)、會數(shù)學(xué)地看事情，知道什么時候數(shù)學(xué)地分析有助于解釋清楚問題，有充分的數(shù)學(xué)知識去擇業(yè)和進一步學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)能力還包括交流數(shù)學(xué)的才能，除了如何解決問題以外，還必須會閱讀并理解數(shù)學(xué)課本，并且會口頭和書面地把數(shù)學(xué)研究和問題解決的結(jié)果向別人表達.所以數(shù)學(xué)課本必須提供適當(dāng)?shù)那榫常寣W(xué)生能夠?qū)W習(xí)讀數(shù)學(xué)，寫數(shù)學(xué)，說數(shù)學(xué).因此，各階段都必須始終強調(diào)問題解決[3]51。更一般地說，數(shù)學(xué)能力表現(xiàn)為運算能力、空間想象能力與思維能力三個方面。

在解決問題即實現(xiàn)算法過程中，需要解決者正確簡化算法問題、辯明關(guān)系、對算法進行邏輯分析與推理，提煉出“算理”，進而表達算法等一系列過程.由課程具體目標中對能力的表述、三方面能力的內(nèi)涵及算法的概念，我們可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)能力的一個具體內(nèi)容是關(guān)于算法方面的能力。具體地說：（1）算法在運算能力中表現(xiàn)出能正確理解算法程序框圖的有關(guān)概念，并給出它的解釋；能抓住流程圖中各圖框之間的數(shù)量和位置關(guān)系，并能根據(jù)算法框圖位置的變化及流程線的方向?qū)Τ绦蚣右苑治龊吞幚恚唬?）算法在思維能力方面反映出學(xué)生能對需要解決的算法問題進行全面、細微的思考，能自覺進行歸納與類比，尋找算理，做到每一步理由充分，能從不同角度、方向思考問題。

1.2.2 算法語言是實現(xiàn)數(shù)學(xué)形式化表達的重要載體形式化是數(shù)學(xué)的基本特征之一，形式化的表達是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一項基本要求.數(shù)學(xué)課程的主要目的是發(fā)展符號意識、發(fā)展順暢使用符號和其他抽象名稱（可以是幾何的、代數(shù)的或算法的）的能力必須是數(shù)學(xué)的中心目的.學(xué)生有效使用符號去推理的能力要求有以下的體驗：

表達—用符號形式表達數(shù)學(xué)問題并在關(guān)系、式子和方程中使用這些符號表達式的能力；

操作—確定適當(dāng)?shù)姆柍绦蚝瓦x擇適當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q，用符號形式表達問題的能力；

解釋—用符號系統(tǒng)推理得出結(jié)論并檢驗這些結(jié)果的準確性和合理性的能力。

當(dāng)然計數(shù)器和計算機在發(fā)展符號意識中起著重要作用，因為強有力的計數(shù)器深刻影響符號操作.在目前強調(diào)操作技能需改成大大強調(diào)理解和問題解決.新技術(shù)對數(shù)學(xué)課程的影響無疑將是發(fā)展高級軟件使學(xué)生能夠去發(fā)現(xiàn)模式，而不僅僅是符號操作[3]。

我們不但把“強調(diào)本質(zhì)，注意適度形式化”作為數(shù)學(xué)課程的基本理念之一，而且強調(diào)數(shù)學(xué)思維能力把符號表示、運算求解、數(shù)據(jù)處理作為它的基本方面。例如，高中數(shù)學(xué)課程中的“算法初步”內(nèi)容，其語句、框圖呈現(xiàn)出很強的結(jié)構(gòu)性特點，在問題表達中體現(xiàn)嚴密的邏輯性特征，這些特性是實現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)容形式化表達的基本要求.將數(shù)學(xué)中的算法與計算機技術(shù)建立聯(lián)系，形式化地表示算法，使其能在計算機上實現(xiàn).為了有條理地表達算法，往往需要將解決問題的過程整理成程序框圖；為了能在計算機上實現(xiàn)，還需要將自然語言或程序框圖翻譯成計算機語言，即算法語言。算法語言是由算法語句、三種基本結(jié)構(gòu)、函數(shù)、邏輯判斷等組成的一種語言，具有無歧義性、簡潔明了、準確方便等數(shù)學(xué)語言的優(yōu)點。通過算法語言表達解決某類或某個問題的過程，即實現(xiàn)問題解答過程的形式化，可以說，算法教學(xué)是以算法語言為重要載體，能實現(xiàn)數(shù)學(xué)表示的符號化。因此，我們說具有實現(xiàn)數(shù)學(xué)形式化能力的一個重要組成部分是算法語言能力的建立和養(yǎng)成。

1.2.3 算法內(nèi)容的教學(xué)有利于提高學(xué)生解決問題的能力 解題是鞏固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、發(fā)展基本技能的必要途徑，也是檢驗知識、運用知識的基本形式。數(shù)學(xué)教師利用與知識相稱的題目來激起學(xué)生的好奇心，并用一些啟發(fā)性的問題去幫助他們解答題目，能夠培養(yǎng)學(xué)生獨立思考的習(xí)慣，增強他們的解題能力，都會對他們的思想和性格產(chǎn)生終生的影響。

算法教學(xué)以實例為主.在問題解決整個過程中，通過對實例的分析、聯(lián)想、類比，把一個復(fù)雜、生疏的問題轉(zhuǎn)化為簡單的、熟悉的、解答過的問題,讓學(xué)生經(jīng)歷算法問題解決過程，進一步領(lǐng)悟算法中隱藏的算理，學(xué)會一步一步思考，體會“Step by Step”算法思想，理清其來龍去脈，達成講授知識、傳授技能、培養(yǎng)能力的目標。這種程序化思維模式，逐步思考的方法，利于深刻領(lǐng)會問題中關(guān)系，尋找聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)問題解決方法。

綜合上述三點理由，可以看出算法與能力密切相連，數(shù)學(xué)的具體能力中包含算法成分，而能力在算法環(huán)境下又具有特殊性，鑒于此，我們把這種能力稱為“算法能力”。

2 算法能力的界定與構(gòu)成

能力是順利完成某項活動所具備的一種穩(wěn)定的個性心理特征，它與活動緊密想聯(lián)系.隨著數(shù)學(xué)教育的發(fā)展變化，人們對數(shù)學(xué)能力也逐漸細化和具體化，如2000年，美國數(shù)學(xué)教師協(xié)會發(fā)布《數(shù)學(xué)課程標準》[4]中提到6項能力、我國2002年頒布的全日制高中《數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》界定了惟有數(shù)學(xué)學(xué)科才有“數(shù)學(xué)思維能力”，甚至可以指數(shù)學(xué)的某一過程或內(nèi)容所具有的能力。

2.1 算法能力的界定

算法能力是數(shù)學(xué)能力中的一個特殊類型，它與數(shù)學(xué)活動、算法知識緊密聯(lián)系在一起，是算法知識與概括的心理活動的“融合”物。具體而言，在算法問題的解決活動中，它體現(xiàn)出能夠仔細地觀察問題與分析問題、探索規(guī)律、發(fā)現(xiàn)此類問題的“算理”、選擇恰當(dāng)?shù)乃惴ǚ枴ⅹ毺氐慕忸}方案與方法，是解題者個性心理特征在數(shù)學(xué)活動中的顯性表露，并且這種個性心理特征直接影響同類問題的解決及其活動效率的高低。因此，我們認為算法能力是指在解決與算法相關(guān)的問題過程中，主體表現(xiàn)出正確地理解題意、符號，善于將問題概括為一個算法問題，并能提煉出問題中蘊涵的“算理”，合理運用算法的知識與經(jīng)驗，正確地解決問題并直接影響解決問題效率高低的一種比較穩(wěn)定的個性心理特征。

算法能力內(nèi)涵中突出強調(diào)了概括化的心理活動，因為概括化的方向、強弱影響著問題中“算理”提取，最終直接決定著活動效率的高低；而且問題解決者經(jīng)過理解、分析、歸納、縱橫聯(lián)想、類比后，提煉出“算理”，運用算法語言、程序框圖來表達算法實現(xiàn)過程也是概括化的結(jié)果。

2.2 算法能力的構(gòu)成

一般認為能力是完成某種活動的本領(lǐng)，它包括完成某種活動的具體方式，以及順利地、成功地完成某種活動所必須的個性心理特征.由于各種活動的方式不同，所需要的心理特征在個體身上的發(fā)展程度和結(jié)合方式也不一樣，也形成了能力的個性差異。

根據(jù)對算法能力的表述，在問題解決過程中，它表現(xiàn)出的具體形式可劃分為四個方面：閱讀分析→概括算法，理解算法→提煉 “算理”，深化理解→應(yīng)用“算理”，表達“算理”→實現(xiàn)算法。在第一階段中，表現(xiàn)出通過閱讀分析，能抽象概括其內(nèi)在關(guān)系，建立算法模型，這種能力稱為閱讀算法能力；第二階段是分析算法模型所蘊藏的關(guān)系、結(jié)構(gòu)，并把它概括出來，可以稱之為提煉算理能力；在第三階段中，不但要求理解已提煉出來的“算理”，理解其結(jié)構(gòu)和語義，并且能把這種理解遷移到其他環(huán)境中去，解決其他的問題，實際上它表現(xiàn)為駕馭算法基本結(jié)構(gòu)、語句的能力，稱之為算法語言能力；第四階段是結(jié)果的實現(xiàn)階段，任何一種能力都是在交流、表達中展示出來的，算法能力也不例外，它是在前三個階段的基礎(chǔ)上，運用算法語言、體現(xiàn)算法思想的過程，把與之相關(guān)的能力稱為應(yīng)用算法能力。因此，算法能力可以看成由閱讀算法能力、提煉算理能力、算法語言能力、應(yīng)用算法能力四部分組成。

閱讀是一種復(fù)雜的言語過程，在這個過程中，需要用自己的內(nèi)部言語來理解和改造原來的問題，利用原有的知識經(jīng)驗對閱讀的材料加以同化，達到對信息的正確理解。閱讀算法能力是通過閱讀，把用自然語言、符號描述的問題概括為算法問題，建立算法模型。提煉算理能力是在閱讀算法能力的基礎(chǔ)上，把其結(jié)構(gòu)或內(nèi)在關(guān)系表達出來，它是抽象概括能力的一種特殊成分.算法語言能力表現(xiàn)在把概括出來的算理，通過程序框圖、算法語句或程序語言正確描述算法，準確而簡練的方式表示算法的基本操作，使其能在計算機上運行能得到正確結(jié)果的一種數(shù)學(xué)能力.應(yīng)用算法能力表現(xiàn)為運用算法程序框圖及其三種基本結(jié)構(gòu)的邏輯規(guī)則，從已知推導(dǎo)未知，或用已知解釋未知的一種數(shù)學(xué)思維能力，它具體可分為比較與分類、類比、歸納和演繹、分析與綜合、抽象與概括等各項基本能力。在解決問題過程中，應(yīng)用算法能力可以是一種或多種具體能力的組合。這四種能力相互依存，每一種能力都是算法能力一個不可或缺的部分。

3 結(jié)論

對一些算法知識的學(xué)習(xí)是十分必要的，它的重要性不僅表現(xiàn)在算法是數(shù)學(xué)及其應(yīng)用的重要組成部分，還表現(xiàn)在計算機科學(xué)即是算法的科學(xué)，算法研究是計算機科學(xué)的基礎(chǔ)、核心。因此，無論是中學(xué)，甚至大學(xué)都有必要加強算法、算法能力、算法教學(xué)等方面的研究，促進學(xué)生算法能力的提高，適應(yīng)時代發(fā)展的需要。

[1]中華人民共和國教育部制訂.普通高中數(shù)學(xué)課程標準(實驗)[M].北京:人民教育出版社,2003.

[2]中國大百科全書總編輯委員會《數(shù)學(xué)》編輯委員會.中國大百科全書（數(shù)學(xué)）[M].北京：中國大百科全書出版社出版發(fā)行，1992.

[3]劉兼.21世紀中國數(shù)學(xué)教育展望（2）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，1995.

Proposal and Definition of Algorithm Ability

Cao Huaihuo,Pan Yangyou
(Department of Math and Computer Science,Chizhou,Anhui 247000)

Development of mathematical ability includes algorithm language and algorithm content teaching.According to the connotation of ability and algorithm and specific forms of learning ability of math curriculum,the paper proposes the concept and definition of“algorithm ability”,which consists of reading algorithm ability,algorithm ability,refining algorithm ability,algorithm language ability,applying algorithm ability.

Algorithm Ability;Mathematical Ability;Algorithm Understanding;Standard

O14

A

1674-1102(2011)06-0021-03

2011-03-15

《高等數(shù)學(xué)》課程教學(xué)團隊；項目池州學(xué)院教研項目（2010JY019）。

曹懷火（1975—），安徽東至人，池州學(xué)院計算機數(shù)學(xué)系副教授，碩士，主要從事高等數(shù)學(xué)教學(xué)研究。

[責(zé)任編輯：束仁龍]