文科類高等數學課教學中的數學語言教育

數學語言作為一種科學語言，它的基本特征是：一是準確性。數學語言可以擺脫日常用語(自然語言)的多義性與歧義性，表達準確無誤，不易別解；二是簡約性。數學語言歷經了幾千年的發展，逐漸演化一整套符號語言，表達形式簡練而又確切，便于人們進行量的比較與判斷；三是形式抽象化。也正是由于數學語言變得越來越簡約，因而也就越來越形式化，越來越抽象。試想

這樣的記法把導數的意義全部涵蓋在里邊。若用自然語言表述需要多少句話呢?以上特征使得數學語言一方面描述與刻畫客觀世界的自然現象與社會現象變得越來越精確與簡潔；另一方面又使得它在發現科學真理方面顯示了巨大的威力。麥克斯韋通過建立麥克斯韋方程組預測電磁場的存在，就是一個典型的例子。近年來，“數學語言還以其特有的精確性、簡潔性、邏輯性和抽象性為社會科學語言注入活力，并逐步成為社會科學語言中重要的組成部分。各種數學概念、術語、公式、算法、程序正被社會科學工作者得心應手地使用著。現在數學的語言，從控制論到幾何學，從微分幾何到統計學，已經滲透到了現代社會各個信息系統中去。”

目前，許多文科專業都開設了高等數學課程。一方面，由于數學語言在社會科學中的重要性，迫使我們在從事文科數學教學時，特別關注數學語言的教育，這也正是文科專業開設文科高等數學課程的目的之一，另一方面，也正是由于數學語言具有前述的一些特征，因此，它在培養文科學生素質方面起著至關重要的作用。此外，數學教育心理學的研究還表明學生的數學學習是和學生數學語言的發展水平緊密相連的，“數學思維的發展是離不開數學語言的同步發展的”，教學實踐也表明，數學語言發展水平低的學生的數學理解力也差，理解問題常常發生困難和錯誤。以上三方面的原因使得我們應特別重視文科高數教學中的數學語言教育。筆者近幾年一直從事文科高等數學的教學，在這方面做了一些有益的嘗試，收到了良好的效果。

一.強調數學語言的重要性，加強使用數學語言的意識

經歷了十多年的中小學數學教育，大學生們已積累了一定的數學語言基礎，然而，中小學數學教育中，應試占主要地位。以解題為中心的數學活動，或多或少地淡化了數學語言教育，我曾多次與他們交流，讓他們談談對數學語言的感受，他們大都認為“因為——所以”就是數學語言或者認為數學語言就是符號。這證明他們對數學語言的理解僅停留在低層次上，并不知道它的特征、意義和作用。初等數學與高等數學是一脈相承的，只是高數的內容更抽象、更復雜一些。因而在數學語言方面就顯得更形式化一些。我們作為高數的教育者，應把高數教育看做是對文科學生進行數學語言教育的契機。應在這樣一門課程中，讓他們得到一次提升與凝練，所以我們在每一節中都可以追求數學語言教育，不斷地向他們灌輸數學語言的重要性，有意識地揭示數學語言的特征，強化他們對它的認識。我反復向他們講“全部的數學可以概括為兩件事，一是如何使描述與刻畫自然或社會現象的語言變得簡練；二是如何使改造自然或社會的方法變得更簡潔。”數學家一直朝這兩個方面努力，前者就是數學語言的生成、使用與發展；后者則是數學知識方法的創新與應用。而前者顯然是后者的基礎，在高數教學中，要讓學生感受到數學語言的力量，它的形式化、它的簡約性、它所涵蓋的信息量是任何其他語言所不能替代的。詩歌雖然也是一種濃縮的語言，它也具備精煉、簡潔、深刻等特點，它所表達的意義非常豐富，但它還不能與數學語言相比較，因為數學語言的最重要特征——準確性是詩歌所不具備的。在公式(a+b)²=a²+2ab+b²中，a、b是形式化的，可以是任何數、任何式，甚至可以是桌椅、板凳，但它所表達的關系是永恒不變的。[f(x)g(x)]=f(x)g(x)+f(x)g’(x)中的函數是可以變的，但這個等式是永恒的，詩歌則不同，同樣一首詩，不同人讀可能有不同的理解，不同的感受，所有這些都需要教者在教學中不失時機地揭示出來。任何一種文化交流活動都要受相應的文化規則制約的，都要涉及相應的文化背景，數學教學在本質上也是教師與學生之間、師生與數學之間的交流、交往的過程，給文科專業的學生講授高等數學，就要考慮到文科專業的特點，要經常把文學、詩歌、藝術、音樂、財經等方面的知識聯系起來，并將其數學語言化，或與數學語言作對比，使他們感受數學語言的力量，學會使用數學語言，從而學會利用數學思維思考問題，解決問題，這才真正達到了文科專業開設高等數學的目的。

二.將數學語言教育落實到每一節課中

語言教育是需要時間和環境的，一年的高數教學，如果把數學語言教育做好，對學生的影響是巨大的。關鍵是我們能否將其落實到每一節課中。因為每一節的數學知識都要用數學語言表述，反過來又可把每一節的數學知識看作是數學語言的載體，所以數學語言教育應落實到每一節課，落實到每一個知識點上。我們既要考慮整體課程中的數學語言教育，又要關注具體每一節課中的數學語言教學設計，下面是我講“連續”一節中的有關數學語言教學設計片段，可供大家參考：

師：“連續”是我們經常提到的一個詞，誰能舉出幾個“連續”的例子?

生1：“人群連續不斷地進入教室”。

生2：“水龍頭連續不斷地流水”。

生3：“我連續好幾天沒睡好覺”。

生4：“教室里這根電線是連續不斷的”。

生5：“我們在中學里學的一次函數，二次函數圖像是連續不斷的曲線”。

師：“好!大家舉的例子都很生動具體，但以上例子中的連續都是一樣的嗎?有什么區別?我們能否將這些例子做一下分類，那些例子更相近呢?它們的特征是什么呢?”

生2：“我覺得我舉的水龍頭連續不斷地流水與電線連續不斷以及拋物線圖像很相近，他們都可畫出連續不斷的曲線”。

生1：“連續不斷的人群與電線連續不斷是不一樣的。人群無論怎樣連續也是有縫隙的，但電線則不同，哦!我知道了它們可分成兩類，一類是都能用連續不斷的曲線表示；另一類可用一些較為密集的點表示。”

師：“看來大家已經發現了平時我們平時所說的‘連續’，盡管用的是同一個詞，但意義并不同。今天我們就來講數學上的‘連續’。數學中的‘連續’正是來源于現實世界的各種連續現象，但把它抽象了，抽象出共同的特征加以定義，加以研究，并加以應用。讓我們先來看兩個函數對應曲線上在某一點處附近的特征……

以下開始通過比較連續與間斷特征，進一步抽象出連續的定義。

通過上例可以看出，數學語言其實也不過是自然語言的細致化，精微化，它與自然語言有密切相關的聯系。教學時，可將兩者聯系起來，并做對比，會使學生容易接受，并且在受到數學語言教育的同時，發現自然語言的一些弱點，更增強他們使用數學語言的信心。

該例子也從另一個角度告訴我們，盡管高數中的大量概念都是以邏輯定義方式給出的。這似乎讓教者一定用概念同化的方式講授概念，從概念到概念，完全是抽象的。學生也是不易接受的，文科的學生往往形象思維發達，我們可以利用大量生活的例子或他們已學過的知識利用概念形成的方式來講授數學概念。其效果非常好。高等數學中大量的概念如導數、定積分、微分、偏導數、全微分、多重積分等，都可通過這種方式學習，數學語言的學習不是一蹴而就的，做教師的要持之以恒，把數學語言學習看做是一項系統工程，把它落實到每一節課。

三.設計教學策略，讓學生參與到數學語言的學習中來

教師普遍反映，文科高數課不好上，學生基礎差，上課不愛聽，考試成績不理想。甚至出現了不愿接手文科課的現象，認為費力不討好。我個人認為這不只是學生方面的因素，重要的還在于教師。作為教者，首先是否認真研究了文科學生的特點，是否認真研究了文科教學要達到的目標，是否認真的研究了文科教材的特點。其次是否根據以上的研究做了教學法上的研究。教師是否調動了可調動的一切因素，是否強調了學生學習的主體性，是否精心地設計了教學策略，以提高教學效率。當教學目標編制好以后，就需要根據一定的教學任務和學生的特點，有針對性地選擇與組合相關的教學內容、教學組織形式、教學方法和技術，形成具有效率意義的教學方案，這就是教學策略。文科學生思維活躍，他們好說好動，樂于接受新知識，學習的自主性很強，這就為我們設計教學策略提供了一個良好的人文環境。在教學中我們要充分發揮他們學習的主體性，引導組織學生的學習活動，使他們真正地參與到教學活動中來，“用內心的體驗與感受去學習”。如在學習函數極限概念時，自變量的變化趨勢有好幾種類型，但在對問題的刻畫以及語言的敘述方式上基本上是一樣的，這給我們提供了非常好的數學語言學習的契機，首先在前面已講過了數列極限的概念，他們或多或少掌握了這種定義方式，但還不習慣，還不能完全理解定義的要義，特別是落實到用和來刻畫時，還感到別扭，所以，要先復習一下數列極限的定義，強調這種語言敘述方式的關鍵所在，然后，通過類比的方式重點講第一種類型，即當趨于無窮大時的極限，在充分感受和理解的情況下，剩下的幾種類型，如x趨于正無窮大和負無窮大這兩種單側類型、x趨于有限值時的極限等等，循循善誘，啟發誘導，教師與學生共同完成概念的定義，問學生應該如何定義，讓他們嘗試使用剛剛學過的定義方式去定義，剛開始他們不愿去做，也說不好，甚至有抵觸情緒，他們認為定義就是書中的事，講明白是你老師的事，與我們學生有什么關系。作為教師，要想辦法轉變學生的觀念，要讓他們知道教學就是師生共同完成學習任務的過程，數學是“做會的”而不是“聽會的”，對他們要進行鼓勵和賞識，并告訴他們課堂上的參與度也要記入平時的考核之中(當然，這種過程性評價要與教學管理部門溝通，得到他們的支持)，時間一長，慢慢的就好了，同學們也逐漸地習慣了，課堂上甚至出現爭先恐后的現象，真正做到了由“要我學”到“我要學”的轉變。細究起來，這主要還是他們在這種學習方式中，從中受益了。由此可見，精心設計教學策略，使學生真正進入角色，從而在老師的幫助下，自己構建數學知識，完成數學語言與知識的學習是多么的重要。

四.言傳身教、嚴格要求，全方位地進行數學語言教育

作為教師要對數學語言有較深入的理解，必要的話還應對其有一定的研究，只有這樣才能了解數學語言的發展演變過程，知曉數學語言在數學發展的長河中的地位與作用，同時，還應知道數學語言對數學學習的重要意義。臨床數學學習障礙分析表明，數學學習上的困難大部分來自于數學語言，如微積分中第一個重要的概念“數列的極限”學習就是一個典型的例子，多年的經驗告訴我們，其中的困難有兩點：一是自然語言與數學語言之間的轉換，二是數學語言的三種形式，即文字語言、符號語言和圖表語言之間的相互轉換。所以，我們不是把數列極限的定義合盤拋出來，然后再逐條的作解釋，這樣效果很不理想，而是先列舉一些數列，讓他們觀察，發現某些數列具有共同的特征，即當項數越來越大時，總是趨于一個固定的常數，其實這就是用自然語言描述的數學極限的定義，這一步大部分學生都不會有困難，然后啟發他們能不能把這一現象用數學方式表述出來，教師可啟發學生“趨于”就是“兩個數要多接近有多接近”，“兩個數要多接近有多接近”就是“兩個數的差的絕對值要多小有多小”，“要多小有多小”進一步還可把它轉換成“無論你給的數多么小，我的數比你還小”，這時可把它寫成數學式子“對任給的s>O|x_n-a|N時成立，這時便可引出數列極限的嚴格定義了，其實書本中的定義采用的數學符號語言，要想讓學生深層次理解數列極限的定義，還應用幾何語言，即圖表語言進行解釋|x_n-A|n都落在以A為中心的鄰域內，而該鄰域外，至多有前項。這也是將代數語言轉換成幾何語言的過程。認識到數學語言的學習是有層次和梯度的，我們把每一個類似數列極限定義的抽象概念的學習分成幾個步驟，把難度分解，適當做好鋪墊，讓他們感到每一步驟雖有小的困難，但能都很順其自然逾越，“跳一跳，能摘到桃子”的感覺對初學高等數學的大學生來說是很重要的，否則，“一悶棍打死”就讓他們失去了學習高等數學的興趣和信心，然而，學生的差異很大，有的學生可能數學語言基礎好一些，有的差一些，這些差異不可能全在課堂上解決，我們還應有一些補充形式，如布置預習、課前發放相關的閱讀材料，找學生談話、組織課后學習小組、個別輔導等多種方式。

作為教師，每一節的教學活動中都要言傳身教，樹立數學語言使用的典范。做到既要語言的準確、規范，又要通俗易懂、深入淺出。同時還要把握住通俗與嚴格之間的關系，注意區分自然語言與數學語言之間的差異，揭示自然語言與數學語言相互轉換的過程。

除了課堂教學外，作業也是數學語言教育的一個重要途徑，這是數學語言落實到書面的實踐與檢驗，我們應更加重視。所以，要認真批改，認真講評。如學生剛接觸用定義證明數列或函數極限時，總是把握不好這種敘述方式，作業上的敘述五花八門，我們除了批改外，重點在課堂上講評，結合典型例題和典型錯誤，強化數學語言教育。經多次反復，學生的進步愈來愈大，書寫逐漸規范、準確。事實證明那種要求在高數中取消嚴格定義，代之以完全用描述性的定義來講概念是不足取的。這種觀點是站不住腳的。這種做法的根本錯誤不在于降低了難度與教學要求，而在于偏離了文科高數教育的本質，文科開設高等數學，一方面是讓他們學到一些基本的高等數學知識，另一方面是讓他們掌握和學會使用一定數學語言，領悟高數的精神、思想和方法，后者較前者要重要得多。