追本溯源 探究發(fā)現(xiàn)

［教學(xué)思考］

一、圓面積的教學(xué)起點在哪里？

數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和基本概念的產(chǎn)生與生產(chǎn)勞動密切相關(guān)。由于測量的需要產(chǎn)生了長度單位，也由于測量的需要產(chǎn)生了面積單位和面積計算方法。成書于公元一世紀(jì)的《九章算術(shù)》在第一卷“方田”中給出了圓面積最樸素的算法：半周半徑相乘得積步?；貧w生活，創(chuàng)設(shè)情境，當(dāng)實際生活需要時，解決問題才不覺得是勉為其難。人教版的“圓形草坪占地面積是多少平方米？”北師大版的“噴水頭轉(zhuǎn)動一周可以澆灌多大面積的農(nóng)田？”都是基于生活、基于問題解決的數(shù)學(xué)情境。在這樣的問題情境中，學(xué)生努力回憶已學(xué)舊知，嘗而不得，成功創(chuàng)設(shè)認知障礙，為后續(xù)學(xué)習(xí)解決這一問題從而使每一個學(xué)生獲得學(xué)習(xí)的成功體驗做好鋪墊。因此回歸生活，創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問題情境既是圓面積計算的生活起點，也是圓面積計算的教學(xué)起點。

二、初步感知圓面積的大小究竟有何作用？

蘇教版和北師大版教材在探究圓面積計算公式前均編排了一次初步感知活動?！俺醪礁兄竽懖孪搿⌒那笞C——總結(jié)歸納”是科學(xué)探究的必經(jīng)之路。數(shù)學(xué)史研究發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)家探究圓面積計算也是一個從模糊到精確、從感性到理性的追求過程?！耙腊霃绞?米的圓的面積”“可以在方格紙上畫圓，再來估算圓的面積”，在方格紙上畫圖，用數(shù)方格來數(shù)出圓的面積是基于面積的數(shù)學(xué)本質(zhì)。我們知道面積的數(shù)學(xué)本質(zhì)是若干個面積單位的集合，面積單位是一個個小正方形，一個平面圖形面積的大小就是看它包含了多少個小正方形這種面積單位。所以在方格圖上畫示意圖是依據(jù)數(shù)學(xué)本質(zhì)和學(xué)生學(xué)情而來的，因為學(xué)生學(xué)習(xí)長方形面積也是用數(shù)方格的方法推導(dǎo)出計算公式來的，之后的正方形、平行四邊形、三角形和梯形都是源于長方形面積公式的推論。初步感知圓面積的大小，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)圓面積與半徑之間的關(guān)系，同時也滲透了化圓為方的數(shù)學(xué)思想。

三、圓面積計算公式推導(dǎo)的數(shù)學(xué)本質(zhì)和指導(dǎo)思想究竟是什么？

圓是曲線圖形，學(xué)生不知道如何轉(zhuǎn)化成他們熟悉的直線圖形。因為憑借學(xué)生的操作得到的不是學(xué)生元認知中的標(biāo)準(zhǔn)圖形，只是有點像而已。以往的轉(zhuǎn)化無論是兩個完全一樣的三角形拼成平行四邊形，還是平行四邊形剪拼成一個長方形，都是所見即所得的實實在在的轉(zhuǎn)化，結(jié)果可見，從而降低了學(xué)生的認知難度。而圓是曲線圖形，僅僅用簡單的幾次等分拼接不能得到標(biāo)準(zhǔn)的已學(xué)圖形，教師可以指導(dǎo)學(xué)生通過折一折、剪一剪、拼一拼等活動，從4等分開始操作與思考，從有些輪廓到有點像，再到更像，使學(xué)生感知圖形的變化趨勢，并作出理性分析和邏輯推理。這樣在有限的操作中獲得初步的無限想象和推理，學(xué)生容易獲得數(shù)學(xué)結(jié)論。所以感性的操作是圓面積推導(dǎo)的基礎(chǔ)，而理性的思辨卻是圓面積推導(dǎo)的關(guān)鍵。數(shù)學(xué)史研究發(fā)現(xiàn)：化圓為方、等積變形、極限思想和合情推理是圓面積計算公式推導(dǎo)最上位的指導(dǎo)思想。

根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)和學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的需要，我將教學(xué)目標(biāo)確定為：（1）在具體情境中理解圓面積的含義，讓學(xué)生通過操作、討論等數(shù)學(xué)活動，經(jīng)歷猜想、驗證、歸納、發(fā)現(xiàn)等數(shù)學(xué)化過程，引導(dǎo)學(xué)生自主探索發(fā)現(xiàn)圓的面積計算公式。（2）能正確計算圓的面積，并能應(yīng)用公式解決相關(guān)的實際問題。（3）溝通圓與其他圖形之間的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，滲透極限、化圓為方等數(shù)學(xué)思想方法。教學(xué)重點是指導(dǎo)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)圓面積與半徑的關(guān)系，運用轉(zhuǎn)化思想探索發(fā)現(xiàn)圓面積計算公式。教學(xué)難點是讓學(xué)生在操作中初步建立無窮細分的極限思想。

［實踐探索］

一、情境導(dǎo)入

出示學(xué)校廣場圓形噴泉圖片：圓形噴泉的半徑是4米，在外圈走一圈要走多少米？這個圓形噴泉用了多少平方米的彩色地磚呢？

【設(shè)計意圖：從學(xué)生熟悉的場景引入素材，再通過生活原型到數(shù)學(xué)問題的提煉，讓學(xué)生親歷數(shù)學(xué)化的過程，通過指一指、摸一摸和說一說，引導(dǎo)學(xué)生正確區(qū)分周長與面積的本質(zhì)區(qū)別，同時以解決實際問題為教學(xué)起點，成功創(chuàng)設(shè)學(xué)生認知障礙，為后續(xù)學(xué)習(xí)做好鋪墊，熟悉的學(xué)習(xí)情境有利于調(diào)動學(xué)生探究學(xué)習(xí)的積極性。】

二、方中畫圓

1.畫一畫：用一小格代表邊長是1米的正方形，在方格圖中畫出噴泉示意圖（圖1）。

師：你能估計一下噴泉大約有多少平方米嗎？說說你的想法。

（生估計圓面積）

師：我們可以用數(shù)方格的方法來驗證估計的結(jié)果。

師：這樣數(shù)，很麻煩，我們只數(shù)四分之一圓吧。（圖2）

填空：半徑是（ ）m，圓的面積是（ ）m2，圓的面積大約是（ ）m2，右上角正方形的面積是（ ）m2，圓的面積大約是正方形面積的（ ）倍。

2.猜一猜：圓的面積和半徑有什么關(guān)系？

3.數(shù)一數(shù)：驗證猜想

圓的面積是（ ）m2。

圓的面積大約是（ ）m2。

正方形的面積大約是（ ）m2。

圓的面積大約是正方形面積（半徑平方）的幾倍？

學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)結(jié)論：圓的面積是它半徑平方的3倍多一些。

【設(shè)計意圖：在方格紙上畫出圓形噴泉示意圖，從生活問題中抽象出數(shù)學(xué)問題，實現(xiàn)生活化向數(shù)學(xué)化的自然過渡，看方格圖中的圓，估計面積的近似數(shù)，使學(xué)生的估計有了思維的拐杖。從一個一個數(shù)方格到優(yōu)化數(shù)方格的方法，采用只數(shù)四分之一個圓的辦法，為架構(gòu)圓面積和半徑平方數(shù)之間的關(guān)系鋪平了道路?！?/p>

三、化圓為方

師：用這樣數(shù)方格的方法來探求圓的面積既不方便也不準(zhǔn)確，如何尋找一個既方便又準(zhǔn)確的計算方法呢？

生：研究圓面積的計算公式。

師：我們在探究平行四邊形面積計算公式的時候是怎么做的？

生：將平行四邊形剪拼成一個長方形，發(fā)現(xiàn)平行四邊形面積計算公式的。

師：那么你有辦法將一個圓轉(zhuǎn)化成我們熟悉的平面圖形嗎？請大家在小組中商量商量，用手中的工具、圓紙片試一試。

策略一：折一折，想一想（學(xué)生把圓折為近似的等腰三角形，交流過程略）

策略二：剪一剪，拼一拼

生：我們把一個圓剪成4個相等的扇形，把這些扇形重新拼一拼，拼出的圖形有點像平行四邊形。（展示學(xué)生作品）

師：有點輪廓。

生：我們小組將圓剪成8個相等的扇形，拼起來更像平行四邊形了。

師：要讓拼出的圖形更像一個平行四邊形，怎么辦？

生：再等分得小一些。

師：我們讓電腦來幫忙。大家看，老師在電腦上把這個圓平均分成了16份、32份，看拼成的新的圖形，你有什么發(fā)現(xiàn)呢？(課件演示)再來看看64、128等分的。

生：越來越接近長方形了。

師：是的，平均分的份數(shù)越多，拼成的圖形就越接近長方形。拼成的長方形與原來的圓有什么聯(lián)系？如何求這個長方形的面積？我們把圓轉(zhuǎn)化成了長方形，形狀變了，什么沒變呢？與同桌相互說說你的想法。

【設(shè)計意圖：波利亞曾經(jīng)說過：學(xué)習(xí)任何知識的最佳途徑都是由自己發(fā)現(xiàn)的，因為這種發(fā)現(xiàn)理解最深刻，也最容易掌握其中內(nèi)在的規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系。我們要讓知識回歸本源，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)家探究發(fā)現(xiàn)這一知識的全過程。數(shù)方格實際上是數(shù)一個一個的面積單位，數(shù)不是一種最優(yōu)化的數(shù)學(xué)方法，需要引導(dǎo)學(xué)生在此基礎(chǔ)上建立一個數(shù)學(xué)模型。動手操作，將圓轉(zhuǎn)化為一個熟悉的平面圖形是一種有效的策略。如何轉(zhuǎn)化？遇到難題從簡單想起是探究發(fā)現(xiàn)有效的突破口。學(xué)生從4等分、8等分、16等分開始操作，在操作中觀察，在觀察中發(fā)現(xiàn)。手、口、腦多種感官有效結(jié)合，學(xué)生的主體作用得到充分發(fā)揮，并引導(dǎo)學(xué)生初步感受“變與不變”的辯證思想，提高了學(xué)生分析問題、解決問題的能力。學(xué)生通過有限的操作與思考，發(fā)現(xiàn)不易操作的無限分割中存在的趨勢，這樣的操作有目的，觀察有依據(jù)，在合情推理模式中學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)圓面積計算公式，數(shù)學(xué)模型的建立水到渠成?！?/p>

四、解決問題

1.解決實際問題。

例9：一個自動旋轉(zhuǎn)噴水器的最遠噴水距離大約是5米。它旋轉(zhuǎn)一周后噴灌的面積約有多少平方米？

2.完成“練一練”。

五、回顧與拓展

今天學(xué)習(xí)了圓的面積。說說你的收獲？看看課前大家看到的圓形噴泉彩色地磚吧。

大家有什么發(fā)現(xiàn)？（都是一塊塊梯形地磚鋪起來的）這就是利用化圓為方的思想來鋪地磚的。生活中有很多地方運用了化圓為方的轉(zhuǎn)化思想，請你找一找，寫一篇數(shù)學(xué)小論文。

【設(shè)計意圖：化圓為方、化曲為直在本課中得到了充分的體現(xiàn)，課的最后，拉近圓形噴泉圖片，學(xué)生看到原來圓形噴泉是由一塊塊等腰梯形的地磚拼成的，讓學(xué)生深切地感受到了“方”“圓”之間的內(nèi)在聯(lián)系，用現(xiàn)實情況體現(xiàn)了化圓為方在生活中的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想得到了極好的滲透?！?/p>

（作者單位：江蘇省江陰市華士實驗小學(xué)）