為學生的空間想象能力“磨刀”

【課例說明】

教學中，常聽到許多教師抱怨新教材“長方體和正方體”的習題難學難教，常聽到許多教師埋怨學生不會想象。固然，這跟新教材在習題的選配上“更重視聯系生活，更需要借助想象”有關。但同時，我們也應該認識到：習題之所以難學難教，最根本的原因在于學生空間想象能力的貧弱。這與許多教師在教學中只重視“有形”知識（如概念、公式）的教學，不重視空間想象能力的培養有直接的關系。

相比于“有形”的知識，空間想象能力看似“空洞、無形”，但確是“實實在在”存在的，它既是解決生活實際問題的能力前提，也是比“有形”知識更高級的教學目標。當然，沒有教師的主動培養，學生的空間想象能力不會無中生有。

培養學生的空間想象能力，除了充分利用好教材，結合概念教學、習題教學進行外，還需要輔以專門的訓練——教師要善于開發一些以“培養空間想象能力”為主題的活動。這樣，學生的空間想象能力才會由弱變強。有了空間想象能力，結合生活常識，生活中的實際問題便會迎刃而解。俗話說，“磨刀不誤砍柴工”，“磨”得培養和發展學生空間想象能力這把“刀”，就能輕松利索地“砍”得了實際問題這把“柴”。

本課例，內容自編，適用于蘇教版第11冊或人教版第10冊“長方體和正方體”教學單元。

【教學目標】

1.學會“兩層”想象的方法，發展空間想象能力。

2.探究最節省材料的包裝方法（表面積最小的拼法）。

【教學過程】

一、引入課題

師：（出示一個魔方）知道它是什么嗎？

生：魔方。

師：魔方是一個什么形狀的物體？

生：正方體。

師：今天我們就來探究一個跟它有關的問題。

屏幕上呈現例1：用硬紙板為12個魔方設計一個包裝箱，怎樣設計需要的硬紙板最少？（接頭、重復處不算）

師：這是工業生產上的一個包裝設計問題。從數學的角度看，這是一個什么問題？

生：求12個魔方的表面積。

師：不錯，是個求表面積的問題。可是，有現成的圖形嗎？

生：沒有。

師：所以，首先要解決一個“拼法”的問題。

點評：從學生喜愛的魔方玩具入手，切入課題快，話題有吸引力。通過引導學生從數學的角度思考，得出：這是一個跟“拼法”有關的求表面積的實際問題。

二、初步探究，想象拼法

1.想象拼法。

師：12個魔方拼成長方體，有多少種不同的拼法？

生：（拼法1）排1排，每排12個。

生：（拼法2）排2排，每排6個。

生：（拼法3）排3排，每排4個。

生：（拼法4）排4排，每排3個。

引導學生觀察“拼法3”和“拼法4”，得出：兩種拼法形“異”實“同”，重復了。（隱去重復的“拼法4”）

師：還有不同的拼法嗎？

生：（想不出了）沒有了！

師：（啟發兩層的拼法）這三種拼法都只有“一層”——是平房，想想看，有沒有“兩層”的拼法呢？

（學生嘗試思考）

生：（拼法4）排兩層，每層兩排，每排3個。

師：說說你是怎樣想到的？

生：我是根據“拼法2”來想的，把它從中間切斷，然后把兩段疊起來。

師：（肯定）不錯！借助已有的圖形，進行再想象是一個好辦法。那么，有沒有“三層”的拼法呢？

生：把“拼法2”切成3段，然后重疊起來。

生：三層的拼法與“拼法4”重復了。

（隱去重復的拼法）

師：有關兩層和三層的想象，確實有一定的困難。可萬事都有方法呀，想學這個方法嗎？

生：（齊）想！

師：（教學方法）那好，請同學們觀察“拼法4”，回答我的問題：上層有幾個，下層有幾個？上、下層的擺法相同嗎？——因為兩層上正方體的“個數相等”、“擺法相同”，所以想象兩層的拼法時，只需將總數除以2，想“一層上”怎樣擺——這個方法，能聽懂嗎？

生：能！

師：（引導運用）那么，三層的拼法，怎樣想？

生：先將12除以3，得到4，然后想：一層上4個怎樣擺？

師：說得好！

點評：拼法想象的難點有兩個：一是拼法不重復，二是“兩層”的想象方法。對于前者，教師通過引導觀察比較，提高了學生對“形異實同”拼法的辨別能力；對于后者，從依賴模型的想象到擺脫模型的想象，教師教給學生想象的方法，耗時不多，效果很好。

2.觀察拼法。

師：不用筆算，你能判斷出：哪種拼法的表面積最大，哪種拼法的表面積最小嗎？

生：排一排的表面積最大，排兩層的表面積最小。

師：說說你的理由。

生：“拼法1”排一排，消失的面最少，所以它的表面積最大；“拼法4”排兩層，消失的面最多，所以它的表面積最小。

（贊揚學生的回答。并引導每個學生觀察：“拼法1”，每個正方體最少消失1個面，最多消失2個面；“拼法4”，每個正方體最少消失3個面，最多消失4個面。）

3.得出結論。

師：為12個魔方設計一個包裝箱，設計成哪種拼法的樣子最節省材料？

生：拼法4。

師：請從語文的角度，用一句話或一個詞來概括一下這種拼法的特點。

（預設答案：聚在一起，牢牢抱成團，最緊湊）

點評：例1側重于教學“兩層”的想象方法，并根據直覺來判斷表面積的大小，得出“最緊湊”的拼法表面積最小，為深入探究、發現規律鋪墊。

三、深入探究，發現規律

1.獨立想象拼法。

屏幕上呈現例2：為24個魔方設計一個包裝箱，怎樣設計表面積最小？

（一層的拼法，集體口答完成）

拼法1：排1排，每排24個。

拼法2：排2排，每排12個。

拼法3：排3排，每排8個。

拼法4：排4排，每排6個。

（兩層的拼法，留給學生獨立思考。教師巡視，幫助想象有困難的學生運用方法）

2.交流兩層的拼法。

拼法5：排兩層，每層2排，每排6個。

拼法6：排兩層，每層3排，每排4個。

師：排三層，行不行？

生：不行！排三層會與“拼法6”重復。

師：不錯，這道題就6種拼法。

（統計想象出“兩層”拼法的人數）

師：祝賀你們想象成功！

點評：兩層的拼法留給學生獨立思考，意在讓學生運用方法，體驗想象成功。這一過程，教師重點幫扶想象有困難的學生。

3.判斷表面積大小。

師：這6種拼法，誰的表面積最小？

生：（齊）拼法6。

師：確定嗎？

生：（個別）拼法5。

師：有爭議，沒關系，可以通過計算來確定。為便于計算，我們假設每個魔方的棱長為1分米。一、二兩組的同學算“拼法5”，三、四兩組的同學算“拼法6”。

（學生分組計算，計算后匯報得數）

師：為24個魔方設計一個包裝箱，設計成哪種拼法的樣子最節省材料？

生：（堅定地）拼法6。

師：接下來，請你來探究一個數學“秘密”——若干個正方體，到底怎樣拼才是表面積最小、最節省材料的呢——想不想？

生：（興致很高地）想！

4.發現表面積最小的秘密。

師：既然是探密，就得借助一定的數學方法，請看屏幕——今天我們請出的是哪位“大俠”？

屏幕上呈現下表：（表格說明：暫不出現“長寬高之和”一列，除“拼法”列外，其余各列數字均空缺。）

生：表格。

生：列表策略。

師：你能根據表格中的提示，將“長”“寬”“高”三列填完整嗎？

（師生一起填寫“長”“寬”“高”三列，并將“表面積”一列填完整，如上表）

師：觀察表格，你發現什么？

生：當長、寬、高最接近時，拼成的長方體表面積最小。

師：好眼力！再提供一個觀察的角度。

（表格中增加“長寬高之和”一列，學生計算）

師：你又發現什么？

生：當長、寬、高之和最小時，拼成的長方體表面積最小。

師：這里面的秘密，你全知道了嗎？

生：（齊）知道了。

師：還用我說嗎？

生：（開心地）不用了。

師：那說給我聽聽。

生：（根據板書齊答）當長、寬、高最接近時，當長、寬、高之和最小時，拼成的長方體表面積最小。

師：這就是表面積最小、最節省材料的數學秘密。回想一下：是什么策略讓你們得以輕松地發現了它？

生：列表策略。

師：列表真是個好方法。

點評：運用“列表策略”揭示“最緊湊”的數學本質，是全課的高潮。教師為了突出“列表策略”在其中的作用，引出前有蓄勢，運用后有反思，強化了學生對于“解決問題策略”重要性的認識。

四、教學“數學”的寫法

1.學習寫法。

師：我還想告訴你們一個更大的秘密。

（引導學生觀察表格，發現：“每排的個數×排數×層數”等于“正方體的個數”）

生：我發現：只要把24分解成3個數相乘，有幾種分法，就有幾種拼法。

師：這正是我想告訴你們的秘密。

（教師以24個、40個正方體為例，教學有序的寫法）

師：這種方法不需要借助想象，非常適合正方體個數較多的情況。

2.根據“寫法”想象“拼法”。

師：用40個魔方拼長方體，哪種拼法的表面積最小？

生：“5×4×2”的拼法。

師：你能想象出這種拼法嗎？

（學生展開想象：排兩層，每層4排，每排5個）

點評：用正方體拼長方體，“想象法”有助于培養空間想象能力，“分解因數法”可以快速獲得結論。兩種方法，可以取長補短。根據“寫法”想象“拼法”，便溝通了兩種方法的聯系。

五、全課總結

師：這節課你有什么收獲？

課外題：用硬紙板為64個魔方設計一個包裝箱，怎樣設計需要的硬紙板最少？（接頭、重復處不算）先展開想象，后寫出拼法。

總評：這節自編課，以為若干個“魔方”設計一個“包裝箱”為線索，由淺入深，設計了“培養兩層想象的能力”、“探索表面積最小的秘密”、“學習快捷的分解方法”三個環節，前后連貫，結構完整，意圖明確。在環環相扣中，學生經歷了過程，發展了空間想象能力，體驗到了探索的樂趣，獲得了更多的數學知識，提高了學習數學的興趣。

（作者單位：江蘇省丹陽市華南實驗學校）