冪函數教學“內容與要求”文本之間的差異性探微

作為基本初等函數之一的冪函數，在高中數學教育史的“游歷”是非同尋常的. 在大綱版課本中，其地位耀眼醒目；在大綱版教科書中，卻一度消失；在課程標準教科書中，它又“死灰復燃”. “冪函數”畢竟是一種最常用的初等函數，我們教學中根本無法回避，即使在當年的大綱版教科書里它也還是若隱若現. 由此可見，“冪函數”具有一定的特殊性.

就“冪函數”相關文本，筆者除簡要對大綱版之間的差異作歷史性縱向回顧分析外，著重對5種版本的課程標準實驗教科書（即人教版（A版）、人教版（B版）、北師大版、江蘇版、湖南版）作橫向比較研究，試圖通過透視各種差異現象，提出積極面對差異性的若干教學建議.

一、大綱版之間差異的縱向比較

1. 背景資料

1981年版重點高中課本《代數》第一冊第三章第二節冪函數遵循全日制六年制重點中學教學計劃試行草案而編寫，1986年版高級中學課本《代數》上冊第一章第三節冪函數遵循全日制中學數學教學大綱而編寫，1990年版高級中學課本#8226;必修（修訂版）《代數》上冊第一章第三節冪函數遵循全日制中學數學教學大綱（修訂本）而編寫，教學要求均為“掌握冪函數的概念及其圖象、性質”. 1997年版教科書試驗本按照全日制普通高級中學數學教學大綱（供試驗用）而編寫，2000年版教科書試驗修訂本按照全日制普通高級中學數學教學大綱（試驗修訂本）而編寫，2003年版教科書必修本教科書必修本按照全日制普通高級中學數學教學大綱而編寫，但均已刪去“冪函數的概念及其圖象、性質”.

2. 分析比較

中學數學教學計劃或大綱都規定了“冪函數及其圖象”的教學內容，并提出了“使學生掌握冪函數的概念及其圖象、性質”的具體要求.其相配套的課本內容基本保持不變，即引入冪函數的概念、討論冪函數的定義域、分n>0與n<0兩種情況研究圖象和性質、運用性質比較大小等，約需4課時教學時間.冪函數知識比較系統，結構比較完整.這些知識內容在現行的人教版（B版）、湖南版等課程標準教科書都得到了延續或重組.

在減輕負擔、精簡內容的大環境下，當年的普通高級中學數學教學大綱三種版本都刪去了“冪函數及其圖象”的教學內容.但是，“冪函數”畢竟是一種最常見、最基本的初等函數.冪函數知識除了有其獨特的作用外，更重要的是冪函數可以作為主要的、典型的例子來分析函數的單調性和奇偶性.事實上，與其相配套的上述3種教科書中“冪函數”也是“名亡實存”，在“函數的單調性”、“函數的奇偶性”和“反函數”教學（包括例題、練習、習題）中零星地研究了諸如，y=x，y=x2，y=x3，y=x，y=x，y=x-1，y=x-2，y=x-3等冪函數的一些性質.

二、課程標準版之間差異的橫向比較

1. 章節體例上的差異

（1）相關資料

人教版（A版）“第二章2.3冪函數”的編寫體例為“正文+思考+探究+習題”，人教版（B版）“第三章3.3冪函數”的編寫體例為“正文+思考與討論+習題+探索與研究+計算機上的練習”，北師大版“第二章5簡單的冪函數”的編寫體例為“正文+動手實踐+練習+習題”，江蘇版“第2章2.4冪函數”的編寫體例為“正文+思考+練習+習題（感受#8226;理解+思考#8226;運用）”，湖南版“第2章2.3冪函數2.3.1冪函數的概念、2.3.2冪函數的圖象和性質”的編寫體例為“正文+練習+習題+學而時習之+溫故而知新+多知道一點”.

（2）差異分析

“冪函數”在人教版（A版）、人教版（B版）、江蘇版教科書中都單獨在章里設節；北師大版教科書雖然也單獨在章里設節，但節名有變，改為“簡單的冪函數”；湖南版教科書在章里設為兩節，即“冪函數的概念、冪函數的圖象和性質”，足見其重視程度非同一般.

就文本體例而言，5種教科書各具特點、各有千秋.人教版（A版）和北師大版教科書比較傳統，實用實在；江蘇版和湖南版教科書比較活潑，令人回味；人教版（B版）教科書比較現代，時尚清新.

2. 知識內容上的差異

（1）相關資料

人教版（A版）：從5個實際問題得到5個常用的冪函數引出冪函數的概念，只認識冪函數y=x，y=x2，y=x3，y=x，y=x-1的圖象和基本性質，不在一般的冪函數上作引伸.人教版（B版）：研究冪函數y=x，y=x2，y=x3，y=x，y=x-1的圖象和性質，歸納冪函數的圖象特征和主要性質，運用冪函數的圖象和性質，介紹冪函數與凸函數知識. 北師大版：由y=x，y=x2，y=x-1引入冪函數的概念，分析的圖象和單調性，進而引入函數奇偶性的概念.江蘇版：研究冪函數y=x，y=x2，y=x3，y=x，y=x-1的圖象和性質，冪函數y=x-2，y=x，y=x等圖象和性質在例題、練習、習題中進行探究，其他冪函數也要會求定義域、指出奇偶性. 湖南版：冪函數概念的引入和剖析，通過研究冪函數，y=x，y=x2，y=x3，y=，y=，y=的圖象和性質，歸納冪函數的圖象特征和主要性質.

（2）差異分析

人教版（A版）教科書由5個實際問題恰好得到5個常用的冪函數y=x，y=x2，y=x3，y=x，y=x-1，順理成章地引出冪函數的概念；人教版（B版）教科書通過考察已經學過的若干個函數，開門見山地引入冪函數的概念；北師大版教科書從形式上看正比例函數、反比例函數和二次函數，直截了當地給出冪函數的概念；江蘇版教科書給出商品的價格和需求的關系式，在追問中得出冪函數的概念；湖南版教科書枚舉若干個豐富的實例，在探討中介紹冪函數的概念.前三者比較重視概括性，后兩者則更關注實用性.

人教版（B版）、北師大版和湖南版三種教科書都用列表描點法畫（作）出幾個常見冪函數的圖象，清晰自然；江蘇版教科書用計算器作出冪函數的圖象，快捷高效；人教版（A版）教科書直接作出5個冪函數y=x，y=x2，y=x3，y=x，y=x-1的圖象，教學時既可用列表描點法作出圖象，也可用計算器或計算機作出圖象，選擇性強，靈活多變.

人教版（A版）教科書在同一平面直角坐標系內作出5個冪函數的圖象，將發現的結論進行列表，從而得到5個冪函數的性質；人教版（B版）教科書也在同一平面直角坐標系內作出5個冪函數的圖象，通過觀察看出一些共同性質，在思考與討論中總結出一般性冪函數的性質；北師大版教科書著重分析y=x3的單調性，并以它為載體引入函數的奇偶性；江蘇版教科書在同一平面直角坐標系內作出3個冪函數y=x2，y=x3，y=x的圖象，觀察圖象找出這3個冪函數的共同特征；湖南版教科書對在同一平面直角坐標系內的6個圖象和冪函數y=x，y=x2，y=x3，y=，y=，y=，進行“對號入座”，填寫空白，然后對一般性冪函數分情況討論，邊作圖象邊做歸納，研究發現性質. 人教版（A版）和江蘇版教科書緊緊抓住5個最基本、最重要的冪函數，重點突出；人教版（B版）和湖南版教科書順水推舟介紹了一般性冪函數的性質，拓展性廣；北師大版教科書雖然對作為“載體”的冪函數只是“輕描淡寫”，但功能性強.

3. 作業要求上的差異

（1）相關資料

人教版（A版）設置了1組習題3個小題，題型有判斷冪函數，求冪函數解析式，求應用性問題中的冪函數解析式和函數值.人教版（B版）設置了A組習題4個小題，題型有分組作冪函數的圖象、發現特征，求冪函數的定義域、判斷奇偶性，作冪函數的圖象、討論函數的性質，求函數的定義域、指出單調區間；設置了B組習題4個小題，題型有利用冪函數的性質比較大小，作冪函數的圖象、討論函數的性質、證明，冪函數圖象的平移，用冪函數圖象求方程的近似解. 北師大版設置了1個練習，題型有畫函數的圖象；設置了A組習題4個小題，題型有判斷函數的單調性、證明、畫出圖象，證明函數的奇偶性及單調性，確定二次函數的性質、畫出圖象，討論含參數一次函數的奇偶性和單調性；設置了B組習題2個小題，題型有作含絕對值函數的圖象、指出單調區間及圖象平移關系，討論含參數二次函數的奇偶性和單調性.江蘇版設置了1組練習2個小題，題型有求冪函數的定義域、指出奇偶性，畫冪函數的圖象、指出單調區間；設置了1組習題5個小題，題型有利用冪函數的性質比較大小，求一般冪函數的定義域，畫冪函數的圖象、指出其奇偶性和單調性，分組作冪函數的圖象、加以比較，探求應用性的有關冪函數問題. 湖南版2.3.1冪函數的概念中設置了1個練習，題型有求6個冪函數圖象對應的解析式、判斷奇偶性、寫出函數的定義域和單調區間，還設置了1組習題2個小題，題型有歸納一般冪函數的圖象特征，探求應用性的冪函數問題；2.3.2冪函數的圖象和性質中設置了1個練習3個小題，題型有作冪函數的圖象，利用冪函數的性質比較大小，求冪函數解析式，還設置了1組習題4個小題，題型有求函數解析式，求函數的最小值，求一般冪函數的定義域和值域，求函數的最大值.

（2）差異分析

人教版（A版）教科書例題為證明某冪函數是增函數，強化“函數單調性”概念；人教版（B版）教科書的2個例題為利用冪函數的性質比較大小，討論某冪函數的定義域、奇偶性、單調性，鞏固“冪函數的圖象和性質”知識；北師大版教科書的2個例題為畫某冪函數圖象并討論單調性，判斷與冪函數相關的函數奇偶性，加深對函數單調性和奇偶性的理解；江蘇版教科書例題為指出某些冪函數的定義域、奇偶性，突出“函數奇偶性”概念；湖南版教科書的2個例題都為利用冪函數的性質比較大小，注重“冪函數性質”的運用.

5種教科書練習、習題配備都精挑細選，各具特色.人教版（A版）教科書聯系生產、生活實際，緊扣冪函數的概念和圖象；人教版（B版）教科書注重冪函數圖象和性質的運用，加強知識間的前后聯系；北師大版教科書關注函數性質的證明，討論參數對性質所產生的影響，壘高數學思維能力發展的平臺；江蘇版教科書也聯系生活實際，根植于冪函數的圖象和性質；湖南版教科書除重視冪函數性質的運用外，更強調函數最值問題的求解方法.

三、思考與建議

1. 自覺抵制“簡單地求‘并集’”的現象

當前，新課程標準理念的學習真是如火如荼，有關解讀課程標準的書籍和教學資料在書店里更是琳瑯滿目. 教師手頭也往往有多種“課程標準實驗教科書”，不少教師在課堂教學中就簡單地做“并集”，即按照最多的和最深的教科書講，幾乎讓學生做遍各種版本中的題目. 這樣，教師很累，學生太苦，與高中課程改革的愿望和理想南轅北轍. 具體到“冪函數”，“課程標準”明確提出“通過實例，了解冪函數的概念；結合函數y=x，y=x2，y=x3，y=x，y=x-1的圖象，了解它們的變化情況”，這就是“冪函數”教學的基本要求.原則上只要學生能達到“標準”的基本要求，掌握了數學的本質就可以了.至于出現“求一般性冪函數的定義域”、“對上述5個冪函數的圖象進行適度變換”之類問題，并沒有“超綱”，未嘗不可.湖南版教科書研究了頗具代表性的6個冪函數y=x，y=x2，y=x3，y=，y=，y=，增加了第6個冪函數，也不無道理.

2. 充分開發研究性學習的資源

拓寬知識視野、挖掘發展潛能，始終是數學教學的主要任務.作為重要文本的教科書責無旁貸.不難看出，編寫者們為此傾注了大量的心血.人教版（A版）教科書在章小結“回顧與思考”中寫道：“你能根據這樣的思想，結合函數，y=x，y=x2，y=x3，y=x，y=x-1的圖象，討論一下冪函數y=xα，α∈R的基本性質嗎？”于是，課堂內外的學習就很好地結合起來了.人教版（B版）教科書介紹“冪函數與凸函數”知識很有創意，“通過研究，寫一篇‘冪指數對冪函數性質的影響’的小論文”，更是為開設研究性學習提供了良好的素材.這方面的工作如廣闊天地，還大有可為.

3. 積極進行知識與能力的拓展

對“冪函數的的圖象和性質”知識的延展和拓廣，5個版本教科書都煞費苦心，但均還可以不斷改進，日臻完善.教學時可以進行如下設計：將2個冪函數y=x，y=組合，得到新函數f（x）=x+，試研究f（x）=x+（a>0）的圖象和性質；再進一步，探究函數的圖象和性質.這樣的編擬或處理，前后知識遙相呼應，給人以渾然一體的美感. 我們何樂而不為呢？

4. 深刻揭示數學知識的本質聯系

湖南版教科書中點出：“注意到x>0時，有等式xα=（eInx）a=eaInx，可見冪函數的性質都可以歸結到指數函數和對數函數的性質. 例如，由ex和lnx和的遞增性立刻得知：a>0時xα遞增，a<0時xα遞減，由ex恒為正可知x>0時xα>0.”在“小結與復習”中又指出：“有了冪運算A=BC，在A，B，C三個數中，取一個為保持不變的參數，另外兩個數之間就有了確定的對應關系.其中一個作為自變量x，另一個就是x的函數.這樣得到的函數中，有三類是數學里最基本最重要的函數，即指數函數、對數函數和冪函數.”這兩段話運用哲學思想深刻揭示出冪函數、指數函數和對數函數等數學知識之間的本質聯系，真是高屋建瓴.我們大家都喜歡那些富有內涵和韻味的讀本.