試論高中數學探究性學習的策略

策略指根據形勢發展而指定的行動方針和斗爭方式． 策略明確地指出了行動的具體方向，具有可操作性的特點． 因此，我們認為，數學探究性學習的策略就是根據數學探究問題的需要而制定的具有可操作性的行動方針． 自新課改以來，探究性學習成為人們熱議的話題，那么高中數學探究性學習該如何做呢？常用的探究策略又有哪些呢？

《數學通報》是我國初等、中等教育界數學教育領域的核心期刊之一，在數學教育領域擁有較大的學術影響力． 自2001年新課程標準頒布以來，該刊刊登了大量關于數學探究性學習理論和實踐的研究文章． 鑒于此，我們調查統計了2001~2009年該刊所刊登的關于高中數學探究性學習的策略和具體做法的文章，通過歸納總結，試圖回答上面的問題． 具體的統計數據如表1所示，其中策略A表示試驗、觀察、歸納、猜想、證明的策略，策略B表示一題多解及簡證（解）的策略，策略C表示推廣、引申的策略，策略D表示模型化方法的策略，策略E表示其他策略．

從表1可以看出，自2001年以來，關于高中數學探究性學習的策略和具體做法的研究不斷增多． 這表明新課程標準的影響越來越大，廣大數學教師及數學教育研究人員對新課標所倡導的學習方式——探究性學習反響強烈，并積極地進行了試驗和探索．研究文獻的總量也經歷了巨大的變化，從2001年最初只有3篇到2007年最多高達37篇再到2009年的21篇，經歷了一個先急劇上升后平穩下降的過程，反映了人們對高中數學探究性學習策略研究的熱情由熱到冷的一個逐漸變化過程．如圖1所示．

在篩選出來的183篇文章中，運用試驗、觀察、歸納、猜想、證明這一策略進行數學探究性學習的文章共22篇；運用一題多解及簡證（解）的策略進行數學探究性學習的文章共44篇；運用推廣、引申這一策略進行數學探究性學習的文章共61篇；運用模型化方法這一策略進行數學探究性學習的文章共16篇；運用其他策略進行數學探究性學習的文章共40篇（其中以從理論上論述數學探究性學習的策略的文章居多），其所占比例如圖2所示．

從圖2可以看出，通過推廣、引申的策略來進行數學探究性學習所占比例格外突出，高達33%，幾乎占總數的1/3，這說明推廣、加深已有數學知識是探究性學習的主要方向之一． 通過一題多解進而尋找簡解或簡證，以深刻認識問題的本質，也是進行數學探究性學習的主要方法，占總數的近1/4，達24%． 運用上述四種策略的總比例高達78%，這表明高中數學探究性學習主要采用的探究策略正是上述四個策略，即試驗、觀察、歸納、猜想、證明的策略，一題多解及簡證（解）的策略，推廣、引申的策略，模型化方法的策略．這四個策略都是以發現問題和解決問題為主要目標的，這再次印證了寧連華等人的觀點：“數學探究學習的主流形式不是調查、實驗性活動，而是突出表現為以思維活動為特征的問題探索或解難題的范疇．”

一、試驗、觀察、歸納、猜想、證明的策略

這個策略也可以簡稱為先猜后證的策略．即通過試驗、觀察、歸納發現其中的規律，進而提出猜想，然后再進行證明． 猜測是其中最重要的一步．猜測或叫科學的洞察力，就是在已有的知識和資料的前提下，經過分析、歸納、聯想、類比等發散性思維，猜出所研究課題的結論以及確保該結論成立所需的條件．

先猜后證的探究性學習策略對于培養學生的觀察、歸納能力十分重要，而觀察、歸納能力對于培養學生的問題意識和創新能力起著關鍵的作用．史寧中指出：“思維的訓練主要靠兩個能力：一個是演繹能力，一個是歸納能力． 這兩個能力很重要，是創新的基礎．前者有利于創造新產品、形成新工藝，后者有利于發現新理論．”

施洪亮提出了“六步探究法”，即觀察、猜想、解決、檢驗、變換、回顧與推廣． 其本質就是先猜后證的探究思想，只不過綜合用上了反思與推廣，對問題的研究進一步加深了．

在數學的歷史上，許多偉大的發現都是通過觀察、歸納的方法提出來然后再給出證明的，有的甚至直到現在還沒有給出證明，如多面體歐拉公式、四色猜想、哥德巴赫猜想等． 瑞士著名數學家歐拉曾說：“在被稱為純粹數學的那部分數學里，觀察無疑占有重要的地位．”法國著名數學家拉普拉斯曾說：“即使在數學里，發現真理的主要工具也是歸納和類比．”牛頓曾說：“沒有大膽的猜想就做不出偉大的創造．”這些著名的數學家的言論都充分肯定了觀察、歸納、猜想在數學研究中的重要性，對于高中數學探究性學習也不例外．至于運用此策略進行高中數學探究性學習的具體案例可參考文獻[1]、[2]．

二、一題多解及簡證（解）的策略

一題多解是指從不同的角度，采用不同的方法解決同一個問題．它可以使我們從不同的角度認識問題，從而更容易認識到問題的本質．

通過一題多解進而尋求問題的簡單證明或解答是進行數學探究性學習的重要方法，對于培養學生的好奇心和求知欲有重大作用．德國著名數學家高斯曾說：“去尋找一種最美和最簡潔的證明乃是吸引我去研究數學的主要動力．”

當然，一題多解的目的不僅在于用不同的方法解答問題，更重要的是使學生認清問題的本質，掌握處理問題的一般方法．唐紹友指出：“一題多解教學應有主和次，對于通法應重點突破，特殊的方法要少講或不講，兼顧不同層次的學生，使能走的走，能跑的跑，能飛的飛．”謝全苗指出：“簡化解答雖不是突破性的進展和創造，卻也是對已經取得成果的改進和推進，對學生來說，則是一種對所學知識的靈活運用和高超駕馭基礎上的創新，是一種精神的升華和對數學美的追求．”因此，一題多解有助于培養學生的問題意識和探究能力，有利于學生創新能力的培養．至于運用此策略進行高中數學探究性學習的具體案例可參考文獻[3]、[4]．

三、推廣、引申的策略

推廣就是將已有的結果推向更一般的情形，引申可理解為將已有的結果通過類比、聯想、邏輯推理等延伸出與之緊密聯系的新的結果．兩者有所相似，但推廣專指從特殊到一般的包含關系．

推廣是進行數學研究的一種重要方法，在人們認識自然的過程中發揮了重要的作用，如人類對數的認識就經歷了從自然數到有理數到無理數到復數最后到多元數的發展過程．同時，推廣即使失敗了，人們也可能從中總結教訓甚至悟出新的道理來，例如非歐幾何就是人們在證明第五公設失敗的情況下從反面的角度思考而得到的新發現．

羅增儒指出：“對一個數學命題的實質推廣應滿足三個條件：結構上的一般性、內容上的廣泛性和形式上的一致性．”朱華偉、張景中指出：“在數學命題推廣的過程中，所使用的主要方法是歸納和類比，并給出了推廣的兩個策略：從低維到高維和從特殊到一般．如：變量由某一具體數字推廣到一般的自然數n，從平面到空間等．”王方漢指出：“一個好的推廣應該保持形式上的優美性或者推廣的方法具有一般性．”吳振奎通過大量的例子論述了推廣常用的方式方法，如“向高維推廣；向問題的縱深推廣；類比、橫向推廣；反向推廣；聯合推廣”等． 由上可知，推廣、引申是進行數學研究的一種重要方法，在數學發展的過程中發揮了重要的作用，同樣推廣、引申也是高中數學實施探究性學習的一種重要策略．至于運用此策略進行高中數學探究性學習的具體案例可參考文獻[5]、[6]、[7]．

四、模型化方法的策略

模型化方法指通過建立原問題的數學模型來研究解答該問題的數學方法．此方法所研究的問題都是一些實際問題，通過對實際問題的抽象概括，簡化優化為一個數學問題，從而建立一個較為恰當的數學模型，以便對原問題進行研究．如朱廣笑研究的“紅綠燈周期問題”，戴海林研究的“曬被單問題”，陳輝研究的“十字形水管表面積問題”等．

通過建立數學模型來研究問題，可以有效提高學生的數學應用意識和應用能力.數學建模活動可以提高學生的數學學習興趣，培養積極主動的學習習慣，學會調查資料、合作交流，這對培養學生的創新能力有重大意義．現在我國大中學校廣泛開展的數學建模活動就是該方法的實際應用．應用模型化方法所建立的數學模型具有一定的一般性，它可以廣泛地應用于一大批問題，對于統一處理一類數學問題，尋求問題的通法、通解也有相當大的價值．至于運用此策略進行高中數學探究性學習的具體案例可參考文獻[8]、[9]、[10]．

新課標明確指出：探究課題的選擇是完成探究性學習的關鍵．確定探究課題之后就需要選擇合適的探究策略，需要指出的是，通過統計分析總結出來的上述四個探究性學習的策略并不是孤立的，它們是可以相互結合交叉使用的，上述眾多探究性學習的案例也說明了這個事實．本文寫作的初衷是為高中數學教師指導探究性學習提供方法支持，如果能對廣大數學教師有所幫助，我們的目的也就達到了．

參考文獻：

[1] 史建軍. 新探究新發現：一節高三試卷講評課的教學實錄及思考[J]. 數學通報，2009（4）.

[2] 鄒廣安，南阿維. 兩個幾何猜想的研究學習[J]. 數學通報，2008（8）.

[3] 唐紹友. 也談一題多解教學[J]. 數學通報，2005（8）.

[4] 謝全苗. 論數學求簡精神的培養[J]. 數學通報，2004（2）.

[5] 羅增儒. 從不等式+≥1談數學推廣[J]. 中學數學，2004（7）.

[6] 朱華偉，張景中. 論推廣[J]. 數學通報，2005（4）.

[7] 吳振奎，吳旻．數學的創造[M]. 上海：上海教育出版社，2003：80-82.

[8] 朱廣笑. 紅綠燈的周期多長最好[J]. 數學通報，2007（11）.

[9] 戴海林. 曬被單中的數學問題——一道課本例題的探究性教學[J]．數學通報，2007（3）.

[10] 陳輝. 一個由學生提出的研究性課題：十字型水管的表面積[J]. 數學通報，2009（2）.