自相似規律及其在數學學習中的應用

美國數學家基思#8226;德夫林博士指出：“數學是規律的科學. ”我們不難看到，算術直至數論研究數和計數的規律，幾何研究圖形的規律，微積分研究運動的規律，邏輯研究思維的規律，概率研究機率的規律，拓撲研究位置的規律等. 數學跟其他科學的不同之處是它的規律除了對數學本身有價值外，更重要的是它們對其他任何學科有泛用價值. 正因為數學的這個特殊地位導致了數學作為一門特殊的科學需要被所有看起來幾乎跟數學無關的領域的工作者學習.所以，我們可以進一步地確認，數學教學的根本任務是讓學習者從數學的學習過程中掌握可以泛用于其他學科和領域的規律.本文嘗試從數學學習角度研究可以泛用于其他學科和領域的規律——自相似.

一、相關概念

1. 規律

規律是對一類不同的現象和過程的共同點的總結和描述. 規律必須語言精練簡潔，共同點輪廓清晰，適用范圍廣泛，應用過程機械.

規律的學習和應用，很大程度上將依賴于對同一規律的現象和過程的大量的典型素材的觀測，讓共同點的輪廓在多個類似現象和過程的重疊過程中產生. 規律的一個自然特征是其抽象性，規律的語言系統的形成是規律得以傳授和應用的一個不可缺少的基本條件.

2.自相似

我們先看一個自相似例子.

例1 求等比數列a1，a1r，a1r2，…a1rn-1，…前n項的和Sn.

解：Sn+a1rn=a1+a1r+a1r2+…a1rn-1+a1rn

=a1+r（a1+a1r+a1r2+…a1rn-1）=a1+r#8226;Sn.

故Sn=.

例子所揭示的規律：局部具有和整體相同的重復，即為自相似. 一般來說，自相似是指復雜系統的總體與部分，這部分與那部分之間的形態結構或性質所具有的相似性，或者說從整體中取出的局部能夠體現整體的基本形態特征.

二、學習自相似規律的意義

我們從數學學習角度分析一下自相似規律，為了說明問題，我們再給出一個例子的兩種解法作為對比.

例2 求Sn=+++….

解法1：為了顯示簡潔，我們用r=將原題轉化為Sn=r+2#8226;r2+3#8226;r3+…+n#8226;rn.

（1-r）#8226;Sn=r+2#8226;r2+3#8226;r3+…+n#8226;rn-r2-2#8226;r3-…-n#8226;rn+1

=r+r2+r3+…rn-n#8226;rn+1=-n#8226;rn+1.

于是Sn=.

解法2：Sn+（n+1）#8226;rn+1=r+2#8226;r2+3#8226;r3+…+n#8226;rn+（n+1）#8226;rn+1=r#8226;（1+2#8226;r+3#8226;r2+…+（n+1）rn）=r#8226;（1+r+r2+…+rn）+r#8226;（r+2#8226;r2+3#8226;r3+…+n#8226;rn）=r#8226;（1+r+r2+…+rn）=r#8226;Sn.

解法1所揭示的規律：等式兩端乘以一個因子，使得展開中出現一系列的相消項而使得相消結果可以求和.

該規律的優點：有效，運算簡單.

該規律的缺點：缺乏形態，因子基本上是逆向結果的應用；缺乏對其他問題的應用價值. 對其他知識領域很少有指導價值.

解法2所揭示的自相似規律的優點就比較明顯，主要表現在下面幾個方面.

1. 形態明顯，直觀好記

記憶是大腦對信息進行處理的一種復雜的活動，從信息加工觀點來看，記憶是人腦對所輸入的信息進行編碼、貯存和提取的過程. 改善記憶從編碼階段開始，形象化的東西可以幫助我們提高編碼的效率.貯存階段：米勒[2]把記憶的單位稱為“組塊”，他的研究表明人類短時記憶幅度約為7個單位. 既然短時記憶的幅度有限，那么增加每個組塊所包含的信息量，建立更大的組塊就可以增加短時記憶的容量，很顯然自相似規律就是那個大的組塊. 提取階段：長時記憶在理論上的儲存容量和持續時間是無限的，儲存在長時記憶中的信息相互聯系，構成了一個人的知識，可以在需要的時候被激活. 但一個人的知識并非可以隨時隨地激活，儲存在長時記憶中的信息平時處在非活躍狀態，在需要的時候通過知識網絡中一定的路徑來激活，自相似規律特征非常明顯，加大了被激活的可能.

2. 可以用非數學語言描述

由于知識本身是復雜的、無限的，知識總體不斷在增長，這決定了學習過程必然是高度濃縮的、困難的.自相似規律可以用簡單的非數學語言準確刻畫規律本質，對于學生今后的學習和工作有廣泛的指導意義，我們說優秀的形態規律對人的素質培養會有非常大的意義.

3. 應用廣泛

最早自相似現象被應用于廣告或宣傳畫，后來發現，自然界中存在非常多自相似現象，例如雪花的形成、樹木的生長、土地干旱形成的地面裂紋等等. 這些自相似的形狀，在數學上叫做分形. 人們對此的研究產生了一門新興的數學分支，叫分形幾何學，分形幾何學對自相似圖形進行了富有成效的研究，并被廣泛應用于計算機網絡、生物學和材料學等各個領域.

三、自相似規律在數學學習中的應用

下面我們討論自相似規律在數學學習中的若干應用.

1. 自相似在數學解題中的應用

例3 化2.1315315315…為分數.

解：2.1315315315…=2.1+0.0315315315…，

因為0.0315315315…=0.0315+0.0000315315…=0.0315+，

所以0.0315315315…=.

因此2.1315315315…==.

例4 計算.

解：令=x，

即有x=，于是x2-x-2=0，解得x1=2，x2=-1（舍去）.

例5 證明調和級數的發散性：1++…++…→∞.

證明：對于任何正數x:+>.

假設它是收斂的，既存在一個正數

ξ=1++…++…

ξ=1++…++…=（1+）+（+）+…+（+)+…>+++…+…=1++…++…=ξ.

由此我們得到矛盾，假設收斂錯誤，證畢.

2.自相似在圖形分割研究中的應用

自相似在圖形研究中有非常廣泛的應用，限于篇幅，這里只例舉兩個圖形分割方面的應用.

（1）幾何圖形的自相似分割

二十世紀七十年代， 美國數學家曼德勃羅創建了分形幾何，著名的波蘭數學家謝爾賓斯基發明的謝爾賓斯基縷墊，它告訴我們正三角形可分割為和它自相似的19個小的正三角形. 荷蘭數學家德外貝斯坦于1978年把正方形分割為21個大小各不相同的正方形.我國戴再平教授曾經對幾何圖形中的正方形和三方格L形自相似分割進行過比較深入的研究，并把這些研究的成果介紹給了中學數學教師作為“問題解決”教學題材，主要結論有下面兩個.

結論一：正方形除了不可分為2個、3個和5個自相似的正方形外，正方形可任意分為n（n≥6）個自相似的小正方形.

證明：如果正方形已被分割為n個正方形，對于其中的一個小正方形，我們可以再把它分割成4個正方形，于是原來的正方形被分割為n+3個正方形，因此正方形的自相似分割可作跨距n+3的遞推，再注意到下面三個基礎事實（如圖），我們就可得到了結論.

n=6n=7n=8

結論二：三方格L形可任意分為n（n≥9）個自相似的小三方格L形.（證明方法類似，略）

（2）黃金分割中的自相似

黃金分割本身是一種幾何上的自相似，部分與部分的比等于部分與整體的比，等于整體與更大整體的比，黃金分割率為“=1.618…”或“=0.618…”.

黃金分割還有一種特殊的自相似結構，如一條線段AB，如果把它的黃金分割線段BC=（0.618…）×AB，連結CD=（0.618…）×BC，再連結DE=（0.618…）×CD，無限下去，

即得（0.618…）×AB+（0.618…）2×AB+（0.618…）3×AB+…

用等比數列求和公式容易得到，線段的總長度為AB乘上黃金分數，即（0.618…）×AB.所以黃金分割充分體現了部分和整體“依次排列”的自相似性.

我們再看看海螺，研究者發現用一條直線穿過它的螺旋中心，這條直線上它的螺旋相鄰圈粗細比值=1.619327…很接近黃金分割數1.618…我們稱它為黃金螺旋.

從黃金矩形出發，將黃金矩形中每一個小矩形沿對角線向外移動個邊長，依次類推，這些黃金矩形會圍成一個基本填滿平面區域的螺旋，已經有研究者證明，任何其他矩形以這種方式自相似排列，都會重疊或者在平面上留下很大縫隙，只有黃金矩形會趨向于排滿平面. 黃金矩形的排列可看成黃金螺旋的離散化，如果將其收縮邊緣連續起來，就會出現海螺的那種布滿整個平面區域的黃金螺旋. 也就是說，黃金螺旋這種“依次排列”的自相似會占滿平面區域.

將一個圓周進行黃金分割，它的短弧所對應的角度成為“黃金角”，即360×（1－0.618…）≈137.5°，在黃金螺旋上取距離相等的一系列點，發現點與點連線之間的夾角(發散角)都為黃金角.計算機模擬結果可看出，發散角為137.4°和137.6°的螺旋都無法填滿平面，而恰好發散角為137.5°的黃金螺旋可以填滿平面，做到點與點之間距離相等. 向日葵和菊花都滿足這樣的排布，這樣可以使單位面積內花瓣或種子排列數目最多.

科學家們經過廣泛計算，發現自然界的一維分形維度大多集中在1.6~1.7附近，這個數與黃金分割率“1.618”非常接近. 如按照黃金分割比例生長樹枝和樹葉，會使單位面積接收到最多的陽光.可以說“黃金分割”這種分形是生物進化的一個“極值”，是生物界自然選擇的結果. 研究發現，在自然界很多領域都存在這種自相似倍數為黃金數的分形，諸如一些準晶體結構，高分子，太陽系間行星距離，海浪漩渦等等，都是黃金螺旋分形.