“悟”:數學學習的必由之路

數學教學要講求邏輯思維能力的培養，但是小學生的思維水平正處于形象思維向抽象思維發展的過渡期，對過分抽象的邏輯推理往往不能理解。這就產生了一個矛盾。筆者認為，解決這個矛盾的辦法就是要充分引導學生去“悟”，從某種程度上講，“悟”是小學生數學學習的必由之路。從《說文解字》中可以看出“悟”字本義是“醒悟、覺悟”，引申義是“理解、明白”?！坝X”是與生俱來的敏感與智慧，“悟”則是后天學到的對人生與世界的認識和感受?！拔蛐浴本褪菍κ挛锢斫夂头治龅哪芰Α！拔颉笔且环N意識，“悟”是一段過程，“悟性”既與先天的素質有關，也是后天可以培養的。

一、感悟：觸摸數學之本

“感悟”從詞義來看，是有所感觸而領悟的意思。真正的感悟來源于人們的親身經歷與感受。有的是漸漸領悟，有的是瞬間開悟。“感”就是感知，是感受、實踐的過程；“悟”就是領會、理解、覺悟，是一個思考的過程；活動生“感”，反思得“悟”；“感”得越多，“悟”得越透徹。為學生安排有價值的數學活動，讓學生在活動中去“感悟”數學內涵，感受數學之魂，勢必會提高學生學習數學的效率。

[案例]“三角形三邊的關系”教學片段

教師給學生提供操作材料：每組提供4根小棒。長度分別為2cm，3cm，5cm，6cm。放手讓學生自己去研究圍三角形的情況，并將研究所得一一記錄在“研究記錄表”中。

目的：探究三角形三條邊的關系。

材料：2cm，3cm，5cm，6cm長的4根小棒。

步驟：(1)先任選其中3根小棒，記錄它們的長度；

(2)用這3根小棒試著圍一個三角形，并比較3條邊的關系。

在學生操作并填寫后，教師馬上提問：你有什么發現?

在學生同桌進行交流后，教師再次提問：

(1)同學們通過動手擺小棒，共得出幾種不同的方法?

(2)怎樣的3根小棒才能圍成一個三角形呢?

教師沒有用過多的語言或環節去引導學生分析、交流、思考，而是通過為學生提供活動素材，把“在4根長度不一的小棒中任選3根”之規則告之學生，讓學生通過操作、記錄、觀察、分析，自己感悟出三角形3條邊之間的關系，即兩邊之和一定大于第三邊。但是，這種感悟，只是一種不完全歸納的直覺，如何讓這種直覺符合數學的邏輯，并形成學生的科學認知呢?我們可以繼續提供素材，比如5、6、9等更多根小棒，讓學生繼續感悟，感得越多，悟得越真，用才靈活，才能通過感悟，品嘗到數學的本質。

二、醒悟：探究數學之核

“醒悟”從詞義來看，是在意識上由模糊而清楚、由錯誤而正確的意思。

有時，學生的認知并不需要教師“迫不及待”的指點，他們需要經歷從混沌到清晰的過程、正確與錯誤的考驗，教師更多的是應該為學生提供自主探索的時空、思維碰撞的機會。交流、質疑、評價等等都是一種思維的碰撞，要讓學生在碰撞中醒悟，在碰撞中生成智慧。

[案例]“百分數的意義”教學片段

在學生通過投籃的命中率來初步感知一個數是另一個數的百分之幾的數就是百分數后。教師讓學生交流生活中哪里見到百分數，這些百分數各表示什么意思。其中有一個學生拿出他在報紙上收集到的信息：華東精密儀器廠2009年生產的一種激光儀合格率為99.8％。

師：這個99.8％表示什么意思?

生：99.8％表示生產了100件激光儀，合格了99.8件。

教室里議論紛紛，教師笑而不答。

有學生舉手說：不可能有0.8件儀器。

又有學生說：用四舍五入法，就是100件都合格了。

師：這個廠是不是只生產了100件激光儀?

有孩子忽然醒悟似的說：如果生產了1000件激光儀，就是合格了998件。

師：“如果”這個詞用得非常好，大家想一想這個廠生產的激光儀可能是1000件嗎?一定是嗎?

生：不一定!

師：那么合格率99.8％是怎么得到的?

生：合格率99.8％是2009年合格的激光儀數量除以生產的激光儀總數得到的。

生：合格率應該是隨意抽取一些量進行檢測，將合格的激光儀數量除以抽出的激光儀總量得出來的。

師：你為什么要這么說?

生：我的爸爸是企業老總，我問過他。因為大多數的企業都是這樣多次抽檢得出來的合格率。不可能把所有的產品都一個個地進行細致的檢驗。

師：你說得非常對，99.8％合格，不能簡單地說成合格了99.8件，或者998件。這是利用百分數對企業產品質量的描述。99.8％的合格率，說明華東精密儀器廠2009年生產的一種激光儀合格率是很高的。質量很好。

我們應該感謝學生的錯誤，學生錯的水平越高，數學的價值才能真正走入學生的心靈深處。激光儀的合格率99.8％，是生產100件合格99.8件?還是生產1000件合格998件?有可能出現0.8件激光儀嗎?在教師的質疑下，學生的思維在碰撞中不斷深入，正是這種教師的質疑和學生的解疑自然、充分的交融，學生的思維才會在碰撞中螺旋上升。學生對百分數的意義的理解也才會不斷完善，逐步走向水到渠成。

三、頓悟：體驗數學之樂

“頓”的詞義是立即、忽然。有心理學家指出人類解決問題的過程就是頓悟。在數學學習的過程中，不能把所有的“悟”稱為頓悟。頓悟往往在難以解答問題中才會產生，或者教師巧妙的講解正好刺激了學生時才會產生。總之，頓悟離不開“靈感”，靈感不出現，頓悟難以到來。列賓說：“靈感就是由于頑強的勞動而獲得的獎賞。”我們常說，當人們對問題百思不得其解時，突然看出問題情境中的各種關系就會產生頓悟和理解。這說明“百思”是非常重要的，沒有“百思”。不可能有“突然”。又有人說“踏破鐵鞋無覓處，得來全不費工夫”。這里的“踏破”也是相當重要的。沒有“踏破”。就沒有“得來”。

[案例]“找規律”教學片段

師：校慶到了，我們來布置教室。在一條5米長的彩繩上每隔1米掛1個燈籠，需要準備幾個燈籠?(讓學生回答，不做評判)

教師讓學生上來掛燈籠，掛的過程中引導出2～3種情況：兩頭不掛，掛4個燈籠；兩頭都掛，掛6個燈籠；掛一頭，掛5個燈籠。

師：我們把剛才的掛燈籠的情況用線段圖表示出來。

學生在自己的作業紙上畫。

師：兩頭都掛燈籠，我們用線段表示繩子，用點表示燈籠。點數是多少?段數是多少?

教師出示題目：學校要在路邊的草坪邊上每隔10米插上一面彩旗，圖書館對面的草坪長30米(一側有棵樹)，一共可以插上多少面彩旗?

師：請你在練習紙上畫出點，并填寫表格。

師：可能出現哪幾種情況?

教師再次出示題目：我們做4個游戲，準備用品都放在講臺上，每個游戲需要的用品不同，所以在桌子上沿長邊用標牌分成4塊區域，我們需要準備多少塊標牌?你能用線段圖表示出來嗎?請你選擇對應哪組來畫圖。

在學生獨立表示后，教師組織學生完善3種情況。

師：點數與段數之間到底有什么關系?

在學習新知時，教師接二連三地依次出示了3個問題情景，學生依托問題情景和自己的生活經驗，往往能就題論題說出“掛燈籠”、“插彩旗”、“豎標牌”每個問題情景中的各種情況，教師在學生的學習過程中有意識地將各種情況梳理在黑板上，在學生完成3個問題后，馬上來反思：“比較這三題。你有什么發現?”“點數與段數之間到底有什么關系?”在比較與反思中，特別是看了板書的情況，很多學生能擺脫具體的問題情景的迷惑，頓悟出其中的規律：“兩端有點時點數比段數多1：一端有點時點數等于段數；而兩端無點時點數比段數少1?！碑斎?，悟出這一規律后，去解決類似的問題就變得很簡單了。