追本溯源探究發現

[教學思考]

一、圓面積的教學起點在哪里?

數學的基礎知識和基本概念的產生與生產勞動密切相關。由于測量的需要產生了長度單位，也由于測量的需要產生了面積單位和面積計算方法。成書于公元一世紀的《九章算術》在第一卷“方田”中給出了圓面積最樸素的算法：半周半徑相乘得積步。回歸生活，創設情境，當實際生活需要時，解決問題才不覺得是勉為其難。人教版的“圓形草坪占地面積是多少平方米?”北師大版的“噴水頭轉動一周可以澆灌多大面積的農田?”都是基于生活、基于問題解決的數學情境。在這樣的問題情境中，學生努力回憶已學舊知，嘗而不得，成功創設認知障礙。為后續學習解決這一問題從而使每一個學生獲得學習的成功體驗做好鋪墊。因此回歸生活，創設數學問題情境既是圓面積計算的生活起點，也是圓面積計算的教學起點。

二、初步感知圓面積的大小究竟有何作用?

蘇教版和北師大版教材在探究圓面積計算公式前均編排了一次初步感知活動。“初步感知——大膽猜想——小心求證——總結歸納”是科學探究的必經之路。數學史研究發現，數學家探究圓面積計算也是一個從模糊到精確、從感性到理性的追求過程。“要知道半徑是5米的圓的面積”“可以在方格紙上畫圓，再來估算圓的面積”。在方格紙上畫圖，用數方格來數出圓的面積是基于面積的數學本質。我們知道面積的數學本質是若干個面積單位的集合，面積單位是一個個小正方形，一個平面圖形面積的大小就是看它包含了多少個小正方形這種面積單位。所以在方格圖上畫示意圖是依據數學本質和學生學情而來的。因為學生學習長方形面積也是用數方格的方法推導出計算公式來的，之后的正方形、平行四邊形、三角形和梯形都是源于長方形面積公式的推論。初步感知圓面積的大小，學生可以發現圓面積與半徑之間的關系，同時也滲透了化圓為方的數學思想。

三、圓面積計算公式推導的數學本質和指導思想究竟是什么?

圓是曲線圖形，學生不知道如何轉化成他們熟悉的直線圖形。因為憑借學生的操作得到的不是學生元認知中的標準圖形，只是有點像而已。以往的轉化無論是兩個完全一樣的三角形拼成平行四邊形。還是平行四邊形剪拼成一個長方形。都是所見即所得的實實在在的轉化，結果可見，從而降低了學生的認知難度。而圓是曲線圖形。僅僅用簡單的幾次等分拼接不能得到標準的已學圖形，教師可以指導學生通過折一折、剪一剪、拼一拼等活動，從4等分開始操作與思考，從有些輪廓到有點像，再到更像，使學生感知圖形的變化趨勢，并作出理性分析和邏輯推理。這樣在有限的操作中獲得初步的無限想象和推理，學生容易獲得數學結論。所以感性的操作是圓面積推導的基礎。而理性的思辨卻是圓面積推導的關鍵。數學史研究發現：化圓為方、等積變形、極限思想和合情推理是圓面積計算公式推導最上位的指導思想。

根據教學內容的數學本質和學生數學發現學習的需要，我將教學目標確定為：(1)在具體情境中理解圓面積的含義，讓學生通過操作、討論等數學活動，經歷猜想、驗證、歸納、發現等數學化過程，引導學生自主探索發現圓的面積計算公式。(2)能正確計算圓的面積，并能應用公式解決相關的實際問題。(3)溝通圓與其他圖形之間的聯系，培養學生的邏輯推理能力，滲透極限、化圓為方等數學思想方法。教學重點是指導學生探索發現圓面積與半徑的關系。運用轉化思想探索發現圓面積計算公式。教學難點是讓學生在操作中初步建立無窮細分的極限思想。

[實踐探索]

一、情境導入

出示學校廣場圓形噴泉圖片：圓形噴泉的半徑是4米。在外圈走一圈要走多少米?這個圓形噴泉用了多少平方米的彩色地磚呢?

[設計意圖：從學生熟悉的場景引入素材，再通過生活原型到數學問題的提煉。讓學生親歷數學化的過程。通過指一指、摸一摸和說一說，引導學生正確區分周長與面積的本質區別，同時以解決實際問題為教學起點，成功創設學生認知障礙，為后續學習做好鋪墊，熟悉的學習情境有利于調動學生探究學習的積極性。]

二、方中畫圓

1.畫一畫：用一小格代表邊長是1米的正方形。在方格圖中畫出噴泉示意圖(圖1)。

師：你能估計一下噴泉大約有多少平方米嗎?說說你的想法。

(生估計圓面積)

師：我們可以用數方格的方法來驗證估計的結果。

師：這樣數，很麻煩，我們只數四分之一圓吧。(圖2)

填空：半徑是( )m，1/4圓的面積是( )m²，圓的面積大約是( )m²，右上角正方形的面積是( )m²，圓的面積大約是正方形面積的( )倍。

2.猜一猜：圓的面積和半徑有什么關系?

3.數一數：驗證猜想1/4圓的面積是( )m²。圓的面積大約是( )m²。正方形的面積大約是( )m²。

圓的面積大約是正方形面積(半徑平方)的幾倍?

學生自主發現結論：圓的面積是它半徑平方的3倍多一些。

[設計意圖：在方格紙上畫出圓形噴泉示意圖，從生活問題中抽象出數學問題，實現生活化向數學化的自然過渡，看方格圖中的圓，估計面積的近似數，使學生的估計有了思維的拐杖。從一個一個數方格到優化數方格的方法。采用只數四分之一個圓的辦法，為架構圓面積和半徑平方數之間的關系鋪平了道路。]

三、化圓為方

師：用這樣數方格的方法來探求圓的面積既不方便也不準確，如何尋找一個既方便又準確的計算方法呢?

生：研究圓面積的計算公式。

師：我們在探究平行四邊形面積計算公式的時候是怎么做的?

生：將平行四邊形剪拼成一個長方形。發現平行四邊形面積計算公式的。

師：那么你有辦法將一個圓轉化成我們熟悉的平面圖形嗎?請大家在小組中商量商量，用手中的工具、圓紙片試一試。

策略一：折一折，想一想(學生把圓折為近似的等腰三角形。交流過程略)

策略二：剪一剪，拼一拼

生：我們把一個圓剪成4個相等的扇形，把這些扇形重新拼一拼，拼出的圖形有點像平行四邊形。(展示學生作品)

師：有點輪廓。

生：我們小組將圓剪成8個相等的扇形，拼起來更像平行四邊形了。

師：要讓拼出的圖形更像一個平行四邊形。怎么辦?

生：再等分得小一些。

師：我們讓電腦來幫忙。大家看，老師在電腦上把這個圓平均分成了16份、32份，看拼成的新的圖形，你有什么發現呢?(課件演示)再來看看64、128等分的。

生：越來越接近長方形了。

師：是的。平均分的份數越多，拼成的圖形就越接近長方形。拼成的長方形與原來的圓有什么聯系?如何求這個長方形的面積?我們把圓轉化成了長方形。形狀變了，什么沒變呢?與同桌相互說說你的想法。

[設計意圖：波利亞曾經說過：學習任何知識的最佳途徑都是由自己發現的，因為這種發現理解最深刻，也最容易掌握其中內在的規律、性質和聯系。我們要讓知識回歸本源。引導學生經歷數學家探究發現這一知識的全過程。數方格實際上是數一個一個的面積單位，數不是一種最優化的數學方法，需要引導學生在此基礎上建立一個數學模型。動手操作，將圓轉化為一個熟悉的平面圖形是一種有效的策略。如何轉化?遇到難題從簡單想起是探究發現有效的突破口。學生從4等分、8等分、16等分開始操作，在操作中觀察，在觀察中發現。手、口、腦多種感官有效結合，學生的主體作用得到充分發揮，并引導學生初步感受“變與不變”的辯證思想，提高了學生分析問題、解決問題的能力。學生通過有限的操作與思考。發現不易操作的無限分割中存在的趨勢，這樣的操作有目的，觀察有依據，在合情推理模式中學生自主發現圓面積計算公式。數學模型的建立水到渠成。]

四、解決問題

1.解決實際問題。

例9：一個自動旋轉噴水器的最遠噴水距離大約是5米。它旋轉一周后噴灌的面積約有多少平方米?

2.完成“練一練”。

五、回顧與拓展

今天學習了圓的面積。說說你的收獲?看看課前大家看到的圓形噴泉彩色地磚吧。

大家有什么發現?(都是一塊塊梯形地磚鋪起來的)這就是利用化圓為方的思想來鋪地磚的。生活中有很多地方運用了化圓為方的轉化思想，請你找一找，寫一篇數學小論文。

[設計意圖：化圓為方、化曲為直在本課中得到了充分的體現，課的最后，拉近圓形噴泉圖片，學生看到原來圓形噴泉是由一塊塊等腰梯形的地磚拼成的。讓學生深切地感受到了“方”“圓”之間的內在聯系。用現實情況體現了化圓為方在生活中的應用，轉化思想得到了極好的滲透。]