精心雕琢命題方式切實(shí)考查數(shù)學(xué)能力

摘要：縱觀2011年全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)試題，有一類題目面向能力考查，貫徹課標(biāo)要求，滲透課改理念，在命題方式上凸顯“重基礎(chǔ)，重過(guò)程，重思想，重方法，重應(yīng)用，重創(chuàng)新，重能力，重素養(yǎng)”的特色，有利于初中數(shù)學(xué)課程改革的健康發(fā)展與深化。深入研究、賞析這些題目的特色，有利于初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)教學(xué)乃至整個(gè)初中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提升。

關(guān)鍵詞：中考數(shù)學(xué)；命題方式；數(shù)學(xué)能力；教學(xué)引領(lǐng)

中圖分類號(hào)：G633．6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009—010X(2011)11—0048—07

縱觀2011年全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)試題，在命題方式上充分體現(xiàn)了“重基礎(chǔ)，重過(guò)程，重思想，重方法，重應(yīng)用，重創(chuàng)新，重能力，重素養(yǎng)”的指導(dǎo)思想。命題專家以自己的智慧、激情和創(chuàng)造性勞動(dòng)，與時(shí)俱進(jìn)，別具匠心，精心雕琢命題方式，命制出眾多極具特色的中考題目，為數(shù)學(xué)平添一抹亮麗的色彩。這些試題圖文并茂，融知識(shí)性、思辨l生、生活性、創(chuàng)造性和美感于一身，貫徹課標(biāo)要求，滲透課改理念，充分展示了考素質(zhì)、測(cè)潛能的功效，為考生搭建了一個(gè)公平競(jìng)爭(zhēng)、張揚(yáng)個(gè)性的廣闊舞臺(tái)，有利于引領(lǐng)教學(xué)必須關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，給人耳目一新的感覺(jué)。本文從中擷取數(shù)例(題日均源自2011年中考，限于篇幅，只出示例題，如需答案，通過(guò)網(wǎng)絡(luò)搜索易得)，分類賞析。一管之見(jiàn)，權(quán)為拋磚。

一、尋求真實(shí)背景，考查建模能力

課標(biāo)十分強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系：“數(shù)學(xué)是人們生活、勞動(dòng)和學(xué)習(xí)必不可少的工具，能夠幫助人們處理數(shù)據(jù)、進(jìn)行計(jì)算、推理和證明……”，“數(shù)學(xué)可以幫助人們更好地探求客觀世界的規(guī)律，并對(duì)現(xiàn)代社會(huì)中大量紛繁復(fù)雜的信息作出恰當(dāng)?shù)倪x擇與判斷，同時(shí)為人們交流信息提供了一種有效、簡(jiǎn)捷的手段”，“數(shù)學(xué)作為一種普遍適用的技術(shù)，有助于人們收集、整理、描述信息，建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而解決問(wèn)題，直接為社會(huì)創(chuàng)造價(jià)值……”，學(xué)生應(yīng)“認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)涵著大量的數(shù)學(xué)信息，數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)世界中有著廣泛的應(yīng)用；面對(duì)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，能主動(dòng)嘗試著從數(shù)學(xué)的角度運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法尋求解決問(wèn)題的策略；面對(duì)新的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，能主動(dòng)地尋求其實(shí)際背景，并探索其應(yīng)用價(jià)值。”中考題關(guān)注這些理念，刻意彰顯課改方向，在背景呈現(xiàn)上貼近社會(huì)現(xiàn)實(shí)，充滿生活氣息，讓學(xué)生切身感受到源于生活、又返回來(lái)指導(dǎo)生活的“生態(tài)”數(shù)學(xué)，深入體現(xiàn)了“問(wèn)題情景——建立模型——解釋、應(yīng)用、拓展與反思”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)模式。文章內(nèi)容：

例1．(無(wú)錫)．十一屆全國(guó)人大常委會(huì)第二十次會(huì)議審議的個(gè)人所得稅法修正案草案(簡(jiǎn)稱“個(gè)稅法草案”)，擬將現(xiàn)行個(gè)人所得稅的起征點(diǎn)由每月2000元提高到3000元，并將9級(jí)超額累進(jìn)稅率修改為7級(jí)，兩種征稅方法的1~5級(jí)稅率情況見(jiàn)下表：

注：“月應(yīng)納稅額”為個(gè)人每月收入中超出起征點(diǎn)應(yīng)該納稅部分的金額；“速算扣除數(shù)”是為快捷簡(jiǎn)便計(jì)算個(gè)人所得稅而設(shè)定的一個(gè)數(shù)．

例如：按現(xiàn)行個(gè)人所得稅法的規(guī)定，某人今年3月的應(yīng)納稅額為2600元，他應(yīng)繳稅款可以用下面兩種方法之一來(lái)計(jì)算：

方法一：按1-3級(jí)超額累進(jìn)稅率計(jì)算，即500x5％+1500x10％+600x15％=265(元)。

方法二：用“月應(yīng)納稅額×適用稅率一速算扣除數(shù)”計(jì)算，即2600x15％-125=265(元)。

(1)請(qǐng)把表中空缺的“速算扣除數(shù)”填寫完整；

(2)甲今年3月繳了個(gè)人所得稅1060元，若按“個(gè)稅法草案”計(jì)算，他應(yīng)繳稅款多少元?

(3)乙今年3月繳了個(gè)人所得稅3千多元，若按“個(gè)稅法草案”計(jì)算，他應(yīng)繳的稅款恰好不變，那么乙今年3月所繳稅款的具體數(shù)額為多少元?

點(diǎn)評(píng)：生活離不開(kāi)數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，數(shù)學(xué)與生活是永遠(yuǎn)無(wú)法剝離的。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要結(jié)果不是會(huì)解多少“規(guī)范”的數(shù)學(xué)習(xí)題，而是能否從現(xiàn)實(shí)中“看”到數(shù)學(xué)、能否實(shí)現(xiàn)“數(shù)學(xué)地思考”。上例從閱讀、理解、分析到抽象出數(shù)學(xué)模型再到對(duì)模型的解釋與應(yīng)用這一條龍的流暢運(yùn)作，考查了學(xué)生整合信息的能力、分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力和條理表達(dá)的能力。學(xué)生們邊閱讀、邊探究，定性分析與定量計(jì)算結(jié)合，數(shù)學(xué)交流和數(shù)學(xué)思考充盈其中!例1以涉及國(guó)計(jì)民生的稅改為背景命制考題，通過(guò)對(duì)表格、示例及名詞注釋的分析、比較、思考，最終化歸為“方程”模型，同時(shí)摻雜著數(shù)式計(jì)算、函數(shù)思想等內(nèi)容。學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題后，收獲了信心與成就感，同時(shí)感受到國(guó)家對(duì)民生的關(guān)注，生發(fā)出愛(ài)國(guó)愛(ài)民的思想。題目深刻體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的工具價(jià)值、教育價(jià)值與文化價(jià)值。從真正意義上兌現(xiàn)了課標(biāo)對(duì)“數(shù)學(xué)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，應(yīng)當(dāng)有利于學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)”的要求。

二、構(gòu)建動(dòng)態(tài)圖形，考查探究能力

圖形在變換和運(yùn)動(dòng)中往往隱含著一定的規(guī)律，探求這些規(guī)律對(duì)學(xué)生是一種挑戰(zhàn)，容易激發(fā)學(xué)生的思考。通過(guò)設(shè)立一系列有跨度的問(wèn)題串，巧妙融入“多種角度認(rèn)識(shí)問(wèn)題、多種形式表現(xiàn)問(wèn)題、多種策略思考問(wèn)題”等數(shù)學(xué)活動(dòng)，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷探究圖形的形狀、大小、位置關(guān)系和變換的過(guò)程，能夠有效甄別學(xué)生的探究能力。問(wèn)題或從知識(shí)角度有較為深刻的意義，或從思想方法角度有較為普遍的作用，通常在條件、結(jié)論、解題策略或應(yīng)用等方面具有一定的開(kāi)放程度，旨在引領(lǐng)教學(xué)摒棄題海訓(xùn)練，讓學(xué)生主動(dòng)從事觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證與推理等數(shù)學(xué)活動(dòng)，切實(shí)豐富學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，形成有效的學(xué)習(xí)策略。

例2．(河北)如圖2-1至2-4中，兩平行線AB，CD間的距離為6，點(diǎn)M為AB上一定點(diǎn)。

思考：如圖2-I，圓心為o的半圓紙片在AB，CD之間(包括AB，CD)，其直徑MN在AB上，MN=8，點(diǎn)P為半圓上一點(diǎn)，設(shè)∠MOP=a。當(dāng)α=

度時(shí)，點(diǎn)P到CD的距離最小，最小值為 。文章內(nèi)容：

探究一：在圖2-1的基礎(chǔ)上，以點(diǎn)M為旋轉(zhuǎn)中心，在AB，CD之間順時(shí)針旋轉(zhuǎn)該半圓紙片，直到不能再轉(zhuǎn)動(dòng)為止，如圖2-2，得到最大旋轉(zhuǎn)角∠BMO=

度，此時(shí)點(diǎn)N到CD的距離是

探究二：將圖2-1中的扇形紙片NOP按下面對(duì)α的要求剪掉，使扇形紙片MOP繞點(diǎn)M在AB，CD之間順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。

(1)如圖2-3，當(dāng)a=60°時(shí)，求在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)P到CD的最小距離，并請(qǐng)指出旋轉(zhuǎn)角∠BMO的最大值；

(2)如圖2-4，在扇形紙片MOP旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，要保證點(diǎn)P能落在直線CD上，請(qǐng)確定d的取值范圍。

(參考數(shù)據(jù)：sin49°＝3/4，cos41°=3/4，tan37°=3/4)

點(diǎn)評(píng)：此類題目主要面向數(shù)學(xué)內(nèi)容本身，給出遞進(jìn)的問(wèn)題串，有很強(qiáng)的問(wèn)題性、參與性和開(kāi)放性，要求學(xué)生通過(guò)觀察、分析、研究數(shù)學(xué)事實(shí)，探求隱含于其中的數(shù)學(xué)結(jié)論或規(guī)律，并給出解釋和證明。學(xué)生要良好地實(shí)現(xiàn)自我監(jiān)督、評(píng)價(jià)、調(diào)控與反思，不斷修正思路，才能完成探究過(guò)程。通常，圖形在變換或運(yùn)動(dòng)中，在“結(jié)論或方法”上具有“變中的不變性”，即上一情形得到的結(jié)論或方法可以直接推廣或稍作調(diào)整后運(yùn)用到下一情形，這種遷移式的思考方式在例2--4(主要是方法的遷移)中有明顯的體現(xiàn)。例2均從極其簡(jiǎn)潔的圖形人手，以學(xué)生熟悉的半圓在限定空間中旋轉(zhuǎn)來(lái)構(gòu)建題目，有機(jī)整合了點(diǎn)與線、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、切線的判定等有關(guān)圓的重要知識(shí)，深刻考查了解直角三角形、垂徑定理和圓心角等知識(shí)和分類討論思想。當(dāng)然，上例從主體上以變?yōu)橹鳎瑥?qiáng)調(diào)對(duì)“變中之變”和“如何變”的探究，展示了學(xué)生思維的流暢性、靈活性、可逆性等品質(zhì)，是對(duì)理性思維能力的一次挑戰(zhàn)。此處，重點(diǎn)說(shuō)一下分析幾何問(wèn)題的基本思路—綜合分析法，即順向演繹(執(zhí)因?qū)Ч唤o條件找去路——合法)與逆向分析(執(zhí)果索因——給結(jié)論找來(lái)路——分析法)。綜合法在思維上沿著“據(jù)已知，看可知，逐步推向未知，釋放條件內(nèi)涵”的路子走，是思維發(fā)散的過(guò)程，王元老師稱其為“見(jiàn)圖思性，發(fā)展條件”，其意思是說(shuō)結(jié)合題目條件和圖形，聯(lián)想性質(zhì)，把條件資源向結(jié)論逐漸延伸，直至二者溝通為止；分析法在思維上沿著“從未知，看需知，逐步回溯已知，探尋結(jié)論所需”的路子走，是逆向思維的過(guò)程，比如欲證甲命題成立，便推想它成立的條件，一旦具備這些條件，則問(wèn)題被解決，若已知不具備這些條件，應(yīng)繼續(xù)推想使甲命題成立的乙命題的條件，看乙命題成立的條件是否在已知條件中，…，以此類推，逐步回溯，直至溝通了已知條件為止。在實(shí)際應(yīng)用中，為了避免單用綜合法的“去路不明”和單用分析法的“來(lái)路不明”之弊端，常常正反結(jié)合，采用“條件結(jié)論兩頭湊“的辦法。

三、引入全新內(nèi)容。考查學(xué)習(xí)能力

以引入新概念、新規(guī)則、新運(yùn)算等新知識(shí)為特征的創(chuàng)新題型從登上中考舞臺(tái)那天起，就呈現(xiàn)出愈演愈烈的趨勢(shì)，“即學(xué)即用”是它的主要特征。此類試題背景公平，情境別致，能有效甄別學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。只有具備較強(qiáng)的審題能力，才能敏銳地捕捉到更多有用信息；只有具備良好的思維品質(zhì)，才能有效地整合運(yùn)用所得信息。文章內(nèi)容：

點(diǎn)評(píng)：這是以課題學(xué)習(xí)形式呈現(xiàn)的例“學(xué)習(xí)型”問(wèn)題。例3從新定義的“三角形的自相似點(diǎn)”出發(fā)，循序漸進(jìn)，層層深入，引導(dǎo)考生在解決問(wèn)題的過(guò)程中，不斷產(chǎn)生認(rèn)知發(fā)展，進(jìn)而在不知不覺(jué)中將新知識(shí)的內(nèi)涵充分揭露。能否熟練進(jìn)行符號(hào)間的轉(zhuǎn)換，能否選擇適當(dāng)?shù)某绦蚝头椒ń鉀Q用符號(hào)所表達(dá)的問(wèn)題是解題的關(guān)鍵。題目突出考查學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，諸如認(rèn)知能力(即“閱讀一分析一理解一應(yīng)用”的能力，包括收集和處理信息的能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力及數(shù)學(xué)交流的能力等)、探究能力、遷移能力和創(chuàng)新能力等，對(duì)學(xué)生的悟性或思維的深刻性、概括性、應(yīng)變性等品質(zhì)能做較好區(qū)分。學(xué)生通過(guò)聯(lián)想、推理與反思，將新知識(shí)同化到原有知識(shí)網(wǎng)絡(luò)中，體驗(yàn)了思維策略的重要性。解題的過(guò)程便是“閱讀、猜想、探究、質(zhì)疑、創(chuàng)新”的過(guò)程。此類問(wèn)題在代數(shù)、幾何、三角等數(shù)學(xué)的不同領(lǐng)域均能構(gòu)建，前幾年以高中知識(shí)內(nèi)容下移為主，受到專家學(xué)者的質(zhì)疑，近兩年呈現(xiàn)出新的趨勢(shì)，題目愈發(fā)奇巧有趣。

四、拓展問(wèn)題空間，考查類比能力

“類比推理”及下面將要提到的“歸納推理”作為合情推理的兩種常見(jiàn)形式，既是思考方法，又是研究、概括、拓展知識(shí)的重要策略和途徑。基于“類比”而構(gòu)建的中考試題，體現(xiàn)了知識(shí)、方法、能力并舉的考查方式，是甄別創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新能力的重要手段，更是開(kāi)展課題研究的有效嘗試。文章內(nèi)容：

點(diǎn)評(píng)：類比中有聯(lián)想，類比中有遷移，類比中有變化，類比中有發(fā)展。其中，聯(lián)想和遷移助推“類比”實(shí)現(xiàn)“從某一事物想到或運(yùn)用到與之有一定聯(lián)系的另一事物”，縱橫聯(lián)想，善于遷移，必然能帶來(lái)更多的信息，開(kāi)闊解題思路；而類比的另一個(gè)重要特征是在遷移中的“變化、調(diào)整與發(fā)展”，體現(xiàn)思維的適應(yīng)性和應(yīng)變性。例4中，只需把圖4-1里對(duì)△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)“90°”調(diào)整成另一個(gè)“度數(shù)”——∠BAD的大小，就能順利實(shí)現(xiàn)方法和結(jié)論從圖4-1到圖4-2的遷移，再將其一般化，則圖4—3的問(wèn)題也極易解決。正因?yàn)樽プ×祟}目在內(nèi)部結(jié)構(gòu)上具備“類似”、“相關(guān)”、“因果”、“對(duì)比”、“相近”等因素，才為“類比推理”提供了技術(shù)支持，使問(wèn)題順利獲解。

五、布設(shè)平行題串，考查歸納能力

所謂“平行題串”，是指題目供探究用的設(shè)問(wèn)之間從難度上是相當(dāng)?shù)模瑥奶骄糠椒ㄉ鲜穷愃频模瑥慕Y(jié)論的形式上是相同或相近的，只是復(fù)雜程度上有所區(qū)別。題目要求在研究“平行題串”后，歸納出其中蘊(yùn)含的變化規(guī)律，主要考查學(xué)生歸納、概括和發(fā)現(xiàn)的能力。文章內(nèi)容：

點(diǎn)評(píng)：題目在設(shè)問(wèn)上先設(shè)置多個(gè)特例情形，由于這些特例有類似或共同的屬性，通過(guò)對(duì)它們的研究，會(huì)逐步顯現(xiàn)出一定的規(guī)律性，從而可以將方法或結(jié)論推廣到一般情形，揭示出問(wèn)題的本質(zhì)。例5把圖5-3這種相似問(wèn)題的一般情形，以改變m、n值方式，通過(guò)給m、n賦特殊值，構(gòu)建了一個(gè)歸納的過(guò)程，使題目的解法和內(nèi)在規(guī)律在歸納中被“再發(fā)現(xiàn)”，考查學(xué)生通過(guò)歸納獲得“新發(fā)現(xiàn)”的能力。結(jié)合題設(shè)中的已知線段比和圖形特征，容易想到過(guò)點(diǎn)E作AD、CD的垂線，從而借助相似順利破解問(wèn)題。在這種思路下，三個(gè)圖形的處理方法，從本質(zhì)上沒(méi)有任何區(qū)別。但由于圖5-2中存在等腰直角三角形、圖5-1中存在更為特殊的一腰中點(diǎn)，便于研究、方法更多且更為靈活一些罷了。題目在完成對(duì)圖5-1、尤其是圖5-2的研究后，可以迅速歸納概括得出處理圖5-3這種一般圖形的方法，并得出規(guī)律性結(jié)論。

六、暗含辯證線索。考查化歸能力

這里的“辯證”指的是題目的圖形或設(shè)問(wèn)之間存在內(nèi)在的辯證關(guān)系，如特殊與一般、抽象與具體、無(wú)限與有限的關(guān)系及生與熟、難與易、繁與簡(jiǎn)的關(guān)系等。如果能準(zhǔn)確抓住這條暗藏的線索，則可以從一般的、抽象的情形退到特殊的、具體的、有限的情形，因?yàn)楹笳吒鼮楹?jiǎn)單或更便于研究；同時(shí)，特殊的、具體的、有限的情形也可以為一般的、抽象的、無(wú)限的情形提供對(duì)比、借鑒與啟示，從而順利打開(kāi)解題思路。

點(diǎn)評(píng)：例6屬于從特例逐步推向一般的構(gòu)題模式，但它與前述的“布設(shè)平行題串，考查歸納能力”部分所述問(wèn)題有明顯的區(qū)別。“歸納”型試題的主要特征是“從已有的特例歸納出一般”，而這里的“化歸”型試題則是指“把一般情形轉(zhuǎn)化為特例情形”，突出為了解決“一般”去主動(dòng)尋找與構(gòu)造“特例”，因此其中的策略與方法價(jià)值更為明顯。如圖6-2中的一般情形可通過(guò)過(guò)點(diǎn)E作CD、CB的垂線，借助“割補(bǔ)”手段轉(zhuǎn)化成圖6-1的特例情形，同時(shí)圖6-1和圖6-2的問(wèn)題解決又為圖6-3提供了借鑒與啟示。對(duì)于“化歸”，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家c·A·雅諾夫斯卡西曾一語(yǔ)道破其實(shí)質(zhì)：“解題就是歸結(jié)為已經(jīng)解決過(guò)的問(wèn)題。”化歸是用運(yùn)動(dòng)、變化、聯(lián)系、發(fā)展的觀點(diǎn)去認(rèn)識(shí)和分析問(wèn)題，是理性的帶有明確指向性的推理演化過(guò)程。在數(shù)學(xué)解題中，一般與特殊、數(shù)與形、動(dòng)與靜、抽象與具體的互化往往奏效。

七、營(yíng)造仿真課堂。考查遷移能力

此類問(wèn)題與前述的“建模型”、“探究型”、“學(xué)習(xí)型”問(wèn)題有明顯的不同。題目雖然也涉及模型分析、數(shù)學(xué)探究和即學(xué)即用，但其中的模型是題目給予的，首先有一個(gè)認(rèn)識(shí)、感受、理解模型的過(guò)程，抓住模型的本質(zhì)特征后，再去應(yīng)用它解決新的問(wèn)題。在這一點(diǎn)上，與課堂中學(xué)習(xí)一個(gè)數(shù)學(xué)命題(如公理、定理)及其應(yīng)用的教學(xué)過(guò)程是高度吻合的。一個(gè)人的思考探究能力、運(yùn)用已學(xué)知識(shí)開(kāi)拓新領(lǐng)域的能力、靈活遷移應(yīng)用的能力、創(chuàng)新能力可以發(fā)揮得淋漓盡致。

探索研究：我們可以借鑒以前研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，先探索函y=x+1/x數(shù)(x>0)的圖象性質(zhì)。精心設(shè)置壓軸題，綜合考查學(xué)生的各種數(shù)學(xué)能力，區(qū)分不同的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平，為高一級(jí)學(xué)校的選拔創(chuàng)造條件。作為壓軸題，各地多以“運(yùn)動(dòng)變化”和“數(shù)形結(jié)合”作為主要的構(gòu)題方式，采用“寬入窄出、緩步提升”的分層次考查策略，既關(guān)注了不同數(shù)學(xué)水平學(xué)生的解題需要，又突出了題目應(yīng)有的選拔作用。試題設(shè)計(jì)凸顯彈性。主要有三種常見(jiàn)的命題方式。

l以坐標(biāo)圖象為命題載體，植入演變的幾何圖形，全方位考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。

點(diǎn)評(píng)：把圖形放到坐標(biāo)系里去研究或在函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上植入不斷演變的幾何圖形，是壓軸題的典型做法。坐標(biāo)系是開(kāi)展數(shù)形結(jié)合的重要載體和工具。以數(shù)析形。可以充分發(fā)揮數(shù)的精微、量化之特征；以形析數(shù)，可以充分展示形的直觀、形象之特征；數(shù)形結(jié)合．使數(shù)學(xué)思考得到了雙向升華。本例以一條位置固定、形狀不變、開(kāi)口向下的拋物線為載體，植入一塊可以旋轉(zhuǎn)的三角尺，圖象的固定性與三角尺的不確定性相互融合，把動(dòng)點(diǎn)和變換引進(jìn)坐標(biāo)系中。增加了題目的探究性。題目將待定系數(shù)法、方程與函數(shù)模型的建立與應(yīng)用(求解)、幾何圖形中的數(shù)量關(guān)系、推理探索、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想等多個(gè)知識(shí)相綜合。設(shè)問(wèn)中的三個(gè)問(wèn)題，人手簡(jiǎn)單，步步推進(jìn)，層次清晰。第(2)問(wèn)入口寬，方法多，學(xué)生既可以運(yùn)用相似推理，又可以運(yùn)用三角探究，還可以借助勾股定理建立方程求解．而第(3)問(wèn)更是彰顯了方法與策略的重要性，題目讓探求一個(gè)“固定點(diǎn)”，可以首先利用特例——(1)、(2)兩問(wèn)分別對(duì)應(yīng)的兩條直線，找到這個(gè)固定點(diǎn)，使思維有了著落。在此基礎(chǔ)上，既可以通過(guò)代數(shù)方法，建立直線AB的解析式，結(jié)合相似三角形，求出這個(gè)交點(diǎn)；又可以通過(guò)對(duì)△AOB的面積“演算兩次”，結(jié)合相似三角形，求出這個(gè)交點(diǎn)。題目在較深層次知識(shí)交匯點(diǎn)上設(shè)計(jì)問(wèn)題，挖掘了“數(shù)”與“形”的奇妙聯(lián)系，加之綜合性、多點(diǎn)切人性及暗含合情推理與一般化為特殊的辯證線索，讓題目增色不少，能有效考查學(xué)生的分析與判斷能力、策略意識(shí)，突出了中考試題的思想性和延伸性，從而使題目在考查學(xué)生思維品質(zhì)方面具有較高的區(qū)分度。

點(diǎn)評(píng)：此例屬于典型的動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題。題目打破過(guò)去單純從動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)線或動(dòng)圖角度切人的常規(guī)方法，在構(gòu)思上做出了兩個(gè)方面的突破：一是動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)增多，引人三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，使思考更加復(fù)雜；二是由三個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)帶動(dòng)了一個(gè)三角形的運(yùn)動(dòng)。本題涉及眾多知識(shí)點(diǎn)與方法：割補(bǔ)法求解圖形面積、相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形性質(zhì)、可化為一元一次方程的分式方程、分類討論思想、方程思想、轉(zhuǎn)化思想、運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)等等，幾乎涉及了初中所有重要的數(shù)學(xué)核心知識(shí)。題目起點(diǎn)低、有坡度、出口窄，分層考查，下手容易，得滿分難，突出了“選拔”功能。

動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題常出常新，平時(shí)要注意運(yùn)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)分析幾何圖形，多進(jìn)行變式訓(xùn)練，揭示圖形間的內(nèi)在聯(lián)系．此類問(wèn)題的破解方法可以概括為12個(gè)字，即“透析動(dòng)態(tài)全貌，辯證思維突破”：①考慮運(yùn)動(dòng)全貌。對(duì)運(yùn)動(dòng)全過(guò)程的深刻把握，有助于抓取“動(dòng)中之一瞬(運(yùn)動(dòng)中的某些關(guān)鍵或靜止時(shí)刻)，同時(shí)便于站在更高角度鳥(niǎo)瞰全局，做到成竹在胸，不致以偏概全。這一點(diǎn)在本例中有明顯體現(xiàn)。②善于“動(dòng)靜結(jié)合”，“動(dòng)”中捕“靜”，以“靜”制“動(dòng)”；善于“數(shù)形結(jié)合”，以數(shù)析形，精確；以形論數(shù)，直觀；善于把“特例”和“一般情形”結(jié)合起來(lái)分析問(wèn)題。

3．以解讀圖象為主要特征，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的工具價(jià)值，深層次考查學(xué)生捕捉信息整合信息的能力。

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)圖象以其形象、直觀的特征囊括了眾多隱含與外顯的信息。解決問(wèn)題的過(guò)程就是解讀圖象內(nèi)涵的過(guò)程。只有準(zhǔn)確、全面、有針對(duì)性地解讀圖象，從中捕捉“數(shù)據(jù)”信息與“數(shù)量關(guān)系”信息，將這些信息還原到問(wèn)題情境之中，或?qū)@些信息進(jìn)行有效梳理、綜合運(yùn)用，才能轉(zhuǎn)化問(wèn)題，順利獲解。此例是難得的創(chuàng)新問(wèn)題，深刻體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的工具價(jià)值，深層次考查了學(xué)生解讀圖象、捕捉與整合信息的能力。題目出示簡(jiǎn)潔卻又內(nèi)涵豐富的圖象，輔以通俗語(yǔ)言和器具的直觀圖形，要求學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的內(nèi)在聯(lián)系，完成“圖形”與“圖象”的“數(shù)據(jù)互補(bǔ)與互釋”。這對(duì)學(xué)生的能力的確是一個(gè)巨大的挑戰(zhàn)。由于題型生疏，平時(shí)未經(jīng)強(qiáng)化訓(xùn)練，完全能展示出學(xué)生的數(shù)學(xué)交流能力和信息素養(yǎng)，對(duì)教學(xué)中采用題海戰(zhàn)術(shù)可謂是當(dāng)頭一棒!學(xué)生的學(xué)習(xí)與感悟能否達(dá)到以下認(rèn)識(shí)程度，決定了考場(chǎng)上是從容淡定還是無(wú)所適從：“勻速變化”在坐標(biāo)系中表現(xiàn)為一條“直線”(反之亦然)。“速度大小”在坐標(biāo)系中表現(xiàn)為圖象的“陡峭程度”：圖象越陡峭，則對(duì)應(yīng)時(shí)段的速度越大；圖象越平緩，則對(duì)應(yīng)時(shí)段的速度越小。觀察乙槽的特征可知，水面上升速度是先快后慢，但在各段內(nèi)是勻速上升的，圖象的“轉(zhuǎn)折點(diǎn)”即對(duì)應(yīng)容器的“水面剛好沒(méi)過(guò)鐵塊”這個(gè)時(shí)刻。由此，題目則變得較為容易了。總體上，解決此類問(wèn)題，要以充分開(kāi)發(fā)“圖象”這個(gè)“信息源”為基礎(chǔ)，以充分聯(lián)想問(wèn)題背景為手段，圖象與生活互相詮釋，多個(gè)感官協(xié)同作業(yè)，達(dá)到“眼里看著圖象，腦里放著‘電影’，心里做著思考，手里忙著運(yùn)算”，從各個(gè)角度充分理解題目?jī)?nèi)涵。

中考是教學(xué)的指揮棒。中考的命題原則和命題方式對(duì)教學(xué)的引領(lǐng)與指揮作用是毋庸置疑的。優(yōu)秀的中考題能折射出時(shí)代對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的期望，正如課標(biāo)中所說(shuō)的，數(shù)學(xué)是“……過(guò)程”，是“……技術(shù)”，是“工具”，是“……語(yǔ)言、思想和方法”，是“文化”，……。可見(jiàn)，數(shù)學(xué)已經(jīng)成為一種具有多維結(jié)構(gòu)的人類活動(dòng)。努力讓數(shù)學(xué)展現(xiàn)出應(yīng)有的面目，中考走在了前列!

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是開(kāi)放的、活生生的、與社會(huì)生活緊密相連的自我發(fā)展過(guò)程，這既是學(xué)生認(rèn)知能力發(fā)展完整性的必然要求，也是學(xué)生獲得全面發(fā)展的必經(jīng)之路。長(zhǎng)此以往，我們的學(xué)生必能具備“一雙能用數(shù)學(xué)視角觀察世界的眼睛；一個(gè)能用數(shù)學(xué)思維思考世界的頭腦；一副為謀國(guó)家富強(qiáng)人民幸福的心腸”。這才是生態(tài)的、可持續(xù)發(fā)展的數(shù)學(xué)教學(xué)!

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