“整體思維”在三角函數中的運用

中學數學新課程標準把培養學生的“雙基”轉變為“四基”，提出數學教學的總目標是讓學生獲得適應社會生活和社會發展所必需的數學基本知識、基本技能、基本思維及基本活動經驗。數學思維涉及面很廣，整體思維就是其中一種較高級的思維方式。

所謂“整體思維”是指注重對對象的整體性把握的思維傾向，是培養學生數學思想的一種重要的高級思維方式，具有快捷性、直接性、簡約性、跳躍性、獨創性等特點。

在三角函數變換學習中，有一種重要策略是整體處理某些結構，使求解過程變得簡潔、高效。本文旨在說明整體思維在三角函數變換中的運用，從中感受它帶來的巧妙、簡潔。

一整體代換

將結構式中的某一部分當做一個整體，把復雜函數轉化為基本函數，化繁為簡，將問題簡潔解決。

另外在求三角函數的定義域、單調區間也常用到整體代換思維，關鍵抓住代換后的變量t范圍及單調性。

二整體應用三角公式

有些三角變換問題有特殊的結構，觀察并聯想它對應的三角公式，整體創造出應用公式的條件。

例2 在三角形ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosS=1，則C的大小為_______，

分析與解 觀察兩式結構與特點，整體平方相加可得：

9+24sinAcosB+24cosAsinB+16=37，

∴ sin（A+B）=，即sinC=，

又由于4sinB+3cosA=1，∴ cosA＜＜

∴ A＞，∴ 0＜C＜，∴ C=，

三整體換元

將結構式中的某一部分當做一個整體，用新變量替換，轉化問題呈現形式，從而找到求解該問題的途徑。

四整體構建不等式

求解某些三角式的范圍時，可聯想它對應的常見公式，整體構建出不等式，通過解不等式確定范圍。

例3 已知sina cos β=，則cosa sin β的范圍是____________

-1≤+cosa sin β=sin（a+β）≤1

-1≤+cosa sin β=sin（a-β）≤1

解以上不等式組得：≤cosa sin β≤

五整體構建方程

方程思想是中學數學的重要思想方法，把求解式中某些整體視作為未知數，構建方程，常常使問題京戲得易于求解。

六局部整體代入

注意結構式中的相對整體，先變形處理，從局部求出各相關系，然后在整體代入求解。

例4 已知函數f（x）=asin（πx+a）+b cos（πx+β）+1，且f（2009）=3，

分析與解 則f（2010）=_______________.

由題意可得：f（2009）=3，

asin（2009π+a）+bcos（2009π+β）+1=3，

化簡得：s sina+b cosβ=-2，

整體代入得

f（2010）=asin（2010π+a）+bcos（2010π+β）+1

=asina+bcosβ+1=-1，

七整體構造對偶式

某些結構特殊的三角函數問題，如果加以觀察、利用，構造出與之匹配的對偶結構式整體求解，常常可以達到出其不意的效果。

數學實踐表明，學生在用整體思維解答三角變換問題時，為其中所蘊涵的巧妙所折服，很好地調動了學生思維的積極性。采用整體性思維學習數學時，往往對整個問題所涉及的層次結構以及將要采取的解決方式較多地進行合理推理、猜想，提出整體方案，提高了學生的學習效率，有助于學生養成良好的思維習慣，有利于培養學生對數學敏銳的直覺和創造性思維。

（作者單位：江西省高安市教師進修學校）

責任編輯：周正旺

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