磨.模.魔

數(shù)學(xué)在本質(zhì)上就是在不斷的抽象、概括、模式化的過(guò)程中發(fā)展和豐富起來(lái)的。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)只有深入到“模型”、“建模”的意義上，才是一種真正的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。這種“深入”，就小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)而言，更多地是指用數(shù)學(xué)建模的思想和精神來(lái)指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)，不斷讓學(xué)生經(jīng)歷從具體事例或現(xiàn)實(shí)原型出發(fā)逐步抽象、概括建立起某種模型并進(jìn)行解釋和運(yùn)用，從而加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解和感受，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

用數(shù)學(xué)建模的思想來(lái)指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)，不同的年級(jí)、內(nèi)容、學(xué)習(xí)對(duì)象應(yīng)該體現(xiàn)出一定的差異，但也存在著很大的關(guān)聯(lián)性。就教學(xué)實(shí)施的一般程序來(lái)看，可以歸結(jié)到三個(gè)字：“磨”、“模”、“魔”。

一、“磨”

所謂“磨”，即“琢磨”。也就是教師首先要反復(fù)琢磨每一具體的教學(xué)內(nèi)容中隱藏著怎樣的“模”?需要幫助學(xué)生建立怎樣的“模”?如何來(lái)建“模”?在多大的程度上來(lái)建“模”?所建的“模”和建模的過(guò)程對(duì)于兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有怎樣的影響?……在基于建模思想的數(shù)學(xué)教學(xué)中，這些問(wèn)題都是一些本原性的問(wèn)題。一個(gè)老師如果從來(lái)不曾在這些方面作過(guò)思考的話，可以肯定，他的數(shù)學(xué)課堂上數(shù)學(xué)知識(shí)概念、命題、問(wèn)題和方法等很難見到“數(shù)學(xué)模型”的影子，他的學(xué)生也可能從未感受過(guò)“數(shù)學(xué)模型”的力量。

眾所周知，“雞兔同籠”問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型是二元一次整數(shù)方程，然而，在小學(xué)里學(xué)生并不學(xué)習(xí)二元一次整數(shù)方程。可是，“雞兔同籠”卻被廣泛地運(yùn)用到小學(xué)教材中：北師大版五年級(jí)上冊(cè)“嘗試與猜測(cè)”中用它來(lái)讓學(xué)生學(xué)會(huì)表格列舉：蘇教版六年級(jí)上冊(cè)將之作為一道練習(xí)題來(lái)鞏固“假設(shè)和替換”的策略；而人教版則是濃墨重彩，在六年級(jí)上冊(cè)“數(shù)學(xué)廣角”中詳細(xì)介紹了“雞兔同籠”問(wèn)題的出處、多種解法及實(shí)際應(yīng)用。教學(xué)這些內(nèi)容時(shí)，如果僅是就題講題，就課本講課本，難免顯得過(guò)于簡(jiǎn)單和淺薄。那么，對(duì)小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，“雞兔同籠”是否還隱藏著其他的“模型”因素呢?我想至少有三方面是值得關(guān)注的：一是內(nèi)容層面的，即“雞兔同籠”這類題本身的題型結(jié)構(gòu)特征(告知兩個(gè)未知量的和以及兩個(gè)未知量之間一定的量值關(guān)系，求未知量)；二是方法層面的，即“假設(shè)法”的一般解題思路(畫圖、列舉、替換等在某種意義上都是“假設(shè)”)；三是思想層面的，即從一個(gè)具體的“雞兔同籠”數(shù)學(xué)問(wèn)題出發(fā)，在經(jīng)歷了對(duì)其解答的過(guò)程之后，能將解決它的方法和思路進(jìn)行擴(kuò)展運(yùn)用(學(xué)習(xí)“雞兔同籠”，最終的目標(biāo)并不僅僅是會(huì)解答一道“雞兔同籠”的題，更有其他)。有了這樣的理解，在教學(xué)中，我們就會(huì)引導(dǎo)學(xué)生在關(guān)注教材中所編排內(nèi)容的同時(shí)，注意把握題目的類型、結(jié)構(gòu)和類比運(yùn)用，用系統(tǒng)的眼光來(lái)看待它的教學(xué)價(jià)值。這些，恰恰是學(xué)生到了中學(xué)后真正建立二元一次整數(shù)方程數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)。

眼界決定境界。一個(gè)老師是否具有“模型”眼光和“模型”意識(shí)，往往會(huì)決定著他的教學(xué)是否具有深刻性和數(shù)學(xué)課堂的品質(zhì)。

二、“模”

所謂“模”，即“建模”，也就是在教學(xué)中要幫助學(xué)生不斷經(jīng)歷將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋和運(yùn)川的過(guò)程。對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)而言，“建模”的過(guò)程，實(shí)際上就是“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程，是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得某種帶有“模型”意義的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過(guò)程。

[教學(xué)片段1]減法

出示情境圖。

師：請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真觀察這兩幅圖，說(shuō)一說(shuō)從圖上你看到了什么?

生：有5個(gè)小朋友在澆花，走了2個(gè)，剩下3個(gè)。

師：你真棒!誰(shuí)再來(lái)說(shuō)一說(shuō)?

生：原來(lái)有5個(gè)小朋友在澆花，走了2個(gè)小朋友，還剩下3個(gè)小朋友。

師：很好!你知道怎樣列式嗎?

生：5－2＝3。

教師聽了滿意地點(diǎn)點(diǎn)頭，板書5－2＝3。

接著教學(xué)減號(hào)及其讀法。

[教學(xué)片段2]

出示情境圖。

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)第一幅圖?你看到了什么?

生：從圖中我看到了有5個(gè)小朋友在澆花。

師：第二幅圖呢?

生：第二幅圖中有2個(gè)小朋友去提水了，剩下3個(gè)小朋友。

師：你能把兩幅圖的意思連起來(lái)說(shuō)嗎?

生：有5個(gè)小朋友在澆花，走了2個(gè)，還剩下3個(gè)。

師：同學(xué)們觀察得很仔細(xì)，也說(shuō)得很好。你們能根據(jù)這兩幅圖的意思提一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎?

生：有5個(gè)小朋友在澆花，走了2個(gè)，還剩幾個(gè)?

生(齊)：3個(gè)。

師：對(duì)，大家能不能用圓片代替小朋友，將這一過(guò)程擺一擺呢?

(教師在行間指導(dǎo)學(xué)生擺圓片，并請(qǐng)一生將圓片擺在情境圖的下面。)

師：(結(jié)合情境圖和圓片說(shuō)明)5個(gè)小朋友在澆花，走了2個(gè)，還剩3個(gè)；從5個(gè)圓片中拿走2個(gè)，還剩3個(gè)，都可以用同一個(gè)算式(學(xué)生齊接話：5－2＝3)來(lái)表示。(在圓片下板書：5－2＝3)

生齊讀：5減2等于3。

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)這里的5表示什么?2、3又表示什么呢?

師：同學(xué)們說(shuō)得真好!在生活中存在著許許多多這樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，5－2＝3還可以表示什么呢?請(qǐng)同桌互相說(shuō)一說(shuō)。

生1：有5瓶牛奶，喝掉2瓶，還剩3瓶。

生2：樹上有5只小鳥，飛走2只，還剩3只。

片段2和片段1相比，擺脫了“就事論事”式的簡(jiǎn)單教學(xué)，除了教學(xué)充分展開外，更主要的是滲透了初步的數(shù)學(xué)建模思想，訓(xùn)練的是學(xué)生抽象、概括、舉一反三的學(xué)習(xí)能力。這種訓(xùn)練并不是簡(jiǎn)單、生硬地進(jìn)行，而是和低年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)相貼切——由具體、形象的實(shí)例開始，借助于操作予以內(nèi)化和強(qiáng)化，最后通過(guò)思維發(fā)散和聯(lián)想加以擴(kuò)展和推廣，賦予“5－2＝3”以更多的“模型”意義。

運(yùn)用建模思想來(lái)指導(dǎo)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，在很大程度上是要在學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程中建立起一種統(tǒng)攝性、符號(hào)化的具有數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征的“模型”載體，通過(guò)這樣的具有“模型”功能的載體，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象，為后續(xù)學(xué)習(xí)提供強(qiáng)有力的基礎(chǔ)支持。當(dāng)然，對(duì)學(xué)生“模型”意識(shí)的培養(yǎng)和“建模”方法的指導(dǎo)，要根據(jù)具體內(nèi)容和具體年級(jí)而有層次不同的要求，低年級(jí)要恰到好處地結(jié)合日常實(shí)例和常規(guī)教學(xué)對(duì)學(xué)生進(jìn)行“模型”及“模型意識(shí)”的滲透、點(diǎn)化，高年級(jí)則可以更明確地引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中“模型”的存在，培養(yǎng)初步的建模能力。

三、“魔”

所謂“魔”，即“著魔”，也就是學(xué)生對(duì)“模型”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的運(yùn)用有著深切的體驗(yàn)和感悟，并對(duì)之產(chǎn)生好奇，從而在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中能主動(dòng)地構(gòu)想模型、建立模型、運(yùn)用模型。兒童數(shù)學(xué)教學(xué)的終極目標(biāo)，應(yīng)該是讓學(xué)生都懂?dāng)?shù)學(xué)、愛數(shù)學(xué)，對(duì)數(shù)學(xué)懷有敬畏之心和熱愛之情。要實(shí)現(xiàn)這樣的目標(biāo)，數(shù)學(xué)教學(xué)就不能只停留在知識(shí)和方法層面，而是要深入到數(shù)學(xué)的“腹地”，用數(shù)學(xué)自身的魅力來(lái)吸引學(xué)生。正如日本數(shù)學(xué)家米山國(guó)藏所說(shuō)：“作為知識(shí)的數(shù)學(xué)出校門不到兩年就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思想、研究的方法和著眼點(diǎn)等，這些隨時(shí)隨地地發(fā)生作用，使人終身受益。”

要讓學(xué)生能充分感受到數(shù)學(xué)模型和建模教學(xué)所產(chǎn)生的“魔力”，實(shí)際教學(xué)中，一方面要結(jié)合日常教學(xué)給學(xué)生以充分的體驗(yàn)和感受。比如，在二年級(jí)教學(xué)“確定位置”時(shí)，設(shè)定觀察的規(guī)則(觀察順序)非常重要——“從左向有數(shù)是第幾排”、“從前往后數(shù)是第幾列”、“從下往上數(shù)是第幾層”……如果我們結(jié)合這樣的觀察順序在直觀圖上分別添加“橫向帶箭頭的直線→”(坐標(biāo)系中的“橫軸”原型)和“縱向帶箭頭的直線↑”(坐標(biāo)系中的“縱軸”原型)，既將觀察順序形象地表達(dá)，又蘊(yùn)含了二維坐標(biāo)(第一象限)的基本原理。如果學(xué)生在獨(dú)立練習(xí)中也能模仿著使用，那感受會(huì)更加深刻。而在六年級(jí)學(xué)習(xí)“確定位置”(用方向、角度、距離來(lái)確定平面圖中任意一個(gè)位置)時(shí)，如果讓學(xué)生試著總是以觀測(cè)點(diǎn)為中心先畫出一個(gè)“十字”坐標(biāo)圖然后再確定位置，那學(xué)生的觀察不僅變得有序，而且準(zhǔn)確性很高。在此基礎(chǔ)上，老師再對(duì)學(xué)生進(jìn)行“建模”、“用模”的學(xué)習(xí)水平進(jìn)行適當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià)和鼓勵(lì)，教學(xué)的境界就會(huì)大大提升。另一方面，也可以在中高年級(jí)進(jìn)行一些專題性的訓(xùn)練。

這樣的訓(xùn)練所產(chǎn)生的體驗(yàn)，將會(huì)使學(xué)生充分感受到數(shù)學(xué)建模的“魔力”，并將深刻而持久地影響著他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和生活。

這是數(shù)學(xué)教學(xué)的崇高境界。