培養建立數學模型能力提升學生數學素養

所謂數學模型，是指對現實原型為了某種目的而作抽象、簡化的數學結構。建模思想的實質即為抽象和轉化的思想。作為一名數學教學工作者，我們在平時的教學實踐中常常會自覺不自覺地對數學問題模型化，如建立三角模型、幾何模型等，有些復雜的問題如果能找到合適的數學模型將會使難題化簡。以下是筆者對這一問題的一些總結。

一 代數問題轉化為三角模型

代數問題轉化為三角模型，其實質是三角代換，利用三角函數的有界性等性質找到解決問題的突破口。

例題1 已知x■+y■=1，求x2+y2的值

分析：據已知x≤1，y≤1，故容易聯想到三角代換，建立三角模型。

設x=sin α，y=sin β（-■≤α，β≤■），代入已知式得

sin α·cos β·sin β=1

即sin（α+β）=1

∴ α+ β=■

故 x2+y2=sin2 α+sin2 β

=sin2 α+cos2 α=1

例題2 已知x2-2xy+2y2≤2

求證：x-y≤■

證明：x2-2xy+2y2=（x-y）2+y2≤2

令x-y=rcosθ y=rsinθ 其中r∈[0，■]

則x+y=（x-y）+2y=rcosθ+2rsinθ

=rcosθ+2rsinθ=■rrsin（θ+?漬）≤■

二 抽象的代數問題轉化為幾何模型

有些抽象的代數問題單獨從代數角度來分析將很難下手，往往要借助幾何模型才能尋求突破。這里介紹將代數問題構造為平面幾何、立體幾何和解析幾何等幾種模型。

（1）構造平面幾何模型

例題3 已知不等式x-1+x-2＞a恒成立，求實數a的取值范圍。

分析：由絕對值的幾何意義可知：x-1+x-2表示數軸上與實數x對應的點P與數1，-2對應的點A，B的距離之和，顯然x-1+x-2的最小值為3，要使不等式恒成立a＜3。

（2）構造立體幾何模型

例題4 設x，y，z∈R+求證：■+■＞■

分析：由根式的特殊形式，聯想到余弦定理，構造三棱錐S-ABC，設SA=x，SB=y，SC=z且三條側棱SA，SB，SC兩兩成600的角，由余弦定理可得：AB=■，BC=■，CA=■，在△ABC中根據AB+BC＞CA即可證得原不等式。

（3）構造解析幾何模型

例題5 m，n，p∈R+，求x為何值時y=■+■有最小值？

分析：本題從代數角度來看很難入手，但從幾何的角度就不難突破了，兩個根式顯然與距離有密切聯系，故可構造幾何模型：A（0，m），B（P，n），C（x，0），則y=AC+BC，即在x軸的同側有兩個定點A和B，在x軸上找一個點C使得A、B兩點到C點的距離最小，很顯然只要作出A點關于x軸的對稱點A（0，-m），連接AB交x軸于C（x，0），所求得的x的值即為所求。

例題6 設s、t∈R，求函數y=（s+6-4cost）2+（s-3sint）2的最小值。

分析：此題從代數角度來看非常抽象，但從幾何角度來分析比較簡單，其幾何意義表示A（s+6，s）與B（4cost，3sint）距離的平方，很顯然點A的軌跡是直線y=x-6，點B的軌跡是橢圓■+■=1，至此問題豁然開朗，即求直線與橢圓距離的最小值。

問題可進一步深入：如求該函數的最大值、值域等。

三 建立適合現實的數學模型

合理聯想，即展開發散性思維和創造性思維，對學生的數學意識的培養意義很大。這一問題在排練組合里尤為常見，若能合理建立現實問題的數學模型常常能使問題化繁為簡。

例題7 在兩條平行線上分別取5個和8個點，連接這些點，求這兩條平行線間共有多少個交點？

顯然，這道題不適合用列舉法來解答。若考慮在兩平行線上各取兩個點，兩兩連接起來構成梯形或平行四邊形，而它的兩條對角線只有一個交點，故問題可轉化為這些點能構成多少個梯形或平行四邊形的問題，答案即：C25·C28=280個。

例題8 5人分20個蘋果，每人至少分得一個，問共有多少種分法？

此題同樣不適合用例舉法來解。假若把20個蘋果排成一排，則中間產生19個間隔，任取其中4個間隔并用木板隔開，即分成5組，規定甲、乙、丙、丁、戊五人從前往后依次拿走一堆，即為一種分法，故問題即轉化為木板有幾種插法的問題，答案顯然是C4 19=3876種。

此問題也可變為求方程x1+x2+x3+x4+x5=20的正整數解，進一步可變式為求該方程的非負整數解等。

在數學建模教學中也要多借助于多媒體技術，創設生動的課堂情境，為學生提供主動探索、主動發現的平臺，讓學生自覺參與到數學建模當中去。

由于知識產生和發展的過程本身就蘊涵著豐富的數學建模思想，因此教師要重視對實際問題背景的分析、參數的簡化、假設的約定，并且要重視分析建模的原理、過程、思想，不能僅僅解決如何建模，更重要的是要讓學生弄清為什么想到這樣建模而不是那樣建模。

在建模活動中，教師應該采用啟發式或討論式教學法，通過多種方法提升學生建模能力，讓學生學會獨立思考，真正參與課堂，成為課堂的主體。

總之，數學問題模型化是一種技巧，更是一種數學素養。我們在平時的教學實踐中一定要多注意學生這方面能力的培養和積累，換一種角度審視問題，換一種方法來解決問題，化繁為簡，化難為易，以此來提升學生分析問題和解決問題的能力。

（作者單位：江蘇省啟東市東南中學）

責任編輯：鐘 石