構筑小學數學知識教學拓展的立體空間

摘要：在當下小學數學課堂中，由于受到教師自身數學專業知識缺失的影響，我們對小學數學知識的教學拓展有時顯得并不怎么理想。所謂小學數學知識教學拓展是指根據小學生學習的實際情況，采用橫向拓展、縱向延伸和文化融合等方式為學生的學習提供有價值的學習資源，使學生的數學學習更具現實性、挑戰性、探索性和人文性，賦予數學學習材料以生命的活力。

關鍵詞：數學知識；教學拓展；橫向；縱向；文化

中圖分類號：G623.56 文獻標志碼：B文章編號：1673-4289（2011）10-0042-03

自古道：“師者，所以傳道、授業、解惑也。”不管時代怎么變遷，社會特質怎么改變，人們尊重知識、敬畏人才的傳統和教師“傳道、授業、解惑”的職責是不容改變的。但是，隨著歷史的發展和社會的變革，知識本身卻在不斷地進行擴張與拓展。因此，我們的課堂教學對于小學教材上規定的數學知識有必要進行教學拓展。

一、對教材知識進行適度的橫向擴張

我們的學生要有對一般的數學概念、定律、法則、規程等的解說能力。這不只是要求要有在小學數學教科書上所呈現的一般很簡短的幾句說法，而且要在課堂上追根朔源地作深度的思考與分析。

【問題舉例1】

1.在除法學習中，“0”為什么不能作除數？

2.你知道為什么警察可以根據腳印推斷出罪犯的大致身高?

3.在討論3的倍數特征時，為什么各個數位上的數字之和是3的倍數，整個數就是3的倍數？

4.在教學有余數的除法時，學生出現了這樣的解答(如430÷62=7還差4)，你知道學生違背了什么規則?

5.在研究角的分類時，0°

6.在教學《長方體體積》的時候，你是否引導學生對一維（線段）、二維（平面）、三維（立體）的度量（或計算）進行對比性觀察與思考？

7.兩個圓柱的表面積公式S=2πr2+2πrh(2個圓底面+1個圓柱側面)和S=2πr×(h+r)(底面周長×高與半徑的和)這兩個公式，后者除了從提取公因數的角度分析外，還可以從圖形的角度理解它的實質性意義嗎?……

【深度思考1】

通過對以上問題的表征，我們可以發現數學知識的橫向擴張的途徑可以是從命題的角度思考規定的原由（如問題1和3）；可以是用實證的方法幫助學生理性分析出現錯誤的原因（如問題4）；可以是探尋概念、定理、公式（包括習題）的辨析與變式（如問題7）；可以是溝通知識之間的聯系，賦予所發現新知以實際意義（如問題6）；可以是查漏補缺，尋求教材未曾明白了的結果與方法（如問題5）；把小學數學知識向生活化空間拓展，在數學思考中植入一些生活元素，也是一種很重要的方式（如問題2）。

在教學六年級數學中的“比例的意義和基本性質”時，教師滲透一些人體的比例常識：頭與身高的比大約是1:7，腳底長與身高的比大約也是1:7，將拳頭翻滾一周，它的長度與腳底的長度比大約是1:1。知道這些有趣的比例知識很有用處，如買襪子時，只要將襪子在拳頭上繞一周，就會知道它是否適合穿。如果你是警察，只要發現罪犯的腳印，就可估計出罪犯的身高。這樣的知識滲透，能增強學生探求新知的欲望，使他們在獲取新知識的同時拓展思維，提高應用數學的意識。

二、對教材知識進行適度的縱向延伸

所謂數學知識的縱向延伸是指基于學生后續數學學習的需要，以基本數學知識為教學原點，在課堂上以高視野的教學設計引領學生學習數學。這樣的教學著眼于學生數學學習的未來，貫穿學生數學學習的歷史，它需要教師有比較深厚的數學知識和數學思想功底。

其實從教材內容的編排設計來看，當今的教材改革已經把許多教學內容作了下移，如大學的極限、導數、簡單的古典概率和統計特征等內容已編入到新一輪的高中數學教材當中，原中學里的統計常識、方程、負數、式的分解、有序數對、排列組合、運籌、集合等數學知識和數學思想已在小學數學教材中占了不小的篇幅。表面上看是知識的下放，實際上也是為學生繼續深入學習做一些基礎性鋪墊。那么在小學數學教學中，如何將數學知識向縱深進行拓展呢?又有哪些素材可供我們拓展呢?

【問題舉例2】

1.在學習《負數》一課的時候，教材中通常安排了一幅溫度計的插圖，你是否想到了以后將要學習的“數軸”這一數學元素的影子?

2.在教學《平行四邊形面積》的時候，你是否回絕了學生關于鄰邊相乘等于面積的想法？從中有無值得探討的問題？

因為實際上鄰邊相乘只要再乘以兩鄰邊夾角的正弦值即可，而這種方式更具有數學模型意義與具有更廣泛的應用價值。因為長方形、正方形鄰邊相乘后為什么不用乘夾角的正弦值，是因為90°時夾角的正弦值等于1。

3.在擬定《圓的認識》的教案時，你是否煞費苦心地設計著如何用生活化的情境或生動有趣的實物圖片來吸引學生，而忽略了圓的“動態集合論定義”或“無限正多邊形性”？（如圖1）

4.學習《用數對表示位置》的時候，你是否考慮過為什么表示數對的兩個數據總是列數寫在前面，行數寫在后面？

5.學習關于數的整除的性質時，學生有過“是自然數多還是奇數多”的質疑嗎？你是怎么解釋的？

6.你是怎么教學三角形的“穩定性”的？你會解釋如右圖C，圖E也具有穩定性嗎？

7.將一枚硬幣向上擲1次，會出現正反兩種可能，可能性各占1/2。但連續擲了4次，都是正面朝上，那么第5次出現反、正朝上的可能性呢？

8.在教學“四舍五入”時，你是否考慮用畫數軸的方法，從集合的角度展開對四舍五入的討論與分析，而不是用生活化的買賣付錢呢？……

【深度思考2】

通過對以上的問題表征，我們可以發現將數學知識進行縱深拓展應該包含兩個方面：其一，是與此相關的更高等的數學學科知識。在學生可接受的能力范圍內讓其有初步的了解或感知，如上述問題1、3、4、6、7。其二，是互通有無的數學思想方法。我們可以引導學生以已有的思維水平、思維方式去深入理解數學現象，如上述問題2、5、8。

（一）適度挖掘，作好數學知識的鋪墊

教材中的內容編排已經體現了知識的邏輯順序與學生的認知順序，但教材中并沒有注明什么內容將和中學或高等數學內容銜接。這就需要教師系統把握中小學教材邏輯遞升的知識編排，善于挖掘知識間的內在聯系，從聯系、發展的角度分析與處理教材，注意挖掘知識間的銜接點和生長點，為學生未來的學習作好知識、能力上的鋪墊。

（二）相機滲透，建立數學思想的雛形

處理好中小學數學教學的銜接，關鍵是根據學生的接受能力和小學數學學習內容的實際，設法同相關的中學學習內容建立聯系，相應地滲透。尤其要把握好銜接的“度”。過早、過深反而“欲速則不達”。就三個學段的內容標準與過程性目標來說，相互交叉的焦點是數學的思想和方法。小學數學教材中已經蘊含著集合、對應、函數、化歸、極限、數形結合等數學思想。同時，借助例題的教學也向學生滲透了分析法、綜合法、歸納法、列舉法、倒推法等數學方法，這些數學思想和方法需要教師很好地挖掘，抓住教學內容中的有利因素，有意識地加以引導和相機滲透，使學生在潛移默化中領會數學方法，感悟數學思想，從而建立數學思想的雛形。

三、對教材知識進行適度的文化融合

所謂數學知識的文化融合就是用數學史話、數學經典故事、數學與現代生活等知識豐富數學課堂，讓學生的思想得到數學文化的浸潤，使學生產生對數學歷史的敬重，對數學文化的熱忱，促進學生形成良好的價值觀與人文情懷。

【問題舉例3】

新課改以后的高中數學課程標準已將數學文化列為一個單獨的板塊，給予了特別的重視。現代各版本的小學數學教材都紛紛增加了數學文化方面的素材。如“格子乘法”、“神奇的莫比烏斯帶”、“數字黑洞”、“七巧板”、“哥德巴赫猜想”、“黃金分割”、“斐波那契數列”、“七橋問題”、“九章算術”、“負數的產生”。

我們的小學數學課堂也時常融入許多數學文化的元素，如在教學“用字母表示數”一課，向學生介紹被譽為“現代代數之父”的韋達；在教學“用數對表示位置”時，向學生介紹世界數學巨匠笛卡爾；在“分數意義”的教學導入中安排中國古代勞動人民的“結繩記數法”等。

【深度思考3】

數學文化與數學知識的融合教育，無疑會給學生的數學學習增添許多人文活力，對學生數學學習的情感、態度、價值觀將起到積極的感召作用。問題是我們對于這些素材的認識并不能做到像對小學數學知識結構體系那樣能有一個整體的把握。因此，我們要積極地學習和運用數學文化的素材，激活學生的數學學習熱情。

（一）立足課堂學習，落實教材中的文化素材

客觀地講，受考試影響，有不少教師把教材中關于數學文化的內容放在了可有可無的位置。因而數學文化重要的育人功能也自然無法體現在學生身上，這是非常不可取的。除此之外，教師還應當在數學教材中發掘更多的數學文化素材，從具體的數學概念、數學方法、數學思想中揭示數學的文化底蘊，如在教學“圓的認識”時，可以介紹我國古代戰國時期的名著《墨經》中的記載：“圓，一中同長也。”意思是圓上任意一點到圓心的距離都等于半徑。

（二）組織課外學習，變零星點染為集體共享

在課堂上，對于數學文化知識，往往是教師向學生的單向傳輸。如果能發動和組織學生在課外搜集有關于數學史話、數學故事等則可更大限度地豐富學生的數學文化生活。

中國古代有燦爛的數學文化積淀，杰出的文化標志如《九章算術》、《周髀算經》、《孫子算經》等巨著其原始的數學理論和樸素的數學思想方法奠定了中國現代數學發展的基礎，許多古算題的趣味性足以吸引學生的眼球。學生在教師的指導下涉獵此類書籍無疑是對其精神文化的熏陶。現代數學科普書籍比如談詳柏、張景中、李毓佩等所寫的專著與文章很值得一讀。

（三）傳承經典文化，開拓數學思維的新視野

古今中外許多益智類的游戲都和數學有關。魯班鎖、華容道、四喜人、積木、拼圖、迷宮、七巧板（唐圖）、魔方（立體）、九連環、剪紙等，這些玩具與活動能讓學生在獲得數學的感性知識的同時進行推理和思考，既鍛煉學生的數學能力又能培養學生的數學興趣。看似簡單的小玩具、小游戲，其實蘊藏著深厚的數學文化元素。當學生用小手把玩充滿“魔力”的益智玩具時，他們在用心揣摸，認真思考，也在不知不覺地進行數學思考，感受到了“數學好玩”。

一些數學趣味問題，也是很好的學習內容。比如“兩個大人和兩個小孩一起渡河，渡口只有一條小船，一次只能渡過一個大人或兩個小孩，他們四人都會劃船，但都不會游泳，他們怎樣渡過河去？”

（四）創編數學童話，將枯燥知識賦以人情味

如果說有些數學理論比較深奧，小學生理解有困難，那么開展數學游戲，創編數學童話，則是一種嘗試。例如“用字母表示數”一課，字母的簡寫規則是教學的難點。有教師就把這種規定性知識鑲嵌在一個有趣的數學童話中，做成動畫，引導學生在具體的情境中輕松愉快地學習。

“某天早朝，0國王正在聽小不點兒乘號匯報工作：‘陛下，因為我和x很相近，許多人總把我們混淆。請陛下想出一個對策才行啊！’于是，0國王傳下口令：加號、減號、除號先行退朝，乘號留下議事。第二天，0國王宣布了3條制度：（1）在含有字母的式子里，數和字母中間的乘號可以記作小圓點，也可以省略不寫。如x×2或2×x都可以記作2·x或2x，但要把數寫在字母的前面。（2）1與任何字母相乘時都可以省略不寫。如1×a或a×1都記作a。（3）字母和字母相乘，中間的乘號記作小圓點或省略不寫。如a×b記作a·b或ab；兩個相同的字母相乘，如a×a記作a2，讀作‘a的平方’。”

這樣的教學，形式新穎、活潑，效果很好。中小學學習的數學知識是有限的，但若將它們放在歷史、文化、心理、智慧的天地里來審視，那將如同天際一樣，無邊無際。由此可見，作為教育的數學是一個無盡的知識寶庫。因此，對小學生數學知識的橫向擴張、縱向延伸和文化融合則正好構筑起了小學數學教學拓展的立體空間。

（作者單位：紹興縣華舍實驗學校，浙江，紹興 312033）