為了學生的發展

【關于教學設計的思考】

蘇教版三年級下冊中“小數的初步認識”是學生第一次正式學習有關小數的數學知識，教材的例題編排是結合具體情境初步認識小數的含義。測量長度的結果不是整米數、物品的價格不是整元數，這是生活中用到小數的最常見的兩種情況。所以，教材中無論是例題還是習題，聯系現實生活時，都以這方面的實際問題為題材，讓學生感受到學習小數的現實意義。在最初設計時，首先請學生讀出商品的價格引入課題，進而進行例題的教學，請學生度量課桌的桌高、桌寬等數據并以“米”作單位用分數表示。重點在于請學生說理，例如■米為什么是0.3米？引導學生說■米是0.1米，■米有3個■米，也就是有3個0.1米，也就是0.3米。教學過程中著重引導學生關注小數與分數的聯系，幫助學生建立關于小數的數感。

試教取得了比較好的教學效果，學生在了解■米可以寫成0.1米后，類推出其他情況，也能聯系十分之幾的分數理解一位小數的意義。不過課后個別學生的提問卻又讓我繼續思考教學設計的“合理性”。這樣的設計固然能照顧到兒童已有的生活經驗，學生也能根據經驗進行類推來完成學習，但無法回避、也無法作出解釋的問題是：既然課桌寬4分米已經表示得非常清楚，為什么還要用分數來表示？既然也能用分數表示，為什么還需要用小數？分數與小數的關系究竟是什么？另外，學生雖然在生活中對小數有所了解，但是總體上了解的面偏窄，主要集中在用小數表示錢數，并且在理解上存在偏差，他們知道“1.5元是1元5角”，但是不會比較1.2米和1米5厘米的大小，請學生將“1元5分”以元為單位用小數表示時，相當多的學生表示為“1.5元”。所以，學生具有的是來自生活中以購物經歷方式獲取的“小數初步認識”，這種認識是樸素的“生活數學”，在教學時必須關注“生活數學”向“學科數學”的轉變。

從數學的角度思考，我們可以用學生能理解的方式對小數的產生作出解釋，可以通過建立模型幫助學生理解小數的意義，如“你能否畫圖表示0.3”，“0.2m究竟有多長”等，以免學生學到的只是外在形式上的知識。在與《江蘇教育》雜志的編輯王偉先生交流的過程中，他提供了一個“打靶”的模型。這個模型可以避免學生簡單地借用生活經驗，借助模型還可以滲透“十進制”，即為什么要選擇十分之幾的分數。因為當彈孔位于靶紙環線之間，必然要用到分數來表示成績，兩條環線之間等分的份數最好是固定的，否則不易比較成績的大小，也不利于計算總成績。在學生有所體會之后，利用數形結合的方法和講述數學史料，讓學生明白等分10份的好處——滿十進一，這樣就與整數的計數方法統一起來了。幫助學生理解一位小數的本質：一位小數只是十分之幾的分數的一種表現形式。

【教學片段與設計意圖】

片段一：創設情境，引發認知沖突

師：鐵路部門規定：身高達到1.2米的兒童需要買票乘車。小明身高1米5厘米，他需要買票嗎？

生1：不用。（理由還沒想好）

生2：要買票，因為身高已經超過了1.2米。

師：這個問題咱們出現了爭論，還有一些同學暫時搞不清，你覺得在這個問題當中我們對哪個數的意思搞不大明白？

生：1.2米的2指什么？

師：1.2米這個數，特別是1.2米后面的2指什么，咱們沒有弄清。如果把這個問題研究清楚了，還會產生這么大的分歧嗎？

（設計意圖：聯系小數在生活中的實際應用，在學生似會非會之時提出問題，有效地引發學生的認知沖突，激發學習小數的心向。）

片段二：結合情境，了解用十進分數計數的實際需求

師：一位運動員參加了射擊比賽（課件出示，分別在8環和9環上），這兩槍的成績可以用數幾來表示嗎？

師：這時記錄成績就可以用過去學的數8、9來表示，像我們以前學過的表示物體個數的1、2、3……是自然數，0也是自然數，它們都是整數。

師：如果運動員每槍都正好打在靶線上，就可以用整數記錄，你覺得他每槍都會剛好打在靶線上嗎？

生：不可能。

師：后來這個運動員又打了2槍。哪槍的成績好？為什么呢？

生：靠右邊的成績好，因為它離中間的10近。

師：對，越接近靶心的位置，射擊成績就越好。看這兩槍的分數，如果你是裁判員，用8或9記錄成績合適嗎？到底比8環多多少呢？

生齊：不知道。

師：這時就可以用我們學過的分數知識來解決。想一想，怎么辦？

生1：平均分成4份（學生還用手比劃了），左邊這一槍就是多■，右邊這槍就是多■。

生2：平均分成5份，左邊是多■，右邊是多■。

師：你們講得很有道理，如果運動員下一槍打到這呢？（教師指一個位置，稍作停頓給學生思考）同學們可以想象一下，如果根據運動員不同的射擊位置，每次都要重新確定平均分的份數，方便嗎？

師：所以，為了有一個統一的標準，裁判員肯定有一個等分的固定分法，想知道每兩環之間的靶線平均分成幾份嗎?（課件出示等分10份的靶線圖）

師：為什么要平均分成10份，你知道嗎？（課件出示正方形等分10份的圖）每份可以用分數十分之幾表示？

師生齊數：十分之一、十分之二、十分之三……十分之九、1。（最后一格學生稍作猶豫，大部分都說了1）

師：你有沒有發現，10個十分之一正好就組成了？

生齊：1。

師：所以人們在解決問題時就考慮等分成10份，正好也可以滿十進一，這樣就可以和整數滿十進一的規則統一起來。

（設計意圖：用記錄射擊成績這一現實情境，讓學生自發地意識到整數并不能解決生活中所有的計數問題，在讓學生猜測等分份數時，又通過設置不同的射擊位置引導學生感受建立固定等分份數的必要性。對于等分10份的合理性，這里僅僅是初步感受，在學生學習小數加、減法的時候，可以進一步感受。）

片段三：學習一位小數的意義

師：用分數我們可以記錄這兩次的成績。一次是8環多十分之二，一次是8環多十分之八，感覺怎么樣？

生齊：很麻煩。

師：像十分之幾這樣經常要用到的分數，怎樣才能在生活中用得更簡單、更方便呢？（課件出示：一個正方形平均分成10份，涂其中1份。）人們想到把這個分數寫成一個新的樣子：0.1。會讀嗎？

生讀：零點一。

師：0.1實際上就表示？

生齊：十分之一。

師：十分之一就可以寫成？

生齊：0.1。

師：人們為了讓十分之幾的分數在生活中用起來更方便，就把十分之幾的分數寫成了小數。

師（出示十分之二的圖）：十分之二你會用小數表示嗎？

生：0.2。

師（出示十分之七的圖）：現在是幾分之幾？

生：用分數是十分之七，用小數是0.7。

師：如果想在圖中表示0.9，請問要涂幾格？為什么？

生：涂9格。涂9格就是十分之九。

師：是啊，實際上想0.9的意思就應該去想哪個數？

生齊：十分之九。

師：那當然要涂十份中的——

生齊：九份。

師：同學們，平時我們經常會用到整數來記錄，但是有的時候用整數并不方便。當用整數表示不方便的時候，我們可以用什么數表示呢？

生齊：分數。

師：為了和整數的規則統一起來，我們一般都是把它平均分成——

生齊：10份。

師：這樣我們就可以得到一種分數，也就是十分之幾的分數，為了更方便地使用這樣的分數，我們可以把它——

生齊：寫成小數。

師：所以要想小數的意思，咱們就可以想什么呢？

生齊：分數。

（設計意圖：對于小數0.1的教學，重點并不在于是讓學生探究抑或接受，關鍵在于是否有意義，這里的意義即是讓學生理解0.1與■的聯系。所以，讓學生知道0.1不過是■的另一種表示方式，知道想一個小數的意思只要去聯系相應的分數。而要較好地達成這樣的目的，離不開數形結合方法的應用。數形結合既有利于學生理解小數的意義，也能幫助學生構建小數的心理表象。）

師：咱們剛才看到的這些小數都是不到1的，如果超過1了怎么辦？（出示表示1.1的圖）這幅圖的涂色部分就表示比1還多十分之一，用小數怎么表示？

生：是1.1。

師：這兩個1的意思一樣嗎？（生齊說：不一樣）誰有膽量上來指著說，兩個1分別指的是哪兒？（請一個學生上來指）

師：左邊的1就是1個一，右邊的1是1個（生：十分之一），或者說1個0.1。

師：假如是2.1，這個圖應該怎么表示？

生：再畫一個正方形，把它涂滿。

師：如果是2.1，這里要有幾個涂色的大正方形？（生：2個）這邊應該有幾小格？

生齊：1小格。

師：現在左邊大正方形涂滿，右邊如果涂了2小格，用小數表示是多少？

生：1.2。

師：如果右邊涂滿3個小格嗎？（生齊：1.3）

接著往下涂：1.4、1.5、1.6、1.7、1.8、1.9、2.0。

師：又滿十進一啦。

師：看著這個圖想一想，1.1比1多多少？（生：多0.1）

師：1.2比1多多少？（生：多0.2）

（設計意圖：對于帶小數的教學仍然借助數形結合的方法，幫助學生建立關于帶小數的相應模型，達成對帶小數的數學理解。這樣有利于學生在后續學習中理解整數部分、小數部分所表示的意義，同時通過看圖比較“1.1比1多多少”等數學活動，為學生完成用小數表示數軸上的點做好鋪墊。）

片段四：應用小數解決問題

回到剛才的射擊圖（課件出示）

師（指左邊的彈孔）：這槍的成績比8環還多（生：0.2），如果用小數記錄這槍的成績呢？（生齊：8.2）

師：右邊這槍的成績呢？（生齊：8.8）

師：你覺得現在這種記錄方式和原來相比——

生齊：方便。

師：同學們，等分10份的好處古代的勞動人民就發現了。古代的治水英雄大禹就規定將自己的身長定為1丈，不滿1丈的就把1丈分為10等份，每份為1尺。同樣，在商代遺址中出土的骨尺、牙尺等，尺上的刻度也是平均分成10份的。我們現在的尺子也采用了同樣的方法。

師：在生活中我們也經常會用到小數。比如說我們度量長度經常用“米”這個長度單位，如果正好是整米數，就可以用整數來表示，那如果不滿1米呢？比如說（師用米尺量課桌的寬和高，把量得的長度畫在黑板上），課桌的寬是1米的幾分之幾？

生齊：十分之四。

師：那用分數表示也就是十分之四米。請問，十分之四米用小數表示是多少？

生齊：0.4米。

師：桌子的高度是多少？你會用分數表示嗎？用小數呢？

（練習：略）

師：在購物的過程中，也經常用到小數。你買過什么？以元作單位，你能用小數表示嗎？

片段五：拓展提高，進一步深化對小數的理解

課件出示兩幅正方形圖，分別等分10份和8份，都涂了其中的4份。

師：下面的正方形都表示1平方米，哪幅圖的陰影部分可以用0.4平方米來表示？為什么？

生：第一幅圖。因為第二幅圖平均分成了8份。

生2：因為第二幅圖沒有平均分成10份。

師：為什么一定要平均分成10份呢？

生：小數是由分數演變來的，分數的分母就得是10。

師：也就是想小數的意思就是要想分數的意思，想什么樣的分數呢？

生齊：十分之幾的分數。

師：那0.4平方米我們應該在腦子里想——

生齊：十分之四。

師：你能比劃一下，0.2米有多長？

生1：（拿出自己的學生尺）是1把尺子的長。

師：你的尺子上長多少？（生：20厘米）

師：他說0.2米就是20厘米，你們同意嗎？想0.2米的意思可以怎樣想？

生齊：十分之二米。

師（拿出米尺）：1米等分10份，其中的2份應該有多長？（生：2分米）

師：再看上課時我們遇到的問題，你認為小明需要買票嗎？

生1：1.2米是指滿1米，還要20厘米。

生2：他只有1米多5厘米，不要買票。

師：現在意見統一了。原因就是咱們把1.2米搞清楚啦！認識小數有用嗎？

師（課件出示數軸）：我指一個位置，你能說說它是多少嗎？

師指在一個位置，學生就說出大約是多少。

師：如果想知道一個位置準確地用幾表示，需要把這一段怎么樣？

生齊：平均分成10份。

課件出示平均分后的數軸，師指0.2、0.7、1.1，生口答。

（設計意圖：認識小數的教學目標不能囿于對一位小數的“認、讀、寫”以及知道小數的各部分名稱，而應將重點落實在以數學模型為基礎上，理解小數的含義。因此，練習也應體現這一精神，讓學生聯系小數的含義，結合實際問題對生活中的小數作出解釋，從而促進對小數意義的理解。學數學必須要懂數學，用數學是讓學生懂數學的重要途徑。）

【教學后記】

我們應當盡可能地將數學知識的來龍去脈向學生交代清楚，也就是要讓學生理解為什么要學，了解學了有什么用。盡管早在商代，人們就已經將度量工具——尺采用十等分來進行度量，這些都是古代人民對小數的應用，但是我們不可能也沒有必要一定要將學生帶回到商代的歷史背景中，畢竟學生對于小數并非一無所知，我們還必須考慮到知識產生的環境相關性。那么，如何才能讓學生體會知識產生的必要性？這正是數學課創設情境的目的所在。好的情境必須能與學習內容有效結合，并且能在后續的學習活動中促進學生的數學理解。如果僅起到敲門磚的作用，與例題之間沒有關聯，則該情境就不具備良好的應用價值。本節課通過模擬記錄射擊成績這一場景，逐步讓學生體會到知識發展的脈絡：整數——十分之幾的分數——小數。在解決問題的過程中理解小數的意義，凸顯了學習小數的價值。

在課堂中，小數產生的過程是與學生創造的過程緊密關聯的。當出現比8環多卻又比9環少的成績如何記錄的問題時，學生通過自由思考等分的份數來解決問題。正如克魯捷茨基所表述的：就學生自己的主觀方面來說，無疑是對某種新東西的發現、發明和獨創的成就，在某種意義上說，這種活動十分肯定地是數學創造能力的一部分。當學生意識到份數應該以一個統一的標準存在時，就能理解等分10份的合理性。這也正表明學生的數學學習是一個社會建構的過程：任何個人的創造只有為數學共同體所接受才能真正成為數學的組成部分。所以，盡管學生接受了等分10份的事實，但這是以個體創造為基礎的接受，更是一種群體的協調，這種協調正體現了學生交流中，數學對象經由學習個體向學習共同體的轉移。

教學過程中合理地將數學史與數學教學結合起來。讓學生了解到古代關于小數知識產生的背景，自然地理解其存在的意義。學生學習的并不僅僅是數學知識，讓他們了解知識產生過程中所發生的歷史、以數學家為代表的數學“創造者”在創造中所展現的艱辛歷程，無不反映出人類對知識的渴望，對解決問題的卓越智慧貢獻，對未知領域的不懈探求，這些人文精神也是數學學科的重要組成部分。數學教師在進行數學教學的過程中，如果能合理地滲透數學中的人文精神，必將豐富學生對數學的認識。

數學課要有“數學味”。本節課教學的重點在于溝通十分之幾的分數與一位小數的關系，讓學生明白：要知道一個一位小數的意思，就應通過十分之幾的分數去理解。這兩者之間的聯系又通過數形結合的方式得以展開，有效地運用了雙重編碼。一旦建立了一位小數與十分之幾的分數的聯系，教材中的例題也就自然成了小數在生活中實際應用的例子了。練習中重點補充小數的實際應用，以前教認識小數時，重點完成書面的分、小數互化練習，如0.4米=■米。學生盡管能很好地完成，但很多學生并不知道0.4米究竟有多長，很有些紙上談兵的味道。教學設計中力求體現“淡化形式，注重實質”的思想，通過“哪幅圖中的涂色部分可以表示0.4平方米”、“0.2米有多長”、“小明是否要買票”等實際問題促進學生理解小數、運用小數的能力。這里，我力圖體現美國加州州立大學吳仲和博士所指出的：強調熟練解題能力固然重要，然而懂得數學及數學能力的培養，卻對學生的終生教育有益。

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