淺議化歸思想在初中數學教學中的應用

隨著數學新課程的全面普及，如何在教學中有效滲透、培養數學思想方法，逐漸成為目前教學、教改的熱點. 所謂數學思想方法是對數學內容進一步地提煉和概括，是將數學知識轉化為數學能力的橋梁. 初中數學的主要數學思想包括化歸思想、分類討論思想、數形結合思想等. 其中化歸思想是初中數學中最常見、最重要的一種思想方法，貫穿了整個初中數學，有利于學生在解決問題的過程中思維通暢、方法得當，從而達到事半功倍的效果.

本文從化歸思想的概念、功能，以及初中數學中化歸的基本形式、化歸的特點等內容出發，比較全面地介紹了化歸思想這一重要的數學思想，以期為業界同人提供一定的參考.

一、 化歸思想的概念

化歸思想是一種最基本的思維策略，就是在研究和解決有關數學問題時采用某種手段將使之轉化，進而達到解決的一種方法. 它是“避實就虛”這種策略思想遷移到數學解題方面的具體體現，“實”是指繁、難、隱蔽、曲折，“虛”是指簡、易、明顯、徑直. 在解題中表現為：化難為易，避繁從簡，轉暗為明，化生為熟. 具體地說，即把生疏的問題轉化為熟悉的問題，把抽象的問題轉化為具體的問題，把復雜的問題轉化為簡單的問題，把一般的問題轉化為特殊的問題，把高次的問題轉化為低次的問題，把未知轉化為已知，把一個綜合的問題轉化為幾個基本的問題等等.

二、 化歸思想的功能

化歸思想無處不在，它是分析問題和解決問題的有效途徑. 在初中數學學習中運用這種化歸的思維方法解決問題的例子非常多. 例如，在代數方程求解時大多采用“化歸”的思路，它是解決方程（組）問題的最基本的思想. 即將復雜的方程（組）通過各種途徑轉化為簡單的方程（組），最后歸結為一元一次方程或一元二次方程. 這種化歸過程可以概括為“高次方程低次化，無理方程有理化，分式方程整式化，多元方程組一元化”. 這里化歸的主要途徑是降次和消元. 雖然各類方程（組）具體的解法不盡相同，然而萬變不離其宗，化歸是方程求解的金鑰匙.

平面幾何的學習中亦是如此. 例如，研究四邊形、多邊形問題時通過分割圖形，把四邊形、多邊形知識轉化為三角形知識來研究；解斜三角形的問題時，通過作三角形一邊上的高，轉化為解直角三角形問題；我們熟悉的梯形問題，常通過作腰的平行線或作兩條高等常用輔助線，把梯形問題轉化為平行四邊形與三角形問題. 又如，圓中有關弦心距、半徑、弦長的計算亦能通過連結半徑或作弦心距把問題轉化為直角三角形進行求解.

總之，化歸思想的實質就是以運動變化發展的觀點，以及事物之間相互聯系，相互制約的觀點看待問題，善于對所要解決的問題進行變換轉化，使問題得以解決.

三、 化歸思想在初中數學教學中的滲透與應用舉例

初中代數教學內容處處滲透著化歸思想：有理數的運算是小學所學四則運算的拓展；分式方程、無理方程和簡單的高次方程是一元一次方程、一元二次方程的引申；平面直角坐標系是數軸的推廣. 由于教材本身存在著這種內在聯系，所以我們在教學中隨時可以啟發學生聯想舊知識，以舊引新，將新問題化歸為舊知識，并在教學中滲透這種數學思想方法.

1. 化高次為低次

例1已知：x+=2，求x4+的值.

分析：題目的條件中所含的是字母x的一次式，而所求的結論中是x的四次式，因次我們可以通過降次，由結論向已知轉化；或通過升次，由已知向結論轉化.

解：x4+=（x2+）2-2=［（x+）2-2］2-2=2.

2. 化多元為一元

例2若=-=，則= .

分析：消去未知數是解題的常見思路，常見的方法有代入消元和加減消元，本問題可采用“設k法”，表面上看似乎增加了未知數的個數，實際上找到了新的等量關系，如x=3k等，設參與消參的轉化達到了化多元為一元的目的，使問題順利求解.

解：設=-==k，則 x=3k， y=-4k，z=7k，代入原式，得

===-3.

3. 化無理為有理

例3設0

（+）（-）.

分析：將無理式化為有理式來化簡，問題將變得簡單，觀察原式中無理式的特征，可采用換元法進行轉化.

解：設=a，=b，則

a2+b2=2，a2-b2=2x.

∴原式=（+）

=#8226;

===－1.

4. 化整體為部分

例4解方程

+++…+=.

分析：運用化歸思想，化整體為部分，將每個分式轉化為幾個分式的和，問題就可迎刃而解.

解：原方程化為

－+－+－+…+－=，即－=，

去分母，整理，得x2+9x-142=0，

解得x1，2＝.

經檢驗，x1，2都是原方程的根.

5. 已知與未知的轉化

已知與未知是一對矛盾，借助已知可以確定未知，在解決問題的過程中要緊緊抓住已知與未知的轉化，也可以把已知看成未知，把未知看成已知而達到突破難點的目的.

例5解方程：=x.

分析：通過平方將此無理方程轉化為有理方程，將出現四次方程，不易求解，不妨來個顛倒，將x視為常數，將6視為未知數.

解：將原方程兩次平方并整理，得

62－（2x2+1）#8226;6+（x4+x）=0.

解得6=x2+x，或6=x2－x+1.

再解這兩個關于的一元二次方程，得

x1=2，x2=－3，x3=， x4=.

經檢驗，x2，x4是增根.

∴原方程的根是x=2，或x=.

6. 方程與函數的轉化

例6已知關于x的函數y=（m+6）x2+2（m-1）x+（m+1）的圖象與x軸總有交點，求m的取值范圍.

分析：這是一個函數問題，可以根據函數與方程的聯系，把它轉化為：已知關于x的方程（m+6）x2+2（m-1）x+（m+1）=0總有實數根，求m的取值范圍.

解：當m+6=0，即m=－6時，方程化為－14x=5，它是一元一次方程，必有實數根，即函數的圖象與x軸有交點.

當m+6≠0時，方程為一元二次方程.

∴ Δ=4（m-1）2-4（m+6）（m+1）=4（-9m-5）≥0，

∴ m≤-.

綜上所述，m的取值范圍是m≤-.

平面幾何從定義、定理到立體、習題等許多地方都體現出了化歸思想.

在四邊形中研究有關邊、角的數量關系時，經常通過作輔助圖形化歸成三角形的有關知識來解決， 對正多邊形的有關計算可以化歸為直角三角形中的有關計算. 學習正多邊形和圓的位置關系后，正多邊形的作法可化歸成等分圓周來解決；求圓柱、圓錐的側面積可化歸為計算矩形、扇形面積等. 以上這些都是化歸思想在教材中的體現.

7. 化不規則圖形為規則圖形

例7如圖1，在四邊形ABCD中，已知AB∶BC∶CD∶DA=2∶2∶3∶1，且∠B=90°，求∠DAB的度數.

分析：對于給出的不規則四邊形，沒有現成的公式、法則進行計算，故設法對圖形進行轉化，化不規則為規則. 作輔助線是進行幾何圖形轉化的常用手段，本題通過分析，連結AC，實現了化四邊形為三角形的解題思路.

解：連結AC.

∵AB∶BC=2∶2，∠B=90°，

∴ ∠BAC=∠BCA=45°，AC=AB.

設AB=2x，則AC=2x，AD=x，CD=3x，

∴AC2+AD2＝（x）2+x2＝（3x）2＝CD2.

∴ ∠CAD=90°， ∴∠DAB=90°+45°=135°.

8. 化一般為特殊

例8如圖2，在△ABC中，AB=AC=2，BC邊上有100個不同的點P1，P2，…，P100. 記mi=AP2i+BPi#8226;PiC（i=1，2，…，100），求m1+m2+…+m100的值.

分析：題中Pi（i=1，2，…，100）具有任意性，它可在BC上來回移動，因此我們可以把這樣任意的點轉化到特殊的位置——BC的中點，即把一般情況轉化到特殊情況來處理.

解：作AD⊥BC于點D，則BD=DC.

∵ mi=AP2i+BPi#8226;PiC

= AP2i+（BD－PiD）（DC+PiD）

= AP2i+（BD－PiD）（BD+PiD）

= AP2i+BD2－PiD2

= AD2+BD2=AB2=4.

∴ m1+m2+…+m100=400.

9. 代數問題與幾何問題的轉化

例9若正實數x，y，z，r滿足（1）x2+y2=z2；（2）z=x2，求證：xy=zr.

分析：本題的已知條件比較復雜，若想通過代數方法轉化求證，勢必十分困難，而通過觀察，由條件（1）聯想到可構造直角三角形，實現了代數問題與幾何問題的轉化，使求證的過程柳暗花明，在分析問題的過程中要注意仔細觀察、認真分析、大膽聯想.

證明：由條件（1）可構造直角三角形，如圖3.

由條件（2），聯想到射影定理，作斜邊上的高CD，得CD=r. 由三角形的面積，得：xy=zr.

10. 化動為靜

例10如圖4，在直角坐標系中，點O′的坐標為（2，0），⊙O′與x軸交于原點O和點A. 又B，C，E三點的坐標分別為（-1，0）、（0，3）、（0，b），且0＜b＜3.

（1） 求點A的坐標和經過B，C兩點的直線的解析式；

（2） 當點E在線段OC上移動時，直線BE與⊙O′有哪幾種位置關系？并求出每種位置關系時，b的取值范圍.

分析：要考察直線BE與⊙O′有哪幾種位置關系，可先考察相切這種特殊位置，化一般為特殊，相切時直線與圓有可以運用的性質定理，此時求得的b的值就是一個分界點. 在分析的過程中，應用本題的“靜態”——直線與圓相切，作出圖形，化動為靜是解題的關鍵.

解：（1）由已知得：A（4，0）.

由待定系數法，得經過B，C兩點的直線的解析式為y=3x+3.

（2） 當點E在線段OC上移動時，直線BE與⊙O′有三種位置關系：相離、相切、相交.

設當點E運動到OC上某處時，恰使直線BE切⊙O′于點M，連結O′M.

∵ BM是⊙O′的切線∴ O′M⊥BM且O′M=2.

在Rt△BO′M中，BO′=3，O′M=2.

∴ BM==.

又=，∴ OE=.

∴當b=時，直線BE與⊙O′相切；

當＜b＜3時，直線BE與⊙O′相離；

當0＜b＜時，直線BE與⊙O′相交.

從以上諸多例題可以看出，化歸思想在初中數學解題中占有很重要的地位，這就要求我們在學習數學的過程中，要不斷地構建知識結構，形成知識網絡，領悟蘊涵在數學內容之中的數學思想方法，以提高數學解題能力. 但化歸思想并非萬能的方法，即并不是所有的問題都可以通過化歸而得到解決的. 化歸思想的成功應用是以“數學發現”為前提的. 因此，我們不能只停留在化歸的分析，而必須有創新的精神，不斷地進行新的研究，在研究中獲得新方法、新理論.

注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”