意外的精彩 理性的反思

在新課程理念下，課堂教學應是師生、生生之間相互交流、相互啟發、相互補充的過程. 在這個過程中師生分享彼此的情感、體驗與觀念，豐富教學內容，求得新的發現，從而達到共識、共享、共進，實現教學相長和共同發展. 華東師范大學葉瀾教授曾作過這樣的精辟論述：“課堂應是向未知方向挺進的旅程，隨時都有可能發現意外的通道和美麗的圖景，而不是一切都必須遵循固定線路而沒有激情的行程.” 只有通過師生、生生之間交流、互動，才隨時有可能“發現意外的通道和美景”、才不會使學生的智慧火花熄滅；當教師在驚嘆學生的意外生成的精彩之余，還需要理性反思，才能使學生智慧火花燃燒成師生的智慧之火，才能真正做到教學相長. 現結合三個案例予以說明.

案例1在一次數列復習課上，我出示例題：

已知在數列｛an｝中，a1=1，an+1=an（n∈N*），求數列｛an｝的通項.

師：如何求解？（待學生思考片刻后）

眾生：用累乘法. （這正是我期待的回答）

∵ ＝.

∴ an=a1#8226;#8226;……＝1#8226;#8226;#8226; … #8226;＝n（n∈N*）.

我準備出示下一個例題時，學生1舉手示意.

生1：我是用構造法求解.

由題意∵＝對一切自然數n成立，∴為常數列，又＝＝1，∴ an＝n（n∈N*）.

反思1這是令人叫絕的解法！我們差一點與之失之交臂. 為什么生1的解法超出了教師的預設？實際上，這樣情況并不鮮見. 一是因為教師的頭腦里儲存大量的題型并形成了思維定勢，這既有利于對同一類問題迅速得到統一的求解方法，但也會束縛了思維的發散性與創新性，從而難以發現一些新穎、奇特的解法. 二是從建構主義觀點來看，世界是客觀存在的，由于每個人的知識、經驗和信念的不同，每個人都有自己對世界獨特的理解. 就數學教學而言，每個學生在以往的生活、學習和交往活動中，他們已形成了自己的經驗和數學現實，而且他們具有利用現有知識、經驗和數學現實進行合乎邏輯的推理的潛能. 由于經驗背景的差異，學生對問題的理解也常常各異，且學生頭腦里的思維定勢要弱于教師，所以他們往往會有許多奇思妙想. 所以我們教師在教學中要學會傾聽，通過師生之間的對話，從這些差異中發現“閃光點”，以豐富、完善我們的教學.

反思2為什么生1的解法出乎絕大多數學生的預料？這就涉及一個很重要、也很有爭議的話題——題型教學. 由于教師對學生進行題型訓練，使學生對某些問題的思考與處理方式有趨同性. 數學教學究竟是否要進行題型教學？是否要培養學生的題型意識？數學是模式的科學［1］，當主體接觸到數學問題之后，首先要辨別題目的類型，以便與已有的知識經驗發生聯系，然后再確定解決問題的思路，這就是模式識別. 顯然數學模式識別是建立在數學題型基礎之上的. 數學是題型教學，是培養學生的定勢思維，把解決一類問題程序化、規范化，其優點是：快速高效、體現了化歸思想；缺點是：固化了學生的思維，不利于培養學生的創造性能力與創新精神. 正如學中國功夫，首先要學習各種各樣的招式與套路，這與總結題型類似，掌握的招式與套路多，是我們戰勝對方的必要條件，也是創新的前提與基礎. 但真正的功夫大師，是既有招式與套路又能突破招式與套路，從而能隨機應變、百戰不殆. 同樣地，學習數學解題既要掌握題型又能突破題型，方是解題高手. 如何使學生既能掌握題型又能突破題型？筆者認為，數學的題型要在數學概念與數學思想方法的統攝與引領之下，而不能就題型講題型. 就此題而言，此題屬于“根據數列遞推公式求數列通項公式”的題型，這個題型又可分為若干個小題型，對應著若干解題方法與技巧，如構造法、迭代法、累加法、累乘法、先猜后證等等. 解決這類問題核心的數學思想方法是什么？筆者認為：一是通過構造新數列化歸為等差或等比數列的通項問題（學生1的解法）；二是通過迭代法轉化為與首項的關系，如此題也可用下面方法求解：an＝an+1=×an-2＝…＝××…×a1＝na1（n≥2，n∈N*），又a1＝1×a1＝1，所以an＝n（n∈N*）. 三是歸納猜想、再用數學歸納法證明（即先猜后證），這里省略. 從數學概念的角度來看，數列的遞推公式是通過數列的首項（或前幾項）逐個生成數列任一項的方法，而已知數列的遞推公式求數列的通項公式，恰好把上述過程倒過來，借助遞推關系，逆向尋找an與首項a1之間的關系，這就是迭代法. 所以迭代法又是解決這類問題最原始、最核心的方法，而累加法與累乘法只是雕蟲小技而已，正如李邦河院士所說：“數學根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也！”

案例2甲、乙兩人約定6:00-7:00在某地點會面，并約定先到的人要等候另一人20分鐘后，方可離開. 求甲、乙兩人能會面的概率. （假定他們在6:00-7:00內的任意時刻到達該地點是等可能的）

師：如何求解？（待學生充分思考后）

生2：把6:00-7:00（60分鐘）分成三段（如圖1），當甲、乙兩人到達時間同時落在某一段時，他們能會面. 概率為3××＝.

生3：不對！當甲、乙兩人到達時間落在相鄰兩段內也可能會面.

師：那么這種情況的概率是多少呢？

生3：我還沒有想好. （大約3分鐘后，生3與許多學生已經有了結果）

生3：當甲、乙兩人到達時間落在相鄰兩段內能會面的情況是：兩人到達時間“一個落在AB內，一人落在BC內，且相距為不超過20的區間”或“一個落在CD內，一人落在BC內，且相距為不超過20的區間”或“一個落在BC內，一人落在AB或CD內，且相距為不超過20的區間”，這種情況的概率是××+××+×（×+×）＝. 所以“甲、乙兩人能會面”的概率P＝+＝.

反思3這是經典“兩人會面問題”的概率，屬于二維幾何概型. 由于上一節課剛剛講了一維幾何概型，所以我在備課時預見到學生根據已有的經驗可能想到用一維幾何概型來求解，我準備通過線段上的點（一維）不能表示是甲、乙兩人到達會面地點的時間（二維變量）來引導學生將問題轉化為二維幾何概型的. 學生的上述解法出乎我的預料，是“意外的通道”，不僅及時糾正了我認識上的偏差，而且使我對幾何概型與古典概型的關系有了新的認識. 如將線段AD等分成AB，BC，CD三段，點落在每一段上的概率為，這既可以看做是運用幾何概型概率計算公式也可以看做是運用古典概型計算公式啊，不正說明幾何概型有時可以轉化為古典概型嗎？

案例3學完“簡單的邏輯聯結詞”后，學生4提出課本（蘇教版選修2-1）［2］第11頁例2中命題P：方程x2+x-2=0的解是x=-2；命題?劭P：方程x2+x-2=0的解不是x=-2. 命題?劭P究竟是真還是假？我是這樣回答的：顯然命題P為假命題，則根據命題P與命題?劭P的真假性相反，可知命題?劭P為真命題.

生4：P的逆否命題：若x=-2，則它不是方程x2+x-2=0的解. 顯然?劭P的逆否命題為假命題，根據命題與其逆否命題真假性相同，可知命題?劭P為假命題啊！究竟是為什么？

生5：課本例2中的命題?劭P的寫法是否有問題？命題P好象是全稱命題，隱含著“所有”這個全稱量詞. 實際上，命題P是：所有方程x2+x-2=0的解是x=-2，從而命題?劭P存在方程x2+x-2=0的解不是x=-2. 這樣就沒有問題了.

反思4在為學生主動思考、勇于質疑叫好的同時，我想起了瑞士洛桑聯邦理工大學教授、中山大學兼職教授保羅#8226;愛爾德士先生所說的：“如果中國學生有更多的質疑精神，那就更好了.”（《南方都市報》2011年1月10日）無獨有偶，華中科技大學校長、中國工程院院士李培根在2010級本科生開學典禮上的講話中，在他的2800余字講稿中，“質疑”先后出現82次（《長江日報》2010年9月10日）. 質疑精神是創新精神重要的前提與基礎. 如何培養學生的質疑精神？如果我們教師視課本為金科玉律、給學生的印象總是絕對權威、傳授的知識也總是千真萬確；如果我們的課堂缺乏民主、和諧的教學氛圍，我們的學生還能有質疑精神嗎？所以我們教師在教學中不僅要鼓勵學生勇于質疑，還要善于設疑、激疑，甚至有時還需要故意“露出破綻”.

葉瀾教授還說過：“一個教師寫一輩子教案不一定成為名師，如果一個教師寫三年反思可能成為名師.”美國心理學家波斯納給出了一個教師成長的公式：教師成長＝經驗+反思. 他說：“如果一個教師只教書，僅僅滿足于獲得經驗而不對經驗進行深入思考，即使有20年的教學經驗，也許只是一年工作的20次重復，除非善于從經驗反思中吸取教益，否則就有可能沒有什么改進，永遠只能停留在一個新型教師的水準上.” 從這段話可以看出反思對教師成長的重要性.

學生是一本讀不完的書. 來自學生“意外的精彩”和疑問與困惑是寶貴的教學資源，是重要的教學反思之源. 這就需要我們在教學中要靜心傾聽、細心觀察、勤于反思，而不能僅僅滿足于驚嘆、欣賞與解惑.

參考文獻：

［1］ 鄭毓信. 數學教育哲學［M］. 成都：四川教育出版社，2005.

［2］ 單墫． 普通高中課程標準實驗教科書 數學（選修2-1）［M］． 南京：江蘇教育出版社，2009.

注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”