巧用數學知識處理物理問題

將物理過程用數學知識全面準確地表達出來并求出所需結果，是高考要求的能力之一。為了在平時的教學過程中，加強訓練培養這種能力，現把在解決物理問題時常遇到的幾類數學知識點進行了粗略整理。

一、運用幾何知識處理的物理問題

根據給定的條件，利用一些幾何知識，通過畫圖和計算求值。

例1：如圖所示，在傾角為α的斜面上方有一定點O，一質點自O沿光滑的斜槽從靜止開始下滑，斜槽與豎直方向的夾角β和α滿足什么關系時，質點在最短時間內從O點到達斜面？

解析：過O點作一豎直線，以經過O點的豎直線上一點O′為圓心，O O′為半徑作圓，并使該圓恰好與斜面相切于A點，由于質點從同一個圓的最高點由靜止出發沿不同的光滑斜面下滑，到達圓周上不同點所需時間（t=2■）相等，且以O為頂點，并與斜面有共同點的所有圓中，與斜面相切的圓的半徑O'A最小， 所以質點沿OA方向滑到斜面所需時間最短，連接O'A，由幾何關系可得β=α/2

二、運用三角函數處理的物理問題

三角函數的單調性、有界性等特點在解決物理問題時有廣泛的應用。

例2：用一根細繩把重為G的小球掛在豎直光滑的墻壁上，如圖所示，若改用較長的細繩，使α變小時，細繩對小球的拉力T及墻壁對小球的彈力N如何變化？

解析：根據共點力平衡和三角函數關系，得

T=mg/cosα，N=mgtanα

當α減小時，cosα增大，tanα減小，即T、N 都減小。

三、 運用二次函數和二次方程解決的物理問題

二次函數的配方和二次方程的判別式對處理物理上的極值問題有特殊作用。

例3：如圖所示，一定質量的理想氣體，在狀態A時溫度為480K，求：氣體從狀態A沿直線變化到狀態B的過程中所能達到的最高溫度。

解析：設氣體在狀態C時的溫度為T，壓強為P，體積為V。

根據理想氣體的狀態方程有■=■=■（1）

直線AB的方程為 p=8-0.5v(2)

解得，當v=8L時，Tmax=640K

(說明：對于二次函數y=ax2+bx+c 當x=-b/2a時， y有極大（小）值為(4ac-b2)/4a )

四、 運用不等式性質解決的物理問題

例4：一個質量為m，初速度不為零的粒子和一個質量為M靜止的粒子發生正碰，碰后系統損失動能為E，求：m粒子的最小初速度v0為多少？

解析：設碰后兩粒子的速度分別為v1，v2，根據系統動量守恒和能量守恒，有

mv0=mv1+Mv2■mv■■= ■mv12+■ Mv22+E

解得m的最小初速度為v0=■

（說明：設有變量x1，x2，且x1>0， x2>0，則一定有x1+x2≥2■，如果x1x2=p定值，當x1=x2時，時x1+，x2有極小值為2■ )

五、 利用微積分思想處理的物理問題

微積分與物理學相輔相成；簡單的微積分知識能夠幫助學生更深刻地理解物理概念和公式，使學生提高處理物理問題的能力。

例5：在密度為ρ1的液體上方有一懸掛的長為L，密度為ρ2的均勻直棒，棒的下端剛與液面接觸。今剪斷細繩，棒在重力和浮力的作用下下沉，若ρ1>ρ2，求：棒下落過程中的最大速度。

解：剪斷細繩后，直棒在下沉過程中受到重力G和浮力的作用，如圖所示。根據牛頓運動定律，有mg-F=m■（1）

隨著棒往下沉，浮力逐漸增大。當直棒所受合力為零，即時，棒的加速度為零，速度最大。設棒達到最大速度時，棒浸入液體中的長度為，設棒的截面積為S，則有ρ1SL1g=ρ2SLg

解得 L1=■L （2）

取x坐標如圖所示，則（1）式可以寫為ρ2SLg-ρ1Sxg=ρ2SL■

做變量代換，然后兩邊積分，解得棒的最大速度為 V1=■

物理問題的處理離不開數學知識，因此我們要善于駕馭數學工具，自覺提高運用數學工具分析物理問題的意識，只有這樣才有可能全面徹底地解決物理問題。