移動(dòng)機(jī)器人的自適應(yīng)模糊滑模動(dòng)力學(xué)控制

王宗義，李艷東，2，劉濤，于占東

(1.哈爾濱工程大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001;2.齊齊哈爾大學(xué) 計(jì)算機(jī)與控制工程學(xué)院，黑龍江 齊齊哈爾161006)

由于輪式移動(dòng)機(jī)器人(wheeled mobile robot，WMR)本身屬于典型的非完整系統(tǒng)［1］，并且是一種受結(jié)構(gòu)與非結(jié)構(gòu)不確定性影響的多輸入多輸出的非線性系統(tǒng)，增加了對(duì)其控制的難度，一直被世界各地的科研人員所重視.很多方法被用來(lái)解決移動(dòng)機(jī)器人的軌跡跟蹤問(wèn)題，如:Backstepping方法［2-3］、自適應(yīng)方法［4-5］、滑模方法［6］、模糊控制［7］、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［1］等.其中，自適應(yīng)控制具有固定的結(jié)構(gòu)和可變的參數(shù)，對(duì)結(jié)構(gòu)性不確定性有較好的適應(yīng)能力，卻無(wú)法解決非結(jié)構(gòu)不確定性問(wèn)題.滑模控制是一種具有快速瞬態(tài)響應(yīng)的魯棒控制方案，可以有效地克服不確定性，但存在著抖振現(xiàn)象的缺點(diǎn);以往采用邊界層來(lái)避免抖振現(xiàn)象，仍需要對(duì)不確定性的界進(jìn)行估計(jì)來(lái)確保系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而在實(shí)際應(yīng)用中較難實(shí)現(xiàn)精確的估計(jì)，小的控制增益無(wú)法完全彌補(bǔ)系統(tǒng)的不確定性，而大的控制增益雖然對(duì)系統(tǒng)的不確定性有所改善，但抖振現(xiàn)象仍然存在.

在移動(dòng)機(jī)器人軌跡跟蹤控制中，值得關(guān)注是在跟蹤誤差突變時(shí)的控制器速度跳變問(wèn)題，這意味著控制所需的瞬時(shí)的加速度或力很大;而實(shí)際上，受機(jī)器人機(jī)構(gòu)及驅(qū)動(dòng)元件的限制，很難做到這一點(diǎn).文獻(xiàn)［8］采用神經(jīng)動(dòng)力學(xué)原理設(shè)計(jì)了速度控制器，控制器能夠產(chǎn)生平滑、連續(xù)的速度命令，但是該方法只是用來(lái)解決運(yùn)動(dòng)學(xué)跟蹤問(wèn)題，沒(méi)有涉及到機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)層面.文獻(xiàn)［9］采用了自適應(yīng)神經(jīng)元的速度控制器及動(dòng)力學(xué)滑模控制器來(lái)解決上述問(wèn)題，但其只考慮了X方向的偏差變化，且只用一個(gè)參數(shù)固定的連續(xù)控制律來(lái)解決滑模控制的抖振問(wèn)題，沒(méi)有考慮機(jī)器人不確定性范圍波動(dòng)時(shí)系統(tǒng)的抗擾動(dòng)與優(yōu)化問(wèn)題.

為了克服上述問(wèn)題，本文提出了自適應(yīng)模糊滑模動(dòng)力學(xué)控制算法，優(yōu)化了系統(tǒng)的性能.其中，設(shè)計(jì)的自適應(yīng)分流運(yùn)動(dòng)學(xué)控制器解決了由于初始位姿偏差而引起的速度跳變問(wèn)題;同時(shí)，通過(guò)自適應(yīng)模糊控制來(lái)調(diào)節(jié)滑模控制的增益，從而消除了在滑模控制中的輸入抖振現(xiàn)象.

1 非完整移動(dòng)機(jī)器人模型

本文的研究對(duì)象是差分驅(qū)動(dòng)的輪式移動(dòng)機(jī)器人，如圖1所示，機(jī)器人位姿q=(x，y，θ)T，其中(x，y)表示參考點(diǎn)C(移動(dòng)機(jī)器人的質(zhì)心)在笛卡爾坐標(biāo)系(O，X，Y)中的坐標(biāo)，θ為機(jī)器人的導(dǎo)向角.驅(qū)動(dòng)輪的間距為2R，直徑為2r.

移動(dòng)機(jī)器人受如下非完整約束:

非完整移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)方程如下［1］

式中:τr與τl是加在右輪和左輪的力矩，m是移動(dòng)機(jī)器人平臺(tái)質(zhì)量，I為機(jī)器人平臺(tái)繞通過(guò)C點(diǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.把干擾力矩視為外加干擾，則動(dòng)力學(xué)方程(2)可以簡(jiǎn)化為動(dòng)力學(xué)標(biāo)稱模型:

圖1 移動(dòng)機(jī)器人Fig.1 The mobile robot

2 自適應(yīng)分流運(yùn)動(dòng)學(xué)控制器設(shè)計(jì)

經(jīng)典的運(yùn)動(dòng)學(xué)控制器為基于Backstepping方法設(shè)計(jì)的速度控制器［2］:

式中:vc和ωc分別為速度跟蹤控制器輸出的線速度和角速度，ki＞0，i=1，2，3.該控制器在理論上可以使系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行，但是實(shí)際應(yīng)用中，機(jī)器人在大的初始位姿偏差時(shí)產(chǎn)生的速度跳變問(wèn)題，影響機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)性能，因此下面采用文獻(xiàn)［10］提出的分流模型來(lái)改進(jìn)速度跟蹤控制器Vc，取k1e1=vs［9］，k2e2= ws，輔助信號(hào)vs和ws由下式得到:

式中:Aj、Bj、Dj(j=v，w)大于零，f(x)=max(x，0)，g(x)=max(－x，0)，x=e1，e2分別為被動(dòng)衰減率，輔助信號(hào)的上下界，激活和抑制函數(shù)，可以得到vs與ws的穩(wěn)態(tài)解vss［9］與wss為

由于vs與ws的取值與系數(shù)Aj、Bj、Dj(j=v，w)有關(guān)，且范圍被限制在［－DjBj］內(nèi)，所以根據(jù)機(jī)器人參考速度及位姿偏差的變化，需要對(duì)Aj、Bj、Dj做出調(diào)整，新的輔助信號(hào)取為和，由下式獲得

式中:gj＞0(j=v，w)為學(xué)習(xí)率，則自適應(yīng)分流運(yùn)動(dòng)學(xué)控制器可以寫為

同理可推出 e1＜0情況下≤0，當(dāng)且僅當(dāng)=vs時(shí)=0，可得出估計(jì)輔助信號(hào)收斂于vs.假設(shè)e2＞0，依照式(20)方法對(duì)L2進(jìn)行求導(dǎo)并將自適應(yīng)律(12)～(14)代入得

同理可推出e2＜0情況下，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，可得出估計(jì)輔助信號(hào)收斂于ws.

對(duì)L3進(jìn)行求導(dǎo)并將式(5)、(15)、(16)代入得

由于基于Backstepping方法設(shè)計(jì)的速度控制器是收斂的，所以自適應(yīng)分流運(yùn)動(dòng)學(xué)控制器(15)也是收斂穩(wěn)定的.

3 自適應(yīng)模糊滑模動(dòng)力學(xué)控制器設(shè)計(jì)

PID滑模面選為

式中:λ＞0，ec=Vc－V，則滑模面s(t)的微分為

此時(shí)對(duì)應(yīng)的等效控制律τeq為

式中:0＜k4＜2λ.引入開(kāi)關(guān)控制律τsw，用來(lái)補(bǔ)償系統(tǒng)的不確定性及干擾，得到滑模控制律為

為了消除顫振，引入模糊控制來(lái)調(diào)整開(kāi)關(guān)控制律系數(shù)Γ，采用單值模糊化，將滑模面作為模糊系統(tǒng)輸入，模糊規(guī)則由下面形式給出［11］.

規(guī)則i:如果sj取，那么Γj取

對(duì)于模糊滑模控制，在控制器設(shè)計(jì)過(guò)程中，希望所選取的參數(shù)是最優(yōu)的.但是，由于移動(dòng)機(jī)器人系統(tǒng)存在的參數(shù)不確定性及干擾的不可預(yù)知性，無(wú)法獲取精確的參數(shù)，因此可以采用自適應(yīng)控制來(lái)對(duì)最優(yōu)參數(shù)進(jìn)行估計(jì).

式中:βj＞0(j=1，2)為學(xué)習(xí)率，則所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)模糊滑模動(dòng)力學(xué)控制器為

定理 對(duì)于機(jī)器人系統(tǒng)(2)，選擇自適應(yīng)分流運(yùn)動(dòng)學(xué)控制器(15)、自適應(yīng)模糊滑模動(dòng)力學(xué)控制器(33)、分流模型(8)、參數(shù)自適應(yīng)律(9)～(14)，(32)，那么機(jī)器人系統(tǒng)(2)是漸近穩(wěn)定的.

證明:選擇總Lyapunov函數(shù)為

定義下面的項(xiàng):

因?yàn)長(zhǎng)4有界且非增的，則有

4 仿真與結(jié)果分析

利用MATLAB仿真實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證文中算法的有效性，移動(dòng)機(jī)器人的自適應(yīng)分流運(yùn)動(dòng)學(xué)控制(adaptive shunting kinematic control，ASKC)與自適應(yīng)模糊滑模動(dòng)力學(xué)控制(adaptive fuzzy sliding mode dynamics control，AFSMDC)算法如圖2所示.選取跟蹤的參考軌跡為一個(gè)圓，其參數(shù)為xr(t)=2cost，yr(t)= 2sint，θr(t)=t，vr=2 m/s，ωr=1 rad/s，機(jī)器人自身的參數(shù)值取為:m=4 kg，I=2.5 kg·m2，2R= 0.306 m，r=0.03 m;在運(yùn)行8 s時(shí)移動(dòng)機(jī)器人的負(fù)載發(fā)生了變化從而也引起了參數(shù)變化:m=6 kg，I=3sin(t－12)］T為移動(dòng)機(jī)器人所受擾動(dòng);位姿偏差為qe=［－1 1 －45°］，參考機(jī)器人的初始位姿為qr=［2 0 0°］.分下面幾種情況對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了仿真及比較研究:1)采用文中算法;2)采用經(jīng)典反步法設(shè)計(jì)的運(yùn)動(dòng)學(xué)控制(classical backstepping kinematic control，CBKC)與AFSMDC結(jié)合的算法;3)采用ASKC與滑模控制器(sliding mode control，SMC)結(jié)合算法.

取k1=9.9，k2=11，k3=7.1，k4=12，λ=6.5，Av=Aw=6，Bv=Dv=41.5，Bw=Dw=59.5，Γ1= Γ2=3，gv=gw=0.02，β1=β2=0.01;模糊輸入部分高斯隸屬函數(shù)中心按間隔為5的均勻分布取值，方差取為6，其余初值均為0.

圖2 移動(dòng)機(jī)器人的自適應(yīng)分流運(yùn)動(dòng)學(xué)控制與自適應(yīng)模糊滑模動(dòng)力學(xué)控制結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Structure of adaptive shunting kinematics control and adaptive fuzzy sliding mode dynamics control for the mobile robot

仿真結(jié)果如圖3～7所示，由圖3與圖4可以看出，文中算法跟蹤效果最好.圖5與圖6表明，與采用SMC的(c)圖的力矩輸出存在明顯的抖振現(xiàn)象相比，采用AFSMDC的(a)和(b)圖的力矩輸出完全消除了抖振.圖7表明，與采用CBKC的(b)圖的速度輸出存在的明顯速度跳變相比，采用ASKC的(a)和(c)圖的速度得到了平滑，速度跳變問(wèn)題得以解決.綜上分析，文中算法有效地解決了移動(dòng)機(jī)器人跟蹤過(guò)程中的速度跳變問(wèn)題及為克服系統(tǒng)參數(shù)與非參數(shù)不確定性而引入滑模控制引起的抖振問(wèn)題.

圖3 3種算法的移動(dòng)機(jī)器人軌跡跟蹤Fig.3 Trajectory tracking of the mobile robot based on three algorithms

圖4 3種算法的移動(dòng)機(jī)器人位姿偏差Fig.4 Posture errors of the mobile robot based on three algorithms

圖5 3種算法的移動(dòng)機(jī)器人右輸出力矩Fig.5 Right output torque of the mobile robot based on three algorithms

圖6 3種算法的移動(dòng)機(jī)器人左輸出力矩Fig.6 Left output torque of the mobile robot based on three algorithms

圖7 3種算法的移動(dòng)機(jī)器人實(shí)際速度與角速度Fig.7 Real velocity and angular velocity of mobile robots based on three algorithms

5 結(jié)束語(yǔ)

本文以非完整輪式移動(dòng)機(jī)器人為研究對(duì)象，完整的進(jìn)行了移動(dòng)機(jī)器人的自適應(yīng)模糊滑模動(dòng)力學(xué)控制策略的設(shè)計(jì)，并通過(guò)MATLAB分3種情況對(duì)圓形軌跡進(jìn)行了仿真與對(duì)比實(shí)驗(yàn)，在移動(dòng)機(jī)器人跟蹤過(guò)程中存在諸多不確定性的情況下，本文算法不但消除了滑模控制存在的抖振現(xiàn)象，同時(shí)也很好地解決了由初始跟蹤誤差引起的傳統(tǒng)控制器速度跳變問(wèn)題.仿真實(shí)驗(yàn)表明，所提出的自適應(yīng)分流運(yùn)動(dòng)學(xué)控制與自適應(yīng)模糊滑模動(dòng)力學(xué)控制是可行的、有效的.

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