數學例題教學的實踐與認識

例題教學是數學課堂教學的重要環節。例題教學的目的是加強對所學的概念、定理、公式、法則、方法和思想等的進一步理解與認識，啟迪學生思維、示范學生解題，培養學生應用數學知識分析問題、解決問題的能力。因此可以這么說，例題教學質量的高低，很大程度上決定了數學課堂教學質量的高低。新課程理念下的數學，知識容量大，能力要求高，教師普遍感受到“時間緊迫、任務繁重”，這就對例題教學提出了更高的要求.那么，在數學教學中，如何精選例題、精析例題，充分發揮例題的教學功能與價值呢？筆者根據多年的教學經驗，結合數學課堂教學的體會，談談數學例題教學的實踐與認識。

1、新穎性原則

新穎性原則是指在數學課堂教學中選擇的例題力求新穎。

心理學研究表明，學生的學習效果與其所接觸的材料的“新鮮感”有密切關系。據此，在教學中，教師應盡量選用新穎的題目作為例題，不必盲目照搬教材例題，切忌同一問題以同一形式多次單調重復，以免學生覺得單調、枯燥、乏味，毫無新意，從而扼殺學生的求知欲望。

例1若函數f(x)對于其定義域上的某一點x0有f（x0）= x0，則稱x0是f（x）的一個不動點.已知函數f（x）=ax2+(b+1)x+（b－1）（a≠0）。

（1）當a=1，b=－2時，求函數f（x）的不動點。

（2）若對任意的實數b，函數f（x）恒有兩個不動點，求a的取值范圍.

評注本題實際上是一元二次方程恒有兩個不等實根的恒成立問題，但它又與所謂“不動點”的新概念發生關系，讓學生倍感新鮮，從而激發學生的求知欲望，同時也擴大了學生的視野。

2、經典性原則

經典性原則是指在數學課堂教學中選擇的例題力求經典（或具有典型性）。

“經典”有利于記憶，學生在問題解決中，往往也是通過對經典（或具有典型性）的例題的理解、遷移和發揮來顯示其應用能力水平的，因此，在數學課堂教學中，經典（或具有典型性）例題的教學在培養和發展學生的數學能力中起著重要的、不可替代的作用。

例2（數學歸納法）多米諾骨牌游戲。

例3（反證法）試用反證法證明“神不是萬能的”。

評注這兩個例題是經典中的經典。這兩個經典例題讓學生很難忘記應用兩種證明方法的解題步驟，它們在數學教學中的功能與作用是其他一般性例題不可替代的。

3、啟發性原則

啟發性原則是指例題本身要具有啟發功能和例題教學要實施啟發式教學。

蘇霍姆林斯基曾說過，學生心靈深處有一種根深蒂固的需要——希望自己是一個發現者、研究者、探索者，這是學生的內在需要，當這種需要一旦得到滿足，學生內在的“智力能量”就會充分的釋放。所以教師在教學中，要有目的地設計一些富有啟發性的例題，同時例題的教學要實施啟發式教學（啟發式教學要求——“啟而不達”），以滿足學生的需要，使學生被動接受學習轉為主動探究學習。

例4（1）10個饅頭分給3個和尚吃，每人至少吃一個，有多少種分配方案？

（2）不定方程x+y+z=10有幾組正整數解？

評注本題第（1）問是排列組合問題中的分配問題，采用“隔板法”，第（2）問可以等價轉化為第（1）問，本例題以題組形式設計，非常富有啟發性。

4、開放性原則

開放性原則是指例題本身要具有開放性和例題教學要實施開放性教學。

“開放性”有利于營造創新氛圍，提高學生的發散思維能力，點燃學生的創新心理的火種。廣義的開放性例題有三種，一是“條件開放型”；二是“結論開放型”；三是問題解決的方法、途徑開放型，不限于一種方法、一個標準答案。例題教學的開放性是指教師要創設開放的“環境”，要以人為本，尊重每個學生的個性發展（獨特的發散思維的發展），把學生放在主體的位置上，著眼于學生創新能力的培養，體現學生發現、發展自己的思維方式，而不是教師的思維方式，讓學生在學習中建構自己的知識體系與認知結構，形成自己的多維的發散的思維方式。

例5直線y=2x+m與拋物線y=x2相交于A、B兩點，若__________，求直線AB的方程（要求先補充恰當的條件，使直線方程得以確定再求出直線方程）。

評注本題為“條件開放型”，學生的解答可謂百花齊放，百家爭鳴，如①|AB|=m；②若O為原點，∠AOB=90°；③AB中點的縱坐標為6；④AB恰過拋物線的焦點F等。從中我們可以看到開放性例題有比較大的思維拓展空間，有利于學生的發散思維的培養，提高學生的創新能力。

評注本題看似是簡單的“封閉性”題，教參也只給出兩種解法，在開放性教學原則（環境）下，有教師調研了學生對本題的正確解法多達十幾種，其中的發散思維、創新智慧令人賞心悅目，拍案叫絕。

5、梯度性原則

梯度性原則是指例題教學應遵循由易到難，從簡到繁，由低到高的順序設置。

認知規律告訴我們，人們認識事物都是由淺入深、由表及里、循序漸近的，這就要求例題的設置應體現層次性、梯度性.無論是例題的呈現順序上，還是同一道題的若干子問題的設置先后上，都應遵循由低到高的原則，使學生的思維時時處在“最近發展區”，跳一跳，夠得著，讓學生在積極思維活動中體驗到成功感。相反，例題難度跳躍太大，勢必挫傷學生的自信心，打擊學生的學習興趣。

(3)若f(x)=x2+bx+c，當正數p、q滿足p+q=1時，試證明：

f(px+qy) ≤pf(x)+qf(y).。

評注通過這樣由淺入深的例題變式遞進設置，讓學生的思維時時處在“最近發展區”，引導學生積極思維，充分理解函數凹凸性的多種表達形式，從中領會探究問題的思維模式。

6、過程性原則

新課程背景下，“重結果，更重過程”。要讓學生知其然又知其所以然，就是要讓學生“參與”例題的解決過程。過程性原則是指數學例題教學應重視“過程性教學”。

所謂“過程性教學”，簡單地說就是在例題教學中，教師要充分暴露（最初的、最原始的、最真實的）思維探究過程，讓學生“親歷”數學知識和數學思維的發生、發展過程，從而提高學生把抽象的數學問題具體化、形象化的能力，最終提高學生解決問題的能力。

例8如圖8，一個地區分為5個行政區，現給地圖著色，要求相鄰區域不得使用相同的顏色，現有4種顏色可供選擇，則不同的染色方法有多少種？

例9如圖4，四個人A1、A2、A3、A4互相傳球，由A1開始發球，這稱為第一次傳球，經過4次傳球后，球仍然回到A1手中，求所有不同的傳球方式有多少種？

評注例8是區域染色問題，若把區域縮成點，則圖2變為圖3，轉化為點染色問題（當然還可以啟發學生用其他方法解例8）。將例9作如下轉化：①傳球次數對應為多邊形的邊數；②人的個數對應為使用顏色的種數；③球不傳給自己對應為多邊形相鄰點染不同顏色；④球每次只傳到一個人手里對應為每個點只染一種顏色；⑤指定從A1發球相當于給A1染確定的顏色，則圖4變為圖5，這樣，傳球問題就變成染色問題了。教師應重視問題的“分析轉化”過程教學，讓學生“參與”思路分析，充分暴露解題思維過程。

7適量性原則

適量性原則是指數學課堂教學例題設置時機要適宜，分量應適度。

一是例題教學所占課堂教學的比例要恰當，即例題設置的數量要適當。例題并不是越多越好，過猶不及，應著重強調一個“精”字，精選、精練、精議、精析、精總結，把每一道例題講深講透，鼓勵、提倡例題多作變式訓練和一題多解，充分挖掘每一道例題承載的教學價值（作用和功能），千萬避免“多而淺”的現象；二是例題的教學時機要適宜，即例題的“呈現”時機和例題教學的“啟發”時機要適宜。例題教學一般是在學習或復習了有關的概念、定理、方式、法則等基礎知識之后的教學環節，如果學生對有關的基礎知識還未理解，就早早地收場進入例題教學環節，例題教學的實際效果就會大打折扣，接下來的例題教學很可能就成為教師一個人的“獨角戲”了。

總之，數學例題教學要求例題新穎、經典、開放、富有啟發性，例題教學要遵循梯度性設計，要重視和加強過程性教學，啟發式教學，開放式教學，并兼顧把握好課堂教學中例題教學的分量和教學時機，充分發揮例題的教學功能與價值，從而大大提高數學課堂教學質量。