數形互助相約函數淺識

摘 要： 數形結合是中學數學的重要思想，是解題的重要思想和方法，解題時用“數”與“形”的相互轉化，把問題化難為易、化繁為簡，使解題事半功倍。本文例舉幾例數形結合在函數中的應用。

關鍵詞： 二次函數 函數圖像 數形結合 應用

數形結合是通過“數”與“形”的相互轉化，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化；數形結合是用來解決數學問題的重要思想，近幾年來各地中考高考對考生數形結合能力的考查越來越多，同學們在解題時用“數”與“形”的相互轉化，把問題化難為易化繁為簡，達到了解決問題的目的，也收到了事半功倍的效果，下面我舉幾例研究數形結合在函數中的應用。

一、以“形”幫“數”

我們解題時，常常發現大量“數”的問題中隱含著“形”，我們可以將抽象、復雜的數量關系形象、直觀地揭示出來，以達到“形”幫“數”的目的，讓理性的“數”多一些感覺.

例1：下面是一個二次函數y與x的對應關系表：

（1）該拋物線對稱軸的直線方程是?搖?搖?搖?搖.

（2）若拋物線與x軸交于點A、B（A在B的左邊）與y軸交于點C，求S.

解析：（如圖1）

解法（1）：任取三組表中x、y的對應值求表達式，可得y=x-2x-3，從而得到對稱軸為直線x=1.

（2）由y=x-2x-3得，拋物線與x軸的兩個交點A（-1，0），B（3，0），與y軸的交點C（0，-3），∴AB=4，∴S=6.

方法二：（1）觀察知：函數圖像過（0，-3），（2-3），這兩點關于對稱軸對稱，可得對稱軸為直線x=1.

（2）由表格知A（-1，0），C（0，-3）再加上對稱軸x=1可得B（3，0）， ∴AB=4，∴S=6.

二、以“數”促“形”

我們解題時會發現圖形中常常體現著數的關系，運用“數”的規律，我們可以尋找出處理“形”的方法，來達到“以數促形”的目的，讓感性的“形”多一些理性.

例2：已知二次函數y=ax+bx+c的圖像如圖2，下列結論：

①a+b+c＜0②a-b+c＞0 ③abc＞0④c＞-3b

正確的個數是（ ）

（A）4 （B）3 （C）2 （D）1

仔細觀察拋物線的位置走向，關鍵點的位置坐標，以及表達式中各系數與圖形性質對應關系，再做出判斷.

觀察圖知，當x=-1和x=1時，分別有y＞0和y＜0，即有a-b+c＞0和a+b+c＜0，可得①、②正確.

由拋物線開口向下知a＜0

對稱軸x=-=-1 ∴b=2a

∵對稱軸在y軸的左側， ∴a、b同號，∴b＜0.

又由于拋物線和y軸的交點在x軸的上方，所以c＞0，則abc＞0，即③正確.

將b=2a代入a+b+c＜0中可得3a+c＜0，所以c＜-3a.

故④不正確，所以應該選B.

三、“數”“形”互轉

依形判數，以數助形，直觀形象，用運動變化的觀點去觀察分析，運用圖形來觀察圖形的變化規律，根據圖形的幾何性質尋找待定系數所滿足的條件，列方程或方程組來求解.

例3：如果方程x+2ax+k=0的兩個實根在方程x+2ax+a-4=0的兩實根之間，試求a與k應滿足的關系式．

分析：我們可聯想對應的二次函數y=x+2ax+k，y=x+2ax+a-4的草圖．這兩個函數圖像都是開口向上，形狀相同且有公共對稱軸的拋物線（如圖3）．要使方程x+2ax+k=0的兩實根在方程x+2ax+a-4=0的兩實根之間，則對應的函數圖像y與x軸的交點應在函數圖像y與x軸的交點之內，它等價于拋物線y的頂點縱坐標不大于零且大于拋物線y的頂點縱坐標．由配方法可知y與y的頂點分別為：P（-a， -a+k）， P（-a， -a+a-4），故-a+a-4<-a+k≤0.可求出a與k應滿足的關系式為：a-4

四、利用函數圖像解決方程的近似解或解的個數問題

通過構造函數，把求方程解的問題，轉化為兩函數圖像的交點問題.

例4：解方程3=2-x

分析：由方程兩邊的表達式，我們可以聯想起函數y=3與y=2-x，作出這兩個函數的圖像（如圖4），這兩個函數圖像交點的橫坐標為方程的近似解，可以看出方程的近似解為x≈0.4．

例5：設方程|x-1|=k+1，試討論k取不同范圍的值時其不同解的個數的情況．

分析：我們可把這個問題轉化為確定函數y=|x-1|與y=k+1圖像交點個數的情況，因函數y=k+1表示平行于x軸的所有直線，從圖像（如圖5）可以直觀看出：

①當k<-1時，y與y沒有交點，這時原方程無解;

②當k=-1時，y與y有兩個交點，原方程有兩個不同的解;

③當-1

④當k=0時，y與y有三個交點，原方程不同解的個數有三個；

⑤當k>0時，y與y有兩個交點，原方程不同解的個數有兩個．

參考文獻：

［１］新人教版八年級數學.高中數學新課程改革.

注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”