數(shù)形互助相約函數(shù)淺識(shí)

摘 要： 數(shù)形結(jié)合是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要思想，是解題的重要思想和方法，解題時(shí)用“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化，把問題化難為易、化繁為簡(jiǎn)，使解題事半功倍。本文例舉幾例數(shù)形結(jié)合在函數(shù)中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞： 二次函數(shù) 函數(shù)圖像 數(shù)形結(jié)合 應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合是通過“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化；數(shù)形結(jié)合是用來解決數(shù)學(xué)問題的重要思想，近幾年來各地中考高考對(duì)考生數(shù)形結(jié)合能力的考查越來越多，同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)用“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化，把問題化難為易化繁為簡(jiǎn)，達(dá)到了解決問題的目的，也收到了事半功倍的效果，下面我舉幾例研究數(shù)形結(jié)合在函數(shù)中的應(yīng)用。

一、以“形”幫“數(shù)”

我們解題時(shí)，常常發(fā)現(xiàn)大量“數(shù)”的問題中隱含著“形”，我們可以將抽象、復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系形象、直觀地揭示出來，以達(dá)到“形”幫“數(shù)”的目的，讓理性的“數(shù)”多一些感覺.

例1：下面是一個(gè)二次函數(shù)y與x的對(duì)應(yīng)關(guān)系表：

（1）該拋物線對(duì)稱軸的直線方程是?搖?搖?搖?搖.

（2）若拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B（A在B的左邊）與y軸交于點(diǎn)C，求S.

解析：（如圖1）

解法（1）：任取三組表中x、y的對(duì)應(yīng)值求表達(dá)式，可得y=x-2x-3，從而得到對(duì)稱軸為直線x=1.

（2）由y=x-2x-3得，拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），與y軸的交點(diǎn)C（0，-3），∴AB=4，∴S=6.

方法二：（1）觀察知：函數(shù)圖像過（0，-3），（2-3），這兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可得對(duì)稱軸為直線x=1.

（2）由表格知A（-1，0），C（0，-3）再加上對(duì)稱軸x=1可得B（3，0）， ∴AB=4，∴S=6.

二、以“數(shù)”促“形”

我們解題時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)圖形中常常體現(xiàn)著數(shù)的關(guān)系，運(yùn)用“數(shù)”的規(guī)律，我們可以尋找出處理“形”的方法，來達(dá)到“以數(shù)促形”的目的，讓感性的“形”多一些理性.

例2：已知二次函數(shù)y=ax+bx+c的圖像如圖2，下列結(jié)論：

①a+b+c＜0②a-b+c＞0 ③abc＞0④c＞-3b

正確的個(gè)數(shù)是（ ）

（A）4 （B）3 （C）2 （D）1

仔細(xì)觀察拋物線的位置走向，關(guān)鍵點(diǎn)的位置坐標(biāo)，以及表達(dá)式中各系數(shù)與圖形性質(zhì)對(duì)應(yīng)關(guān)系，再做出判斷.

觀察圖知，當(dāng)x=-1和x=1時(shí)，分別有y＞0和y＜0，即有a-b+c＞0和a+b+c＜0，可得①、②正確.

由拋物線開口向下知a＜0

對(duì)稱軸x=-=-1 ∴b=2a

∵對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)， ∴a、b同號(hào)，∴b＜0.

又由于拋物線和y軸的交點(diǎn)在x軸的上方，所以c＞0，則abc＞0，即③正確.

將b=2a代入a+b+c＜0中可得3a+c＜0，所以c＜-3a.

故④不正確，所以應(yīng)該選B.

三、“數(shù)”“形”互轉(zhuǎn)

依形判數(shù)，以數(shù)助形，直觀形象，用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)去觀察分析，運(yùn)用圖形來觀察圖形的變化規(guī)律，根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)尋找待定系數(shù)所滿足的條件，列方程或方程組來求解.

例3：如果方程x+2ax+k=0的兩個(gè)實(shí)根在方程x+2ax+a-4=0的兩實(shí)根之間，試求a與k應(yīng)滿足的關(guān)系式．

分析：我們可聯(lián)想對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)y=x+2ax+k，y=x+2ax+a-4的草圖．這兩個(gè)函數(shù)圖像都是開口向上，形狀相同且有公共對(duì)稱軸的拋物線（如圖3）．要使方程x+2ax+k=0的兩實(shí)根在方程x+2ax+a-4=0的兩實(shí)根之間，則對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像y與x軸的交點(diǎn)應(yīng)在函數(shù)圖像y與x軸的交點(diǎn)之內(nèi)，它等價(jià)于拋物線y的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)不大于零且大于拋物線y的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)．由配方法可知y與y的頂點(diǎn)分別為：P（-a， -a+k）， P（-a， -a+a-4），故-a+a-4<-a+k≤0.可求出a與k應(yīng)滿足的關(guān)系式為：a-4

四、利用函數(shù)圖像解決方程的近似解或解的個(gè)數(shù)問題

通過構(gòu)造函數(shù)，把求方程解的問題，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題.

例4：解方程3=2-x

分析：由方程兩邊的表達(dá)式，我們可以聯(lián)想起函數(shù)y=3與y=2-x，作出這兩個(gè)函數(shù)的圖像（如圖4），這兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為方程的近似解，可以看出方程的近似解為x≈0.4．

例5：設(shè)方程|x-1|=k+1，試討論k取不同范圍的值時(shí)其不同解的個(gè)數(shù)的情況．

分析：我們可把這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為確定函數(shù)y=|x-1|與y=k+1圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況，因函數(shù)y=k+1表示平行于x軸的所有直線，從圖像（如圖5）可以直觀看出：

①當(dāng)k<-1時(shí)，y與y沒有交點(diǎn)，這時(shí)原方程無解;

②當(dāng)k=-1時(shí)，y與y有兩個(gè)交點(diǎn)，原方程有兩個(gè)不同的解;

③當(dāng)-1

④當(dāng)k=0時(shí)，y與y有三個(gè)交點(diǎn)，原方程不同解的個(gè)數(shù)有三個(gè)；

⑤當(dāng)k>0時(shí)，y與y有兩個(gè)交點(diǎn)，原方程不同解的個(gè)數(shù)有兩個(gè)．

參考文獻(xiàn)：

［１］新人教版八年級(jí)數(shù)學(xué).高中數(shù)學(xué)新課程改革.

注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請(qǐng)以PDF格式閱讀”