浙江省高等數(shù)學(xué)競賽題的幾何思考

摘 要： 本文從幾何的角度解答2011年浙江省高等數(shù)學(xué)競賽（文專類）的試題。由函數(shù)滿足的不等式推廣得出兩條函數(shù)曲線的公切線， 并運(yùn)用公切線簡潔地解答了導(dǎo)數(shù)計(jì)算問題， 另外運(yùn)用曲線凹凸性和拋物線極值研究了其它問題。

關(guān)鍵詞： 高等數(shù)學(xué)競賽 凹凸性 公切線

對(duì)文科的學(xué)生，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的應(yīng)更多放在對(duì)數(shù)學(xué)文化的認(rèn)同與理解方面，而對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)及方法的掌握要求與熟練程度，均不應(yīng)列為重點(diǎn).無論是弘揚(yáng)數(shù)學(xué)文化，還是增進(jìn)數(shù)學(xué)教養(yǎng)，都應(yīng)該是也只能是學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中實(shí)現(xiàn)的，是必須以認(rèn)真學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、嚴(yán)格加強(qiáng)數(shù)學(xué)訓(xùn)練作為載體來完成的［１］.在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，幾何方法在理解概念和尋求計(jì)算（證明）思路上具有不可替代的作用.

在2011年浙江省高等數(shù)學(xué)競賽（文專類）試題中有大量的問題如果采用幾何的方法，可以很容易尋求到思路求出結(jié)果來.

1.曲線的公切線

2011年浙江省高等數(shù)學(xué)競賽（文專類）的一道試題:設(shè)f可導(dǎo)，且x≤f（x）≤（x+2），求f′（1）.這道題目比較簡單，首先想到的用兩邊夾定理和單側(cè)導(dǎo)數(shù)來做.

解:因?yàn)?≤f（1）≤（1+1）=1，所以f（1）=1.又x-1≤f（x）-f（1）≤（x-1）（x+1）.當(dāng)x>1時(shí)，1≤≤（x+1）→1;當(dāng)x<1時(shí)，1≥≥（x+1）→1。因此，f′（1）=1，f′（1）=1，從而f′（1）=1.

評(píng)注: 從幾何觀點(diǎn)來看，就是y=f（x）夾在曲線y=（x+1）和直線y=x之間，而拋物線y=（x+1）和直線y=x在（1，1）處相切，因此曲線y=f（x）在（1，1）處的切線正好是直線y=x.

事實(shí)上，這個(gè)結(jié)論還可以推廣如下: 曲線y=g（x）在（x，y）處的切線是y=ax+b，而曲線y=f（x）夾在曲線y=g（x）和直線y=ax+b之間，則y=f（x）在（x，y）處的切線就是y=ax+b，即f′（x）=a.此時(shí)稱曲線y=f（x）和曲線y=g（x）在（x，y）處具有公切線y=ax+b.

文專類的試題中還有一道題目可以用此方法方便求解:設(shè)狄利克雷函數(shù)D（x）=1，x為有理數(shù)，0，為無理數(shù)f（x）=xD（x），問：f′（0）是否存在? 若存在，請(qǐng)求其值.

解: 因?yàn)?≤f（x）≤x，而y=x和直線y=0在點(diǎn)（0，0）相切，利用上述推廣后的結(jié)論可得f（x）=xD（x）在（0，0）的切線就是y=0，即f′（0）=0.

評(píng)注:這種幾何方法既直觀又簡潔.當(dāng)然也可以用導(dǎo)數(shù)的定義直接計(jì)算.

另解（用導(dǎo)數(shù)定義）: f（0）=0D（0）=0.

f′（0）===xD（x）

因?yàn)閤=0，|D（x）|≤1，所以f′（0）=0.證明中主要運(yùn)用無窮小與有界函數(shù)之積為無窮小這一性質(zhì).

2.曲線的凹凸性

凹凸性是曲線的一種重要幾何特征，根據(jù)凹凸性可以證明很多不等式和等式問題［２］.

2011年文專類競賽壓軸題: 設(shè)f（x）≠常數(shù)，若存在常數(shù)a∈（0，1），對(duì)x，y∈R有f=af（x）+（1-a）f（y），求a的值.

解: 取x=-y可得

f（0）=af（x）+（1-a）f（-x）

因?yàn)閤與y地位對(duì)稱，也可得

f（0）=（1-a）f（x）+af（-x）.

兩式左右分別做和與差就有

2f（0）=f（x）+f（-x）0=（2a-1）f（x）+（1-2a）f（-x）

如果a≠，則

2f（0）=f（x）+f（-x）0=f（x）-f（-x）

于是f（x）=f（0），這與題設(shè)f（x）≠常數(shù)矛盾.因此a=.

評(píng)注:這是一個(gè)函數(shù)方程問題，來源于文獻(xiàn)［3］中函數(shù)方程一節(jié).從幾何觀點(diǎn)來看，就是說曲線y=f（x）在任何兩點(diǎn)連成的弦中點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于弧中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，因此這條曲線只能是直線.或者由曲線的凹凸性可知，曲線y=f（x）既是凹的又是凸的，因此這條曲線是直線.

3.拋物線的最值

拋物線是中學(xué)階段重點(diǎn)學(xué)習(xí)的一元函數(shù)，其各種幾何特性對(duì)于大學(xué)生而言都是非常熟悉的，運(yùn)用拋物線的幾何特征往往可以解決一些比較困難的問題.

2011年文專類的一道計(jì)算題:［x］表示不大于x的最大整數(shù)，求?蘩［x-x+1]dx。

評(píng)注:取整函數(shù)對(duì)于文科生不是難點(diǎn)，可以通過一些特殊的數(shù)字找出規(guī)律.但是取整函數(shù)與拋物線y=x-x+1復(fù)合后的取值就是難點(diǎn)了.此時(shí)，運(yùn)用拋物線的圖像可知y=x-x+1開口向上，關(guān)于直線x=-對(duì)稱，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，≤x-x+1<1，當(dāng)x∈0，時(shí)，1≤x-x+1<2，因此［x-x+1]=0，x∈（0，1）1，x∈0，?搖.

接下來將積分區(qū)間分割后積分即可.

文專類的另外一道計(jì)算題也是如此: 已知f（x）=|x-4x-a|在［-2，2］上的最大值為2，求a的值.

評(píng)注:如果直接做的話，因?yàn)槭撬拇味囗?xiàng)式，加上絕對(duì)值后對(duì)文科生來說比較困難.但是令y=x后，可以將問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于拋物線的問題:g（y）=|y-4y-a|，y∈［0，4］，則g（y）在［0，4］上的最大值為2，求a的值.

因?yàn)閔（y）=y-4y-a開口向上，關(guān)于直線y=2對(duì)稱，最小值為-（4+a），所以g（y）=|h（y）|的最大值只可能在y=0，2，4處取到，又g（0）=g（4）=|a|，g（2）=|4+a|.于是2=max{|a|，|4+a|}，如果a≥0，則上式無解，若a<0，可得a=-2.

另外一種做法: 令h（x）=x-4x-a，則h′（x）=4x-8x.令h′（x）=0得到駐點(diǎn)，x=0，x=±，又f（x）在［-2，2］連續(xù)，則f（x）只可能在x=0，±，±2處取到最大值，則2=max{|a|，|4+a|}.

高等數(shù)學(xué)（微積分）對(duì)文科學(xué)生來說，一直是一門學(xué)習(xí)難度較大的科目，一般教師把教學(xué)重點(diǎn)放在對(duì)基本概念的理解，以及一些簡單應(yīng)用上，對(duì)于較復(fù)雜的計(jì)算和邏輯證明是不做要求的［４］.浙江省大學(xué)生高等數(shù)學(xué)競賽旨在提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，推動(dòng)大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)體系、教學(xué)內(nèi)容和方法的改革［5］.文科生的基礎(chǔ)相對(duì)薄弱，上述問題的分析過程對(duì)高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)有所啟示: 在概念的引導(dǎo)和計(jì)算方法的思考方面結(jié)合幾何直觀會(huì)得出清晰的思路，化難為易.

參考文獻(xiàn)：

［1］李大潛.漫談大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)與方法［J］.中國大學(xué)教學(xué)，2009，（1）.

［2］盧興江，金蒙偉主編.高等數(shù)學(xué)競賽教程（第四版）［M］.杭州:浙江大學(xué)出版社，2011.

［3］裴禮文編.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法［M］.北京:高等教育出版社，1993.

［4］楊月英，馬萍.2007年浙江省高等數(shù)學(xué)（微積分）競賽試題評(píng)析［J］.考試周刊，2008，（1）.

［5］浙江省高校高等數(shù)學(xué)教學(xué)研究會(huì).浙江省大學(xué)生高等數(shù)學(xué)（微積分）競賽章程，2010.8.

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