挖掘問題內涵,凸顯數學本質

【案例背景】

在校本教研活動中，我參與了一位老師《平行四邊形復習》的磨課和展示課的教學過程。其中一道例題的教學，給了我許多啟示，現整理一下與大家一同分享。

【例題】

如圖，在ABCD中，對角線AC與BD交于O點，已知E、F是AC上的點，連接DE、EB、DF、FB，請你添加一個條件，使四邊形BFDE是平行四邊形，并加以證明。

【磨課實錄】

生1：添加OE=OF

師生一起寫出該條件下的證明過程：

∵在?荀ABCD中，OB=OD（平行四邊形的對角線互相平分）

又∵OE=OF

∴四邊形BFDE是平行四邊形（對角線相等的四邊形是平行四邊形）

師：還有其他添加條件的方法嗎？

生2：△AED≌△CFB

師生一起寫證法：

∵△AED≌△CFB

∴DE=BF，∠AED=∠CFB

∴∠DEF=∠BFE

∴DE∥BF

∴四邊形BFDE是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）

師：還有其他添加條件的方法嗎？

生3：△AEB≌△CFD

師：這種方法與△AED≌△CFB類似，還有其他方法嗎？

生4：AE=CF

師生一起寫出該條件下的證明過程：

∵在?荀ABCD中，AD=BC，AD∥BC

∴∠DAE=∠BCF

又∵AE=CF

∵△AED≌△CFB（SAS）（后部分同生2證法）

生5：點E、F分別是OA和OC的中點。

師：同學們看一下，這里添加的是一個條件嗎?

眾生：是。

師：同學們再仔細看看，這里用到了“分別”兩個字，應該是幾個條件？

眾生：兩個。

師：那還有其他方法嗎？

生6：∠ADE=∠CBF

師生一起寫出證明過程，然后進入下一題的講解……

【聽磨課的感悟與反思】

在教師講課的過程中，我在想，三角形全等，可以作為一個條件嗎？如果把“點E、F分別是OA和OC的中點”理解為兩個條件的話，要保證三角形全等需要滿足的條件至少要三個呢？教師沒有意識到添加的條件AE=CF，其實就是使△AED≌△CFB全等的條件。同樣的，添加∠ADE=∠CBF也是保證使△AED≌△CFB全等的條件。在教學過程中，師生都能接受把△AED≌△CFB和△AEB≌△CFD作為一個條件，卻沒想到添加的條件，只要滿足△AED≌△CFB和△AEB≌△CFD即可。其實，如果教師事先要是把握了這一點的話，當學生提出“△AED≌△CFB”這一條件時，就可以引導學生朝著只要能保證三角形全等，從而去尋找弱化的條件，比毫無目的的“還有其他方法嗎？”的引導要省時省事得多。課后我與上課教師交流了自己的想法。

【展示課實錄】

生1：添加OE=OF

師生一起寫出該條件下的證明過程：

∵在?荀ABCD中，OB=OD（平行四邊形的對角線互相平分）

又∵OE=OF

∴四邊形BFDE是平行四邊形（對角線相等的四邊形是平行四邊形）

師：還有其他添加條件的方法嗎？

生2：∠ADE=∠CBF（寫成∠1與∠2）

師生一起寫證明過程，先由ASA證△AED≌△CFB，得到AE=CF，從而有OE=OF，回到上一題的證法。

師引導：∠1=∠2成立，還能加哪些角？

生3：∠DAE=∠BCF（寫成∠3與∠4）

（證法類似于上題，故沒寫過程）

師引導：這些都是用對角線互相平分來證，有其他方法嗎？

生4：DE∥FB

師生一起先證△DEO≌△BFO（AAS），再證對角線相等的四邊形是平行四邊形。

師總結：生1用了OE=OF，能否直接加AE=CF，你能判斷此時成立嗎？

生5：AO-AE=OE，CO-CF=OF，所以OE=OF……

師：再看，加∠1=∠2，∠3=∠4都行，還能加哪些角的條件？

眾生：∠CDF=∠ABE（師標上數字，寫成∠5=∠6）

師：由DE∥FB，還能添什么條件？

眾生：DF∥EB

師總結：解條件開放題的一般思路：從結論出發，看條件有什么，缺什么就添什么？

然后進入下一題的講解……

【課后點評】

展示課后教研員吳老師點評，本題所添加的條件，其實應該都是關于O點對稱的，這源于平行四邊形的本質——中心對稱圖形，教師在課堂上其實不必講那么多添加的方法，因為添加的方法還遠不只這幾種，重要的是讓學生知道它的數學本質……我在第一次聽課時，把它的數學本質認為是只要滿足△AED≌△CFB和△AEB≌△CFD即可，還為自己的想法得意洋洋了許久，哪里知道，我是“五十步笑百步”。

一聽課老師指出：教師在課堂上希望學生能用除了“對角線相等的四邊形是平行四邊形”以外的方法去證明，而實際上，用這種方法去證是最簡單的，所以學生已經用了最優的方法，而教師還想要用不同的判定方法，其實只要去掉圖形中的對角線BD，采用不同判定方法的目的就容易達到了。

還有老師說，從中心對稱的角度來說，添加DE=BF也行，但是如果只說添加DE=BF，實際上又是不行的，，因為在AC上，到B點的距離等于DE的點可能有兩個，而不能保證它與DE是關于點O中心對稱的……

【聽點評后的感悟與反思】

（1）對比自己與其他聽課老師的想法，我發現，我就是那只“井底之蛙”，平常我總是對自己所上的課，自己所做的事很樂觀，自我欣賞有余，自我批評不足，偶爾的課后反思也往往只基于經驗，缺乏針對性，難以探及深層問題。美國學者波斯納認為：“沒有反思的經驗是狹隘的經驗，至多只能成為膚淺的知識。如果教師僅滿足于獲得的經驗而不對經驗進行深入的思考，那么他的教學水平的發展將大受限制，甚至有所滑坡。”波斯納還提出了一個教師成長的公式：“教師成長=經驗+反思”。因此教師要經常反思自己的教育教學，不斷地對其進行計劃、評價、反饋和調節。反思可以通過以下兩種方式進行：一是自我反思；二是與他人就共同性問題進行合作性反思，通過尋求有共同研究志趣的人員合作，實現理論與實踐的互補，通過協作提高個人的教學與科研能力。

（2）通過這節課的反思，我對教師如何使用教材有了新的認識。教師要吃透教材，在上課之前，應該充分地鉆研教材，分析問題設計的意圖，思考通過教學讓學生掌握什么知識。教師如果拿教材來教，連自己都沒弄清楚，這樣的教學肯定非常膚淺，因此教學設計時要注重抓住教學重點，讓學生透過現象看本質，領悟解題過程中的思想方法，引導學生把其中的數學思想方法提煉出來，使學生學會數學地思維，從數學思想方法的高度去掌握知識，運用知識，經歷發現問題的數學本質的過程，提高數學素養。一節好的數學課有時不在教材上，也不在課程標準上，而是在教師的心里，它特別需要教師的再創造，將教材內容變成有利于學生學習和思考的教學內容。好的課堂需要一個好問題為載體，好問題有時候并不是越復雜越好，應該是那種不失去數學本質的簡單問題，做到既沒失去數學思維的本質，又不縮小思維的空間，同時還有許多規律性的程式蘊含其中。對教育教學的本質與精髓從容把握，對教材的理解和掌握高屋建瓴，對學生的心理和學習障礙洞察了然，對科學的教育教學方法運用自如，這樣的課才是好課，這樣的教師才是好教師。

參考文獻：

［1］傅道春.教師的成長與發展［M］.北京：北京教育科學出版社，2001.

［2］吳立建.“數學好玩”（網絡文章）.浙江省樂清市教育局教研室.

注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”