對高次方的個位數字規律探索

七年級北師大版數學教科書的下冊的《整式》一章復習題中有這樣一道題：

求（2-1）（2+1）（2+1）（2+1）（2+1）…（2+1）+1的個位數字.

此題是留給學生課后思考的，許多學生利用平方差公式求解得到2的64次方，但個位數字是多少卻計算不出來，有的學生利用計算器得到它的個位數字是6.我們已經算到2的64次方，要求2的64次方的個位數字比較困難，有的學生問有沒有一種更簡單的方法呢？我們今天就對2的高次方的個位數字的規律進行探討：

2=2 2=42=82=16

2=322=64 2=128 2=256

從上我們觀察出來：2的n次方的個位數字有規律性，指數是4次方后循環，可以歸納為：用2的指數n整除4后看余數，如果余數是1，2個位數字是2；如果余數是2，2個位數字是4；如果余數是3，2個位數字是8；如果余數是0，2個位數字是6.用數學式子表示為:

2=（ ）2 2=（ ）4 2=（ ）82=（ ）6

說明：小括號內是十位以上數字.

計算2的64次方的個位數字，用64整除4余數為0，對照上面可知2的64次方的個位數字是6.

問題:（1）2的任何次方的個位數字可以利用上述規律求出嗎？

（2）利用上述方法可以探索出以數字1—9為底的n次方的個位數字的規律性嗎?同學們在下面去思考和完成.

我們將以數字1—9為底的n次方的個位數字的探索規律歸納如下.

1.數字2、3、7、8為底的n次方的個位數字的探討

（1）以2為底n次方的個位數字規律探討不再重復.

（2）3=33=9 3=27 3=81

3=243 3=7293=21873=6561

……

3=33=93=73=1

說明:用3的指數n整除4后看余數，如果余數是1，3個位數字3；如果余數是2，3個位數字是9；如果余數是3，3個位數字是7；如果余數是0，3個位數字是1.

（3）7=7 7=497=343 7=2401

7=16807 7=1176497=8234437=5764101

……

7=?搖?搖?搖?搖77=?搖?搖?搖?搖97=?搖?搖?搖?搖37=?搖?搖?搖?搖1

說明:用7的指數n整除4后看余數，如果余數是1，7個位數字是7；如果余數是2，7個位數字是9；如果余數是3，7個位數字是3；如果余數是0，7個位數字是1.

（4）8=8 8=64 8=512 8=4096

8=32768 8=262144 8=2097152 8=16777216

……

8=?搖?搖?搖?搖88=?搖?搖?搖?搖48=?搖?搖?搖?搖28=?搖?搖?搖?搖6

說明:用8的指數n整除4后看余數，如果余數是1，8個位數字是8；如果余數是2，8個位數字是4；如果余數是3，8個位數字是2；如果余數是0，8個位數字是6.

利用上述探索的規律可計算這些數字的任何正整數次方的結果的個位數字，舉例說明.

例1：2個位數字是多少呢？2的個位數字是多少呢？

解：2005÷4=501……1

可得：2=2，可知2的個位數字是2.

2000÷4=500

可得：2=2可知2的個位數字是6.

例2：2-1的個位數字是多少？

解：2=2，2的個位數字是4.

2-1的個位數字是3.

例3：3的個位數字是多少？

解：1999÷4=499……3

3=3，所以3的個位數字是3.

例4：7+2003的個位數字是多少？

解：7=7，結果的個位數字為3，

可知：7+2003的個位數字應為6.

2.數字4、9為底的n次方的個位數字的探討

（1）4=4 4=16

4=64 4=256

4=10244=4096

……

由此可知：4=?搖?搖?搖?搖4 4=?搖?搖?搖?搖6

說明:4的n的個位數字是兩次方后循環，可歸納為:用4的指數除以2，如果余數為1，4的n次方的個位數字是4;如果余數為0，4的n次方的個位數字是6.

（2）9=9 9=81

9=7299=6561

9=59049 9= 531441

……

由此可知：9=?搖?搖?搖?搖9 9=?搖?搖?搖?搖1

說明:9的n的個位數字是2次方后循環，可歸納為:用9的指數除以2，如果余數為1，9的n次方的個位數字是9;如果余數為0，9的n次方的個位數字是1.

例:求9+5的個位數字是多少?4-3的個位數字是多少?

解:2008÷2=1004，9的2008次方的個位數字是1，顯然

9+5的個位數字是6.

587÷2=294……1，2的個位數字4，

顯然2-3的個位數字是1.

3.數字1、5、6為底的n次方的個位數字的探討

（1）1=11=11=11=1

……

由此可知：1的結果的個位數字是1.

（2）5=55=255=75 5=625

……

由此可知：5的結果的個位數字是5.

（3）6=66=366=216 6=1296

……

由此可知：6的結果的個位數字是6.

歸納起來：數字1、5、6的任何正整數次方的個位數字都是它本身.

我們探討了自然數字1—9的正整數次方的個位數字的規律性，由此我們還可以進一步探討.

4.底數是兩位數或兩位以上的數的n次方的個位數字的規律探討

底數是兩位數或兩位以上的數的n次方的個位數字的規律:只考慮底數的個位數字的n次方就可以，下面舉例說明.

如：求17的個位數字是多少？

分析：底數17的個位是7，只要求出7的個位數字即可，而7=7，由7的n次方的個位數字的規律探索表可得是9.

解：2006除以4得商是501，余數是2.

17=17 . 7的個位數字是9，所以17的2006次方的個位數字是9.

問題：（1）求53的個位數字？

（2）求39+6的個位數字？

（3）求256的個位數字?

上面幾道題留給大家思考.

注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”