關于敏感性問題調查結果的分析

摘 要： 全概率公式是概率論中的一個基本的公式，它的應用是初學概率論者的難點之一。本文通過應用全概率公式來處理敏感性問題的調查結果，體會全概率公式的魅力。并試圖用全概率公式解決瑪麗蓮問題。

關鍵詞： 全概率公式 概率 瑪麗蓮

1.基本概念

全概率公式的定義：設B，B，…，B為樣本空間Ω的一個分割，即B，B，…，B互不相容，且B=Ω，如果P（B）>0， i=1， 2， …， n，則對任一事件A?奐Ω，有P（A）=P（B）P（A|B）。我們也稱B，B，…，B為一個完備事件組。

全概率公式是概率論中的一個重要公式，它提供了計算復雜事件概率的一條有效途徑，使一個復雜事件的概率計算問題化繁就簡。

特別地，n=2時，B，B互斥且對立，即B=B，B=，得到全概率公式的最簡單形式：若0

2.問題引入

學生閱讀黃色書刊或觀看黃色影像會影響其身心健康發展，對這類敏感性問題的調查，涉及到個人隱私，不便直接展開正面調查，也很難獲得真實信息?，F設計一個調查方案，利用全概率公式，從調查數據中估計出學生閱讀黃色書刊和觀察黃色影像的比率p。

像這類敏感性問題的調查是社會調查的一類，如一群人中參加賭博的比率、吸毒人的比率、經營者中偷稅漏稅戶的比率、學生中考試作弊的比率，等等。

對敏感性問題的調查方案，關鍵要使被調查者愿意作出真實回答又能為其保守秘密。一旦調查方案設計有誤，被調查者就會拒絕配合，產生逆反心理，所得的數據將失去真實性。經過多年的研究和實踐，一些心理學家設計了一種調查方案，在這個方案中，被調查者只需回答兩個問題中的一個問題，而且只需回答“是”或“否”。

問題Q：你的生日是否在7月1日之前？

問題Q：你是否看過黃色書刊或影像？

這個調查方案看似簡單，但為了消除被調查者的顧慮，使被調查者確信他（她）參加這次調查不會泄漏個人秘密，在操作上有以下關鍵點：

（1）被調查者在沒有旁人的情況下，獨自一人回答。

（2）被調查者從一個罐子（罐子中只有紅色球和白色球）中隨機抽出一只球，看過顏色后即放回。若抽到白球，則回答問題Q；若抽到紅球，則回答問題Q。

被調查者無論回答問題Q或Q只需在下面答卷上認可的方框內劃鉤，然后把答卷放入一個密封的投票箱內。

這種調查方法，主要在于旁人無法知道被調查者回答的問題是Q還是Q，由此可以極大地消除被調查者的顧慮。

3.問題分析

現在的問題是如何分析調查的結果。

當然，我們對問題Q不感興趣。

首先，我們設有n張答卷（n較大，譬如1 000張以上），其中有k張回答“是”。而我們又無法知道這k張回答“是”的答卷中，有多少張是回答問題Q，多少張是回答問題Q。但有兩個信息我們是預先知道的：

（1）在參加人數較多的場合，任選一人，其生日在7月1日之前的概率是0.5。

（2）罐中紅球的比率b已知?，F根據這4個數據去求p。

此時，“回答問題Q”＝“從罐中摸得白球”＝B，“回答問題Q”＝“從罐中摸得紅球”＝，記A＝“答卷回答為是”。由全概率公式，得P（A）＝P（B）P（A|B）+P（）P（A|），所以，將P（）=b， P（B）=1-b，P（A|）=p，P（A|B）=0.5代入上式右邊，而式子左邊用頻率代替，得=0.5（1-b）+pb，由此得p=，因為我們用頻率代替了概率P（A），所以從上式得到的是p的估計。

4.應用舉例

例1. 甲箱中有1只黑球3只白球，乙箱有2只黑球2只白球，從兩箱中各取1只球放在一起，再從中任取1只球，問該球是黑球的概率是多少？

分析：這是一個需用全概率公式解決的題目。記C＝“該球是黑球”，A＝“從甲箱中取出的一球為白球”，B＝“從乙箱中取出的一球為白球”，則＝“從甲箱中取出的一球為黑球”，＝“從乙箱中取出的一球為黑球”，于是，對事件C來講，事件組AB，A，B，構成一個完備事件組，由全概率公式，可得P（C）＝P（AB）P（C|AB）+P（A）P（C|A）+P（B）P（C|B）＋P（）P（C|）。

其中，P（AB）=×=，P（A）=××，P（B）=×=，P（）=×=，而P（C|AB）=0，P（C|A）=，P（C|B）=，P（C|）=1。代入，得P（C）＝.

例2．瑪麗蓮之門

在1990年第9期的ParadeMaganize雜志上，提出了這樣一個趣味題，也就是被稱之為“瑪麗蓮問題”的有獎競猜題目。題目如下:有三扇門，其中一扇門后面放有一輛汽車，另外兩扇門后面是空的。主持人讓你隨意選定一扇門，確認后打開，門后面的東西就歸你。假定你選中1號門，先不打開1號門，現在主持人打開另外兩扇門，假定主持人打開3號門，發現是空的。現在主持人問你，為了有更大的機會選中汽車，你是否愿意換2號門?

分析：問題歸結為，換門之后的中獎概率多大？是不是比換門前中獎的概率要大？當然，換門之前的中獎概率是，無可辯駁。但換門后的中獎概率卻爭議較大的，據說最早曾在美國公眾中引起巨大爭論。這里，用全概率公式給出一種解釋。我們來看換門后的中獎概率。顯然。換門后應包含換門前的信息。記A＝“換門后中獎”，B＝“選擇第i號門”，按照題目所給條件，不妨設汽車在2號門。P（A|B）＝（這里，是換門前的選擇），P（A|B）＝1，P（A|B）＝0，由全概率公式，得P（A）=P（B）P（A|B）=1×+×1+×0=。這表明，換門，即重新選擇后中獎的概率為，比不換的中獎概率要大。事實上，主持人打開一扇門后，參與者已獲得了更多的信息，再做重新選擇，當然比先前有利。

參考文獻：

［1］茆詩松.概率論與數理統計教程［M］.高等教育出版社，2005.

［2］趙志蓮.基于SAS編程分析瑪麗蓮問題［J］.統計與咨詢，2006.6.

注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”