用圓錐曲線的極坐標方程解高考題與傳統方法之比較

摘 要： 本文介紹了圓錐曲線的極坐標方程在解決平面解析幾何中圓錐曲線問題時的一些優勢，并通過近兩年的高考試題展示了這種優勢。

關鍵詞： 圓錐曲線的極坐標方程 高考題 圓錐曲線問題

如果能夠熟練地應用圓錐曲線的極坐標方程解一些高考試題，有時會比傳統的方法更方便，解題速度更快，為考生節約寶貴的考試時間。本文探討圓錐曲線的極坐標方程在解決一些高考題方面的優勢，希望對正在備考的同學有所幫助。

一、圓錐曲線的極坐標方程

取定點F為極點，以垂直于定直線l的方向為極軸的正方向，建立極坐標系.如圖1，設P（ρ，θ）是曲線上任意一點，由=e，得=e，

故所求軌跡的極坐標方程是ρ＝.

當0

當e=1時，方程ρ=表示拋物線；

當e>1時，方程ρ=表示雙曲線的右支（ρ≥0），如果允許ρ取負值，則方程表示整個雙曲線；

在極坐標系中，橢圓、拋物線、雙曲線的方程得到了完美統一.

圓錐曲線的統一極坐標方程為:ρ＝.其中P為焦點到相應準線的距離，稱為焦參數.P:拋物線標準方程中一次項系數一半，橢圓與雙曲線中焦點到相應準線的距離.

二、在解高考試題時的應用舉例

1.（2009理12文12）已知橢圓C:+y＝１的右焦點為F，右準線為l，點A∈l，線段AF交C于點B，若=3，則||=（）.

A. B. 2 C.D. 3

解析：如圖２，過點B作BM⊥l于M，并設右準線l與X軸的交點為N，易知FN=1.由題意=3，故|BM|=.又由橢圓的第二定義，得|BF|=#8226;=，∴|AF|=.故選A.

另解：選取右焦點F為極點，由題意知：P＝=1， e=.

設AF與x軸所成的角為θ，由極坐標方程可得FB=ρ＝.

又∵=3，∴FA＝＝=3FB，解之可得cos θ=，即FA==.

2.（2009全國Ⅱ卷理11）已知雙曲線C：-=1（a>0，b>0）的右焦點為F，過F且斜率為的直線交C于A、B兩點，若=4，則C的離心率為（）.

A．B. C.D.

解析：設雙曲線C：-=1的右準線為l，如圖３，過A、B分別作AM⊥l于M，BN⊥l于N， BD⊥AM于D，由直線AB的斜率為，知直線AB的傾斜角為６０°，∴∠BAD=６０°，|AD|=|AB|，由雙曲線的第二定義有|AM|-|BN|=|AD|=（||-||）=|AB|=（||+||）.

又∵=4 ，∴#8226;３｜|=|| ，∴e=.故選A.

另解：選取右焦點F為極點，建立極坐標方程，如圖４可得

AF=ρ=

BF=ρ==

又∵=4，∴=

由直線AB的斜率為，知直線AB的傾斜角為６０°，cos θ=，解得e=.

3.（2010理12文12）已知橢圓C：+=1（a>b>0）的離心率為，過右焦點F且斜率為k（k>0）的直線于C相交于A、B兩點，若＝3。則k=（）.

A.1B. C. D.2

解析：設A（x， y），B（x， y），∵ ＝3，∴y=-3y，又∵e=，設a=2t，c=t，b=t，∴x+4y-4t=0.

直線AB方程為x=sy+t，代入消去x，∴（s+4）y+2sty-t=0，

∴y+y=-，yy=-，-2y=-，-3y=-，解得s=，k=.故選B.

另解：選取右焦點F為極點，建立極坐標方程，如圖5，可得

FB=

FA==

∵＝3，∴=，且e=，

∴解得cos θ=，即k=tan θ=。

4.（2010遼寧理數20）設橢圓C：+=1（a>b>0）的左焦點為F，過點F的直線與橢圓C相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為60°，＝2.

（Ⅰ）求橢圓C的離心率.

解析：設A（x，y），B（x，y），由題意知y＜0，y＞0.

（Ⅰ）直線l的方程為y=（x-c），其中c=.聯立y=（x-c）+=1，得（3a+b）y+2bcy-3b=0，解得y=，y=.

因為＝2，所以-y=2y，即＝2#8226;.

解得離心率e==.

另解：選取右焦點F為極點，建立極坐標方程，如圖６可得

FB=

FA==

∵＝２，∴＝，且cos θ=.

∴解得e=.

近幾年，直線和圓錐曲線，向量和圓錐曲線的綜合問題是高考的熱點命題方向，通過以上四道近兩年的高考題常規的代數方法和用極坐標方程解題的方法的比較，我們可以看出，用極坐標的方法解題，計算量小了很多，并且不容易出錯。特別是在解選擇題的時候，準確度高，避免了復雜的代數運算，的確為解決這一類問題的好方法。

參考文獻：

［1］劉紹學.普通高中課程標準實驗教科書數學選修4-4［M］.人民教育出版社，2006.

［2］李建章.圓錐曲線極坐標方程應用例談［J］.青海教育， 1994，（Z1）.

［3］李泊廷.圓錐曲線極坐標方程的研究性學習［J］.福建中學數學，2010，（2）.

注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”