用圓錐曲線的極坐標(biāo)方程解高考題與傳統(tǒng)方法之比較

摘 要： 本文介紹了圓錐曲線的極坐標(biāo)方程在解決平面解析幾何中圓錐曲線問(wèn)題時(shí)的一些優(yōu)勢(shì)，并通過(guò)近兩年的高考試題展示了這種優(yōu)勢(shì)。

關(guān)鍵詞： 圓錐曲線的極坐標(biāo)方程 高考題 圓錐曲線問(wèn)題

如果能夠熟練地應(yīng)用圓錐曲線的極坐標(biāo)方程解一些高考試題，有時(shí)會(huì)比傳統(tǒng)的方法更方便，解題速度更快，為考生節(jié)約寶貴的考試時(shí)間。本文探討圓錐曲線的極坐標(biāo)方程在解決一些高考題方面的優(yōu)勢(shì)，希望對(duì)正在備考的同學(xué)有所幫助。

一、圓錐曲線的極坐標(biāo)方程

取定點(diǎn)F為極點(diǎn)，以垂直于定直線l的方向?yàn)闃O軸的正方向，建立極坐標(biāo)系.如圖1，設(shè)P（ρ，θ）是曲線上任意一點(diǎn)，由=e，得=e，

故所求軌跡的極坐標(biāo)方程是ρ＝.

當(dāng)0

當(dāng)e=1時(shí)，方程ρ=表示拋物線；

當(dāng)e>1時(shí)，方程ρ=表示雙曲線的右支（ρ≥0），如果允許ρ取負(fù)值，則方程表示整個(gè)雙曲線；

在極坐標(biāo)系中，橢圓、拋物線、雙曲線的方程得到了完美統(tǒng)一.

圓錐曲線的統(tǒng)一極坐標(biāo)方程為:ρ＝.其中P為焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離，稱為焦參數(shù).P:拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項(xiàng)系數(shù)一半，橢圓與雙曲線中焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離.

二、在解高考試題時(shí)的應(yīng)用舉例

1.（2009理12文12）已知橢圓C:+y＝１的右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線為l，點(diǎn)A∈l，線段AF交C于點(diǎn)B，若=3，則||=（）.

A. B. 2 C.D. 3

解析：如圖２，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥l于M，并設(shè)右準(zhǔn)線l與X軸的交點(diǎn)為N，易知FN=1.由題意=3，故|BM|=.又由橢圓的第二定義，得|BF|=#8226;=，∴|AF|=.故選A.

另解：選取右焦點(diǎn)F為極點(diǎn)，由題意知：P＝=1， e=.

設(shè)AF與x軸所成的角為θ，由極坐標(biāo)方程可得FB=ρ＝.

又∵=3，∴FA＝＝=3FB，解之可得cos θ=，即FA==.

2.（2009全國(guó)Ⅱ卷理11）已知雙曲線C：-=1（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為的直線交C于A、B兩點(diǎn)，若=4，則C的離心率為（）.

A．B. C.D.

解析：設(shè)雙曲線C：-=1的右準(zhǔn)線為l，如圖３，過(guò)A、B分別作AM⊥l于M，BN⊥l于N， BD⊥AM于D，由直線AB的斜率為，知直線AB的傾斜角為６０°，∴∠BAD=６０°，|AD|=|AB|，由雙曲線的第二定義有|AM|-|BN|=|AD|=（||-||）=|AB|=（||+||）.

又∵=4 ，∴#8226;３｜|=|| ，∴e=.故選A.

另解：選取右焦點(diǎn)F為極點(diǎn)，建立極坐標(biāo)方程，如圖４可得

AF=ρ=

BF=ρ==

又∵=4，∴=

由直線AB的斜率為，知直線AB的傾斜角為６０°，cos θ=，解得e=.

3.（2010理12文12）已知橢圓C：+=1（a>b>0）的離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)F且斜率為k（k>0）的直線于C相交于A、B兩點(diǎn)，若＝3。則k=（）.

A.1B. C. D.2

解析：設(shè)A（x， y），B（x， y），∵ ＝3，∴y=-3y，又∵e=，設(shè)a=2t，c=t，b=t，∴x+4y-4t=0.

直線AB方程為x=sy+t，代入消去x，∴（s+4）y+2sty-t=0，

∴y+y=-，yy=-，-2y=-，-3y=-，解得s=，k=.故選B.

另解：選取右焦點(diǎn)F為極點(diǎn)，建立極坐標(biāo)方程，如圖5，可得

FB=

FA==

∵＝3，∴=，且e=，

∴解得cos θ=，即k=tan θ=。

4.（2010遼寧理數(shù)20）設(shè)橢圓C：+=1（a>b>0）的左焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線l的傾斜角為60°，＝2.

（Ⅰ）求橢圓C的離心率.

解析：設(shè)A（x，y），B（x，y），由題意知y＜0，y＞0.

（Ⅰ）直線l的方程為y=（x-c），其中c=.聯(lián)立y=（x-c）+=1，得（3a+b）y+2bcy-3b=0，解得y=，y=.

因?yàn)椋?，所以-y=2y，即＝2#8226;.

解得離心率e==.

另解：選取右焦點(diǎn)F為極點(diǎn)，建立極坐標(biāo)方程，如圖６可得

FB=

FA==

∵＝２，∴＝，且cos θ=.

∴解得e=.

近幾年，直線和圓錐曲線，向量和圓錐曲線的綜合問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)命題方向，通過(guò)以上四道近兩年的高考題常規(guī)的代數(shù)方法和用極坐標(biāo)方程解題的方法的比較，我們可以看出，用極坐標(biāo)的方法解題，計(jì)算量小了很多，并且不容易出錯(cuò)。特別是在解選擇題的時(shí)候，準(zhǔn)確度高，避免了復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算，的確為解決這一類問(wèn)題的好方法。

參考文獻(xiàn)：

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注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請(qǐng)以PDF格式閱讀”