職前數學教師學科知識的調查研究——以函數為例

龔玲梅，黃興豐，湯炳興，田 中，楊驚雷

（常熟理工學院 數學與統計學院，江蘇 常熟 215500）

一、問題的提出

教師專業化發展已成為教育界備受關注的熱點。教師專業化發展的內涵在于教師教育素質的提升和發展[1]。知識作為教師教育素質的一個重要方面，是教師成為一個合格教育者的基本保證。關于教師需要什么樣知識的研究，已成為近20年來迅速增長的教師教育研究的一個焦點議題[2]。盡管研究者們的結論各有不同[3-5]，但都強調了“學科知識”和“學科教學知識”在教師知識中的重要地位。其中豐富的“學科知識”是個體成為一個好教師的必要條件。

與新手相比，專家教師的一個明顯特征在于擁有大量的本領域的知識，以及知識的高度組織化與結構化[6]。而對于即將成為教師的職前教師，他們的學科知識的情況如何？本研究即考察他們學科知識的特點，為職前教師課程設置、培養方式提供參考。

二、研究方法

（一）被試的選取

本研究選取的職前教師來自蘇州的一所本科院校，共101人，其中49人是大學三年級（下）學生，52人是大學四年級學生。所有被試所學的專業是數學教育，而且都已經修完了大學本科階段的主要課程。

（二）研究工具

數學學科知識包含的內容很廣，而函數知識既是中學數學的重要組成部分，又是高等數學的核心內容，與其他知識存在密切聯系。從函數知識入手，更能考察高等數學的學習對職前教師學科知識的影響。

Even[7，8]認為函數知識應當涉及下列7個方面：（1）函數的本質特征，（2）函數的不同表征，（3）函數圖像性質，（4）復合函數和反函數；（5）高中課程的初等函數；（6）關于函數的理解；（7）關于數學的知識。在這7個方面中，前5項是本研究中所指的學科知識，后2項是關于學科知識其他方面的知識。

本研究參照Even關于函數知識的前5項，又由我校組織的數學教學研討班中部分初、高中數學骨干教師的多次研討，提出函數知識的假設模型，編制測試問卷，并隨機抽取56名數學師范方向的大三學生進行預測試，根據測試情況反復斟酌修改，確定3組24個問題形成標準化測試問卷。這3組問題分別是A：概念表征；B：圖像性質；C：反函數和復合函數。每組有2類構成，每類共4個問題，詳見表1。

24個問題都設計為選擇題。選擇題分2類：第1類，只有一個正確答案，選對得1分，否則0分；第2類，有多個正確選項，全選對得1分，選對超過半數的得0.75分，選對一半0.5分，少于半數0.25分，全錯0分。測試問卷3組的Cronbach內在一致性α系數分別為：0.514、0.554和0.552，顯示了較好的可信度。

（三）研究的實施

測試在學校教室進行，一人一桌并有教師監考，時間不限，但大部分職前教師在1個小時左右完成測試。結合測試問卷的有關問題，對部分職前教師進行了訪談。最后用Excel和SPSS統計軟件對調查數據進行統計處理與分析。

三、數據整理和統計分析

（一）職前教師函數知識總體分析

職前教師在測試問卷上總得分頻數分布見表2，在函數知識3個成份6個子類及總體得分見表3。其中得分率這一指標是測查對象在某類知識上的平均得分除以該類知識的總分，用它容易比較測查對象在各類知識上的表現。CV系數是測查對象在某類知識上的標準差與其平均數的百分比。它既能比較不同單位資料的差異程度，又能比較單位相同而平均數相差較大的資料的差異程度。

統計數據顯示職前教師測試問卷總得分率為70.42%，總平均分16.90分，有59.41%的職前教師總得分在16分至20分之間。在函數知識的3個成份A、B、C上得分率依次是64.38%、79.75%和67.13%，即表現較好的是B（圖像性質），其次是C（反函數和復合函數），A（概念表征）相對較差些。在函數知識的3個成份上的CV系數從低到高依次為B、C、A，這表明在B上的得分比較整齊，A上的離散程度較大。統計數據還表明在函數知識的6個子類中得分率較低的是A2不同表征和C1反函數，分別僅為54.00%和58.25%，且CV系數也都較大，說明職前教師對這兩類知識的掌握不夠理想，且分化較大。除A2、C1外，在子類A1上的表現高低不齊，盡管在這類上得分較好。

（二）職前教師函數知識各成份具體分析

（1）職前教師在函數概念表征上的表現：測試卷1至8題是考查職前教師對函數概念的理解，其中1至4題是關于函數概念本質，5至8題是關于函數不同表征及相互之間的轉換。各題的得分率見圖1，在A成份及兩個子類A1和A2上的表現見表3，且由表4可知，他們在A1和A2上表現出顯著差異(P＜.001)。

職前教師在函數概念理解上的主要問題有：①對函數的值域與陪域概念不理解。有11.88%的職前教師認為函數是從定義域到值域的函數，而不能說是從定義域到其陪域的函數。②認為函數的圖像一定是連續不斷的光滑曲線。第3題給出了一條不連續的曲線，問是否表示定義域上的一個函數，有11人選A，9人選D，即有19.80%的人犯此類錯誤。③函數概念中對應法則表示的多樣性對理解概念有較大影響。職前教師對第4題中的“數列{an}的通項an是n的函數”和“組合數是的函數”這兩種表述都有39.60%的人認為是不對的，只有16人認為“SΔABC表示ΔABC的面積，CΔABC表示ΔABC的周長，那么SΔABC是CΔABC的函數”是錯的，即這一問的正確率僅為15.84%。④對函數與方程之間的關系理解不清。職前教師在第5題上表現充分證明了這點。第5題是對兩句話“能用方程表示的關系是函數”和“任何函數總可以寫成方程的形式”做出正確與否的判斷，本題的得分率僅為52.48%。⑤對函數概念不同表征之間的轉換發生困難。函數概念表征具有多樣性的特點，一方面表現在定義域、值域表示的多樣性，可以用集合、區間、不等式等不同形式表示；另一方面表現在表示方法的多樣性，可以用圖像、表格、對應、解析式等，從每一種表示中都可以獨立地抽象出函數概念來。第6題需要將二次多項式、方程及函數的圖像表征等結合起來考慮，第7題是將函數的表格表示轉換為其他表示形式，分別有36.63%和33.66%的職前教師回答錯誤。第8題考查的是對抽象函數的認識，需要盡可能地聯系其他表征，它是24個問題中得分率倒數第二的一個，僅為34.65%。

表1 函數知識假設模型的成分

表2 職前教師測試總得分的分布

表3 職前教師在函數知識各維度上的得分情況

圖1 職前教師概念表征8題的平均得分

表4 職前教師概念表征的顯著性檢驗

（2）職前教師在函數圖像性質上的表現。測試卷9至16題是考查對函數圖像性質的掌握情況，其中9至12題是結合一些具體的實際問題研究已給出的圖像，從中獲取信息，形成用函數觀點處理實際問題的意識。13至16題是給出函數的表達式研究其圖像的性質，形成對函數概念的整體性認識。得分率見圖2，在B成份及兩個子類B1和B2上的表現見表4，且由表4可知，在B1和B2上的表現沒有顯著差異。

圖2 職前教師圖像性質8題的平均得分

表4 職前教師圖像性質的顯著性檢驗

盡管職前教師在B成份上的表現是最好的，但還是存在不少問題。主要有：①圖像所在直角坐標系中，不注意橫軸和縱軸的名稱。9和10題都是路程問題，橫軸都表示時間，但縱軸一個表示路程，另一個表示速度。在第10題的Ⅱ上有23人答錯，占22.77%。經訪談，他們出錯的理由大多是看錯坐標軸的單位。②在“時間—路程”坐標系中，不清楚快慢與曲線的斜率有關。第9題的Ⅱ、Ⅳ，11和12題都涉及這點，出錯的分別有8人、20人、30人和29人。③正確作出具體函數圖像有困難。14、15和16題給出了函數的具體表達式，但不易立即得到圖像，必須通過奇偶性和單調性的判定、漸近線的確定等細節，運用一階導數、二階導數和極限等方法才能獲得正確圖像信息。這3題的第一問都是圖像關于原點是否對稱，回答錯誤的分別有15人、3人和19人。經訪談，他們會判斷函數的奇偶性，但不清楚圖像關于什么對稱。15和16題的第二問都是指出圖像的漸近線，回答錯誤的分別有31人和19人。14題的Ⅲ、15題的Ⅳ和16題的Ⅳ都是判定區間上的單調性，回答錯誤的分別有14人、28人和42人。④對于抽象函數圖像的認識存在更大困難。13題是著名的狄利克雷函數，沒有解析表達式，有圖像但作不出，也沒有實際背景。認識這一函數首先要弄清有理數和無理數的性質及在實數軸上的分布，對這題的4問回答都正確的只有29人。

（3）職前教師在反函數和復合函數上的表現。測試卷17至24題是考查對反函數和復合函數的認識，其中17至20題是關于反函數的研究，涉及反函數的定義、反函數存在的條件及反函數的性質等。21至24題是關于函數復合的研究，涉及復合函數的定義域、復合函數的條件和復合函數的值等。得分率見圖3，在C成份及兩個子類C1和C2上的表現見表5，由表5可知，在C1和C2上表現出顯著的差異(P＜.001)。

圖3 職前教師復合函數與反函數8題的平均得分

職前教師在反函數和復合函數上的主要問題有：①對反函數的定義理解不透，不清楚函數在何種條件下具有反函數。只有40位職前教師認為“g(x)=x2+2x+1的反函數是”是錯誤的。18題是“若函數f(x)存在反函數，則關于方程f(x)=c(為常數)的根”的個數問題，回答正確的只有29人，占28.71%，本題也是24題中得分率最低的一題。②反函數與其原函數的基本數形聯系不清。職前教師在19、20兩題上的表現說明了這點，19題是“設y=f-1(x)是函數f(x)=2x+lnx的反函數，那么f-1(2)等于多少”，有19人沒有給出正確值。20題的4問全部答對的只有49人，通過訪談，其中很多人還是通過特例得到結論。③復合函數的定義域問題。有39人認為“如果函數f(2x)的定義域是[1，3]，則f(x)的定義域是[2，6]”是不對的，有69人認為“如果函數的定義域是[1，3]，則f(x)的定義域是[1，3]”沒有錯。④分段函數能夠復合的條件不太清楚。22題的Ⅳ中f(x)是一個分段函數，g(x)=2x，問能否復合成f[g(x)]，39人沒有給出正確答案。

四、結果與討論

（一）結果

職前教師對函數概念的理解相對最差，且呈多樣性和片面性的特點。Vinner提出：“獲得概念就是形成概念表象，用心學習定義不保證理解。在進行關于某個概念的一些推理時，定義并不是最活躍的因素。甚至可以被忽略掉。”本調查也印證了這點。在判斷一個對象是否為函數時，有人依據定義，有人依據函數概念在頭腦中的表象，概念表象與頭腦中的概念名稱和相關表征相聯系，如概念的任何一種表示——圖片、符號形式、圖表、圖像等。所以有職前教師將函數與方程等同，有認為函數一定可以用解析式表示、函數的圖像一定是連續不斷的光滑曲線等。

表4 職前教師反函數和復合函數的顯著性檢驗

職前教師對函數圖像性質的掌握相對最好，且在捕取圖像所傳遞的特征信息處理現實生活問題與研究函數圖像形成對函數整體性認識這兩方面無顯著差異，但前者的分化程度大于后者。在現實生活中，函數圖像是作為刻畫和描述兩個變量之間的函數關系的一種重要方法。它以直觀的數學語言傳遞著豐富的信息，職前教師在從函數圖像傳遞的豐富信息中接收、轉化及合理應用上還存在不少問題。

職前教師在反函數和復合函數的表現上差異顯著，對復合函數的認識優于對反函數的認識。對反函數和復合函數的研究是對函數概念和函數性質在認識上的深化和提高。調查表明，職前教師處理反函數和復合函數的問題不很熟悉，這也從另一角度說明他們對函數概念的理解水平不高。

綜上所述，職前教師在學科知識領域中所處的位置高度比我們預計的要低，而且他們學科知識的結構比較松散，缺乏相互聯系。

（二）討論

（1）職前教師培養的課程要更有利于促進對中學數學的理解。大三大四的學生學了那么多的數學專業課程，為什么對中學數學的指導作用并沒有達到我們預期的效果？事實上，在大學數學專業課程里，除微積分外，多數課程與中學數學在研究對象和研究方法兩方面都有著很大的不同，它們不是一種螺旋式的深入，而是一種階梯式的跨越。這就使得大學數學專業的多數課程表面上與中學數學嚴重脫節。那么，職前教師的培養課程如何更有利于促進對中學數學的理解呢？一是關注基礎教育的課程標準，以大學數學課程的學習內容為依托，延伸覆蓋課標課程的相應內容，幫助職前教師體會大學數學課程的“臨下”功能。二是重視數學教學專題學習以提升學科知識。這種學習方法直接針對中小學數學教學內容和使用這種內容知識的教學環境，能把握整個數學發展的脈絡、過程以及蘊含的學科思想方法，并能運用知識的整體觀高屋建瓴地反思數學或教學內容。

（2）職前教師培養方式要更有利于學科知識結構、思維結構的正向遷移。本調查以函數為例，內容與大學微積分聯系密切，很多問題用高等數學的知識易解，如第9題的Ⅱ和Ⅳ、11題、12題、14題、15題的Ⅳ、16題的Ⅳ等，若能將快慢、變化率、曲線切線的斜率以及單調區間等與導數聯系起來則非常容易，又如作函數的圖像、反函數和復合函數，大學數學里專門有詳細講述，13題是狄利克雷函數，在講極限、連續、可導等概念時常作為反例。調查表明，職前教師知識結構、思維結構在遷移過程中常會出現知識性、技術性的偏差。數學有效教學的重要指標是學生的數學學習能否從一個問題遷移到另一個問題，從一個情境遷移到另一個情境，從學校課堂遷移到社會生活中[9]。因此，在職前教師培養過程中，教師要考慮并運用學習遷移的規律，創設意義建構的情境，選擇適宜的教學方式方法，恰當地形成和完善學生的認知結構，充分發揮正遷移的促進作用，提高教學成效。

［1］教育部師范教育司.教師專業化的理論與實踐［M］.北京：人民教育出版社，2003：23.

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