基于不確定性均值-方差模型的穩健靜態資產組合選擇

何朝林，孟衛東

（1.安徽工程大學 管理工程學院，安徽 蕪湖 241000；2.重慶大學 經濟與工商管理學院，重慶 400044）

0 引言

模型不確定性問題是社會經濟系統中模型的基本特征，尤其在我國這樣一個新興的證券市場上，更是一個普遍存在的現象。資產組合選擇問題往往基于風險資產的歷史數據或信息統計推斷描述風險資產價格特征的模型或概率分布，并估計模型或概率分布的相關參數，預測其未來趨勢，從而制定投資決策，解釋風險資產價格行為、洞悉證券市場規律。這里存在兩個問題：從客觀上講，基于風險資產的歷史數據或信息統計推斷的預測模型或概率分布是否與未來真實模型或概率分布一致，即使一致，由于忽略未來數據或信息，基于歷史數據或信息而估計的參數是否與未來的真實值一致；從主觀上講，Ellsberg(1961)研究指出，個體投資者的信念無法用單一的模型或概率分布來表示，并發現其在決策時表現出不確定性規避行為[1]。無論是客觀還是主觀都說明個體投資者對描述經濟狀態的模型或概率分布狀況具有不完全信息的事實，不完全信息結果的表現之一就是模型或概率分布的參數不確定性問題。因此，研究參數不確定性下的資產組合選擇問題具有必要性和現實性。

縱觀目前的研究，文獻[4,6,7]研究了模型中所有參數不確定下的資產組合選擇問題，但他們是在動態的情景下，而且是運用貝葉斯分析框架；文獻[2,3,5,8]雖然基于極大極小理論，但主要研究了期望收益不確定下的資產組合選擇問題。鑒于此，本文擬用相對熵控制預測分布中參數的不確定性對資產組合終期財富期望效用的影響，基于極大極小理論建立均值-方差穩健靜態資產組合模型，運用穩健控制方法獲得模型的最優解，并以上證綜指的收益數據為樣本進行實證，以對比的形式研究單參數和多參數不確定性下的穩健靜態資產組合選擇問題。

1 均值-方差靜態資產組合模型及問題的提出

投資者可投資兩種資產，一種為無風險資產，其收益率固定，設為r；另一種為風險資產，其連續復合收益率是一隨機變量，設為 u，假設其服從正態分布，即 F0(u)～N(u,σ2)。 投資者的初始財富為W0，W0≠0，投資于風險資產和無風險資產的比例分別為W，1-W，那么，自融資模式下終期時刻T時的資產組合財富WT為：

投資者資產組合決策的目標是，基于均值-方差模型，在資產組合終期財富約束下，選擇最優控制變量w，使資產組合終期財富期望效用最大。因此，投資者最優靜態資產組合的均值-方差模型為：

其中，λ為投資者的風險偏好，假設投資者是風險規避型的，即λ∈(0，+∞)，其值越大，表明投資者的風險規避程度越高。

根據模型式（2），將約束函數代入目標函數，由一階條件獲得資產組合的最優解w為：

由式（3）知，對特定的投資者而言，其最優資產組合中風險資產的比例取決于描述風險資產收益統計特征的兩個參數，即均值和方差。在實踐中，人們往往應用所獲得的風險資產價格歷史數據或信息估計并預測上述兩個參數，進而制定投資決策。這里存在兩個問題：第一，基于歷史數據或信息統計推斷隨機變量的預測分布可能與其真實分布之間存在偏差；第二，即使預測分布是真實的，即上述偏差不存在，但由于投資的收益發生在未來，而決策是基于某個特定時刻所獲得的歷史數據或信息而制定的，這就或略了未來證券市場提供的數據或信息的作用，導致用于決策的參數值與其未來真實值之間存在偏差。因此，無論哪種情形都說明決定特定投資者的投資決策的參數存在不確定性，風險規避型投資者必須對其進行規避，特別是偏差的發生使投資者處于不利狀況。接下來，本文用相對熵測度上述參數不確定性對資產組合終期財富期望效用的影響，基于極大極小理論，運用穩健控制方法討論參數不確定性下的穩健靜態資產組合選擇問題。

2 均值單參數不確定下的穩健靜態資產組合

這里假定投資者對風險資產收益率預測分布中的收益率方差完全信任，即與真實值完全一致；但認為收益率的均值存在不確定性，與其真實值之間存在偏差，假定用θ,θ∈(-∞,∞)表示，即其真實均值為u-θ。那么，風險資產收益率的預測分布為 F0(u)～N(u,σ2)，真實分布為 Fθ(u)～N(u-θ，σ2)。

鑒于相對熵主要用以衡量兩個概率測度之間的相對距離，具有可加性、凸性和非負性等性質，本文用相對熵測度風險資產期望收益的不確定性對投資者終期財富期望效用的影響。因此，在模型式（2）的基礎上，參照Hansen etal(2006)的研究結論[9]，均值單參數不確定下的穩健靜態資產組合的均值-方差模型為：

其中，Eθ(·)是概率分布為 Fθ（u）時的期望；φ，φ＞0 是投資者的不確定性偏好，隨著φ增大，投資者認為參數（這里指均值）不確定的可能性越大，即偏差存在的可能性越大；I(θ)是相對熵，控制了預測分布與真實分布之間的偏離情況。因此，模型式（4）的經濟含義是在資產組合終期財富約束下，最大化相對熵控制范圍內對投資者最為不利概率下的終期財富期望效用；其理論依據是極大極小理論，故應用穩健控制方法求解。

由式（4）的約束條件得：Eθ(WT)=W0[w(u-θ-r)]，Var(WT)=W0w2σ2。為求解模型，必須獲得相對熵，因相對熵表示真實分布Fθ(u)與預測分布F0(u)之間的相對距離，因此相對熵可表示為：

根據上文風險資產收益率服從正態分布的假設，由式（5）計算相對熵：

將 Eθ(WT)=W0[w(u-θ-r)+1+r]，Var(WT)=W0w2σ2，I（θ）=θ22σ2代入模型式式（4）的目標函數，由極小化目標的一階條件獲得：

將式（6）代入模型式（4）的目標函數，由極大化目標的一階條件獲得均值參數不確定下穩健靜態資產組合的最優解w為：

式（7）和式（3）對比可以發現，相對于風險資產收益率的均值確定的情況，當均值存在不確定的可能性下，投資者將降低資產組合中風險資產的投資，而且隨著其不確定性偏好程度的增加，投資者會進一步降低風險資產的投資；若投資者完全不相信預測分布下的均值參數值，即φ→∞，則w→0，其趨向于將全部資產投資于無風險資產，若投資者完全相信預測分布下的均值參數值，即φ→0，則式（7）逐漸等價于式（3）；式（7）和式（3）的分母表達式從一定程度上說明，投資者對預測分布中均值參數的不確定性偏好的增加類似于其風險規避程度提高。

3 均值、方差兩參數皆不確定下的穩健靜態資產組合

下面放松上述關于投資者完全信任風險資產收益率預測分布中方差的假設，討論風險資產收益率預測分布的均值和方差皆不確定下的穩健靜態資產組合選擇問題。這里，仍用θ,θ∈(-∞,∞)表示預測的均值和真實均值之間的偏差，同時用σ^2

表示真實的方差，那么風險資產收益率的預測分布為真實分布為同時，用相對熵 I控制預測分布與真實分布之間的偏離。同理，均值、方差兩參數皆不確定下的穩健靜態資產組合的均值-方差模型為：

其中，Eθ（·），Varσ^2（·）分別是概率分布為 Fθ（u）時的期望和方差，其它參數含義同上。

參照上述式（5）關于相對熵的求解，由式（9）可解得：

將式（11）代入模型式（8）的目標函數，由極大化目標的一階條件獲得：

由式（12）獲得均值、方差兩參數皆不確定下的穩健靜態資產組合的最優解為：

雖然式（11）和式（6）中關于θ的表達式上一致，但并不代表均值單參數和均值、方差雙參數不確定下均值的偏差是一樣；只有投資者對參數的不確定性偏好和資產組合風險資產的比例在兩種情況下相同時，均值的偏差才一樣。

由式（12），通過等式變形得：

式 （12）表明w≠0，結合式 （11）的第二個等式得0＜λφσ2w2＜1，由式（14）得：

不等式（15）中分式的分母和分子必須同號，根據相關參數的取值范圍可推知它們同為負號，故而由分式的分子解得：

對比式（16）和式（7）可以發現，在風險資產收益率的預測分布的參數存在不確定性的情況下，與均值單參數不確定性相比，如果投資者同時認為方差參數也存在不確定性時，其將進一步降低資產組合中的風險資產頭寸。

4 實證研究

4.1 研究樣本

風險資產以上證綜指為代表，其每月第一個交易日的收盤指數為其當月月初價格，價格序列記為：{P1,P2,…PN，…}，則其連續復合月收益率為 un,un=ln(Pn+1/Pn)，n=1，2，…，N。 為便于比較，研究樣本取兩個：一個為上證綜指1997年1月至2009年6月的月度連續復合收益率，樣本容量為150，簡稱樣本1；另一個為上證綜指2002年1月至2009年6月的月度連續復合收益率，樣本容量為90，簡稱樣本2。原始數據為上證綜指1997年1月至2009年7月的每月第一個交易日的收盤指數，數據由分析家軟件（2006V6.0）提供。因此，在上證綜指連續復合月收益率服從正態分布的假設下 （何朝林（2007）從實證角度說明這一假設具有一定的合理性[10]），基于樣本 1 的預測分布為：F0（u）～N(0.0069，0.0096)；基于樣本2 的預測分布為：F0(u)～N(0.0079，0.0078)。1999 年以來上海證券市場的走勢逐漸強于深圳證券市場，2000年9月16日起深圳證券交易所停止發行新股，直至2004年6月獲準成立中小企業版才重新發行新股。因此，本文選擇上海證券市場代表中國股票市場。中國股票市場在1997年前處于初始發展狀態，規模小、法律和規則不健全。張兵和李曉明(2003)認為以1997年為界研究中國股市，可以更細致準確地理解和說明中國股市總體運動規律，將得到更符合實際的結論，可避免量化分析中樣本區間和數據選擇缺乏依據和一致性[11]。因此，本文選擇上證綜指1997年后的數據。

無風險資產取2009年一年期銀行定期存款，其年利率為2.25%，折算成連續復合月收益率為 (ln(1+0.0225))/12=0.0019，故 r=0.0019。

4.2 實證結果

基于研究樣本，結合式（3）、式（7）和式（13）在不同風險規避程度和不確定性偏好下分別量化參數確定、均值參數不確定、均值和方差參數皆不確定下的靜態資產組合選擇結果，見表 1。 其中，w1，w2，w3分別代表預測分布中參數確定、均值單參數不確定和均值與方差皆不確定下資產組合中的風險資產比例；Δ21，Δ32分別代表均值參數和方差參數不確定性對資產組合中風險資產投資的影響。

4.3 結果分析與經濟解釋

（1）從表 1中 w1,w2,w3的值可知，在 λ，φ 一定時，預測分布的參數存在不確定時，投資者將降低風險資產的投資，而且相對于均值單參數不確定的情況，均值和方差同時存在不確定時，其降低的程度更大；在λ一定下，隨著φ的增大，投資者進一步降低風險資產的投資。這說明風險資產收益預測分布中的參數不確定性使得投資者降低風險資產投資，投資者的不確定性偏好程度越大，其降低的程度越大。這一結果與股票市場的投資實際是一致的，當市場走勢不明顯時，投資者認為描述股票價格特征的預測分布或模型的可靠性降低，存在不確定的情況，其將減少股票投資；當市場走勢變得混亂，不明顯情況加劇，預測分布或模型的預測更加不可靠，此時投資者的不確定性偏好程度加大，即φ增大，其將進一步降低股票投資，甚至撤出股市；當市場走勢得到一致認可時，投資者幾乎不懷疑預測分布或模型的預測功能，故而決策越來越接近預測分布或模型中參數確定的情況。

表1 靜態資產組合中風險資產的比例 （單位：%）

（2）從表 1 中 Δ21，Δ32的值可知，在 λ，φ 一定時，均值參數不確定性導致投資者降低風險資產投資比例的程度強于方差參數不確定性下的情況，這說明風險資產收益的正態預測分布中的均值參數不確定性對資產組合的影響強于方差參數不確定性。這與Merton(1980)、Blanchard(1993)得研究結論一致，即股票收益一階矩的預測要遠遠困難于二階矩[12,13]；同時，孟衛東和何朝林（2007a,2007b）從一階矩和二階矩的方差角度也進行了闡述[6,7]。這反映的投資實踐是，對特定風險規避型投資者而言，即使其存在對預測分布或模型的不確定性偏好，但其認為相對于股票的均值來說，方差的預測更為準確。

（3）從表 1中基于樣本 1和樣本 2的 Δ21，Δ32值的對比可知，在λ，φ一定時，無論均值還是方差，它們的不確定性對資產組合的影響是樣本2強于樣本1，同時我們知道樣本2所含歷史數據少于樣本1，這說明信息量越少，統計推斷的預測分布中的參數不確定性可能性越大，對資產組合的影響越強。這一結論實質上歸結于估計風險問題，實踐中，人們只能運用既得的數據或信息統計推斷預測分布或模型，進而估計它們的相關參數，這時的估計存在估計風險，而且基于的歷史數據或信息越少，估計風險就越大，因而對投資決策的影響就越大，從而說明了信息量越少，參數不確定性越高，對資產組合的影響越強。

（4）從表1可知，在φ一定下，λ越大，資產組合中風險資產的比例越小；在λ一定下，φ越大，資產組合中風險資產的比例越小。這在一定程度上說明投資者的風險規避程度和不確定性偏好程度具有等價性。這歸結于參數不確定性在某種程度上以估計風險的形式表現，因而參數不確定性也是一種風險，對資產組合影響的特征類似于風險規避程度提高。

5 結束語

本文基于均值-方差模型研究了風險資產收益預測分布中的均值和方差兩參數的不確定性對穩健靜態資產組合的影響。借助相對熵測度風險資產收益的一階矩和前兩階矩的不確定性對資產組合終期財富期望效用的影響，運用穩健控制方法獲得穩健資產組合模型的最優解；根據最優解，以上證綜指1997年1月至2009年6月的兩個不同區間段的收益數據為樣本做實證研究。結果表明，參數不確定性導致資產組合中風險資產的比例降低，并隨著投資者不確定偏好程度增加降低得越多；歷史數據或信息越少，參數不確定性影響越強；均值不確定性的影響強于方差不確定性的影響；即使投資者完全不相信方差的預測功能，但仍在一定程度上相信均值的預測功能。

本文與現有研究，特別是孟衛東和何朝林(2007a,2007b)，形成互補。不足之處是如何研究動態均值-方差模型下的穩健動態資產組合選擇問題。

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