液壓缸臨界載荷計算和最優設計

林榮川 郭隱彪 魏莎莎 林 輝

1.集美大學,廈門,361012 2.廈門大學,廈門,361002 3.廈門廈工機械股份有限公司,廈門,361012

0 引言

液壓缸是機械設備中常用的執行元件,通常承受軸向壓力,當軸向力達到或超過一定限度(即臨界載荷)時會發生失穩,使構件失效,導致突發性坍塌。因此,許用臨界載荷的確定及抗失穩性能的設計是液壓缸設計的必要內容。

1 液壓缸軸向受力力學模型

圖1所示為兩端鉸支的液壓缸受力示意圖,活塞桿可視為整體壓桿。缸筒端蓋受到高壓液壓油作用的軸向力P,與鉸支座的軸向反力構成作用力與反作用力,如果不考慮活塞與缸體、活塞桿與端蓋間的間隙,缸筒本身可認為不受壓力作用,任意截面的彎矩為零。但由于間隙的存在,當液壓缸整體失穩時,缸筒也存在轉角和撓曲變形。

圖1 液壓缸受力示意圖

圖1中,E1 I1、E2 I2分別是活塞桿、液壓缸體抗彎剛度;F是橫向載荷;l是液壓缸總長度;l1是活塞桿伸出長度;l2是活塞桿導向長度;l3是缸體長度 ;δ1、δ2分別是活塞桿和缸體最大撓度;μ1是活塞桿與端蓋的間隙;μ2是活塞與缸筒的間隙。

2 液壓缸撓度曲線微分方程建立和臨界載荷計算

2.1 活塞桿撓度曲線微分方程

在軸向力P作用下,活塞桿產生彎曲變形,其中,x為液壓缸長度,y1為活塞桿撓度,橫向力為,則活塞桿截面彎矩可表示為

撓曲線微分方程為

邊界條件和連續條件為

于是，我按照媽媽先前對我的指導，先深吸一口氣，把頭埋進水里，使勁兒不讓氣呼出來，但結果還是嗆了水。我并沒有灰心，再次嘗試，結果又失敗了。

則活塞桿撓度

2.2 缸體撓度曲線微分方程

缸體截面彎矩可表示為

相應的撓曲線方程為

邊界條件和連續條件為

2.3 液壓缸臨界載荷計算

從圖1可以看出,當活塞桿和缸體兩處最大撓度(即 δ1、δ2)超過臨界值時,液壓缸發生失穩,則

由式(3)、式(6)、式(7)可得

式(8)是關于 δ1、δ2的非齊次方程組,其意義是：當δ1、δ2的系數行列式為0時,解為無窮大,即液壓缸發生失穩,即

由式(9)可解得臨界載荷的超越方程

通過牛頓迭代法可計算穩定性系數a的大小,迭代流程如圖2所示。其中,a0為方程實根初值;n為最大迭代次數;ε為收斂精度。

則液壓缸臨界載荷可表示為

式中,E1為活塞桿彈性模量;I1為活塞桿慣性矩;l為液壓缸長度。

其他約束方式的液壓缸臨界載荷也可以用同樣方法求解,為便于比較不同約束方式對臨界載荷大小的影響,根據文獻[6]引入約束影響系數φ,取兩端鉸支液壓缸的約束影響系數φ=1,不同約束液壓缸臨界載計算結果見表1。

圖2 迭代法框圖

表1 不同約束液壓缸臨界載荷表達式

3 液壓缸優化模型和優化計算[7-12]

優化過程實際上是一個不斷自動修正設計參數的過程,為保證優化過程的流暢,就需要將待優化的設計數據參數化,為修正模型提供可能,并自動完成分析-評價-修正這一循環過程。整個參數化有限元優化設計過程包括參數化建模、網格劃分、加載、求解、后處理和優化迭代等。

3.1 液壓缸參數化有限元模型建立和應力應變分析

活塞桿與缸蓋、活塞與缸筒內壁之間的連接屬于非線性接觸問題,通過研究目標面與接觸面的自由度關系及變形的一致性可確定接觸邊界條件,建立液壓缸接觸系統的控制方程。采用映射法構造對稱于oXY平面的三維有限元模型。構造有限元模型時,優化過程所涉及的設計變量均以參數化形式描述,劃分網格后共得到7456個單元,6359個節點,選用Solid45單元對液壓缸進行離散分網并施加約束(以一端固定一端自由液壓缸為例),軸向載荷從小逐漸增大,模擬分析臨界載荷作用下危險截面的應力和變形位移情況,當載荷達到一定數值時,活塞桿變形位移和彎曲應力急劇變大,意味著失穩即將發生。非線性方程求解過程采用牛頓-拉普森迭代法。活塞桿和缸體有限元模型如圖3、圖4所示,液壓缸的變形位移和應力云圖如圖5、圖6所示。從圖5、圖6中可以看出,液壓缸受載后發生彎曲變形,最大彎曲應力和位移發生在活塞桿靠近缸筒處,此處為發生失穩的危險區域,由于活塞桿與液壓缸端蓋之間間隙的存在,當液壓缸整體失穩時,缸筒也存在轉角和撓曲變形,進一步加速了液壓缸的坍塌崩潰。危險截面最大應力與活塞桿長度、直徑有關,應力變化趨勢如圖7所示。

圖3 活塞桿有限元模型

圖4 液壓缸體有限元模型

圖5 液壓缸變形位移云圖

圖6 液壓缸變形應力云圖

3.2 液壓缸優化數學模型建立

工程上選用液壓缸時,一般是根據載荷大小和工作行程從手冊選用標準規格或者定制非標準液壓缸,實質上就是在有設計變量尺寸限制的前提下,求當軸向力P一定時,活塞桿截面和長度分別取何值時液壓缸的體積或質量最小。該問題屬于有約束最優化問題。對于液壓缸,在考慮軸向穩定性和強度要求的條件下,使用優化工具可對液壓缸優化模型求解。活塞桿直徑為 d,筒外徑為D1,筒內徑為D,壁厚為臨界載荷。以液壓缸第i段桿橫截面直徑d ini、各桿段長度li作為設計變量,以其體積V作為目標函數,以液壓缸失穩及結構尺寸限制[8]為約束條件,在軸向力為Pcr情況下建立優化數學模型。目標函數：

圖7 液壓缸危險截面應力變化趨勢圖

活塞桿強度約束：

其中,[σ1]為活塞桿材料許用應力。

穩定性約束：

缸筒內徑D約束：

缸筒厚度δ約束：

根據第四強度理論,[σ2]為缸筒材料許用應力。缸筒長度約束：

最小導向長度l2約束(避免因間隙引起的初始撓度過大)：

長度約束：

在優化過程中采用多約束非線性二次規劃法,經過若干次優化迭代,得到設計點及最終逼近問題的最優點,由于非線性二次規劃法具有自動修正功能,當約束條件不能完全得到滿足時,可以自動修正有關結構尺寸來滿足約束要求,該法具有很好的收斂性。

4 實驗及分析

以一端固定一端自由的液壓缸活塞為例,臨界載荷取18kN,活塞桿極限長度取150mm,則本文優化計算數值、Ritz法計算值如表2所示。

表2 液壓缸參數對照表

工程上常用 Ritz法計算臨界載荷或者校核液壓缸尺寸[13],為比較本文優化計算結果與實驗實測值、Ritz計算值之間的大小關系,以一端固定、一端自由的系列標準單出桿液壓缸(GB/T13342-2007)為實驗對象,活塞桿直徑d=10mm,實測不同長度下的臨界載荷,將結果與Ritz計算值[13]、本文優化計算值相比較,三種情況下的l-pcr曲線如圖8所示。從圖8中可以看出,本文優化計算的液壓缸臨界載荷處于Ritz計算值和實驗實測值之間。

圖8 液壓缸長度與臨界載荷(l-Pcr)曲線比較圖

用Ritz法計算臨界載荷或者校核液壓缸尺寸,臨界載荷比實驗實測值小,即設計尺寸通常比實際值略大,屬于安全閾值偏大的計算,本文優化計算后液壓缸主要參數值比Ritz法略小,臨界載荷比 Ritz計算法略大,和實驗測量數據比較接近,說明本文優化計算能滿足工程需要。

5 結語

軸向受壓液壓缸穩定性驗算是個復雜工程問題,由于液壓缸尺寸通常較大,難以用實驗手段測出其臨界載荷,大都根據Ritz法計算結果結合經驗選用液壓缸尺寸,出于安全考慮,通常安全閾值偏大。本文考慮了活塞桿與缸蓋、活塞與缸筒之間間隙對液壓缸臨界載荷的影響,通過對液壓缸的三維有限元模擬分析,結合參數化有限元優化設計技術,獲取在體積約束條件下液壓缸的合理尺寸,通過和Ritz法計算結果以及實驗實測值比對,該結果接近實驗實測值,可以作為液壓缸選擇依據。隨著液壓缸筒與活塞之間間隙變大、活塞桿變形等影響因素增大,許可臨界載荷應適當減小。由于忽略活塞及活塞桿密封件彈性、液壓油彈性對液壓缸穩定性的影響,該算法還有待進一步完善。

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