基于參數靈敏度的結構性能優化

李初曄 王衛朝 馬 巖

北京航空制造工程研究所,北京,100024

0 引言

完整的結構優化設計過程包括尺寸優化、形狀優化和拓撲優化幾個不同階段和層次。尺寸優化是在保證零件拓撲結構不變的前提下優化截面面積、筋板厚度等參數;形狀優化是在保證設計域內的拓撲結構關系保持不變條件下,尋求最理想的邊界和幾何形狀;拓撲優化可以在給定的設計空間中確定最優的材料分布,設計最優的零件幾何、框架、加強筋布局,減少非關鍵區域的材料分布。連續體結構的拓撲優化包括結構邊界形狀的優化,通過去除材料,可在結構內部形成孔洞,拓撲優化比形狀優化具有更大的自由度和開放性,而且不局限于參數形式,因此拓撲優化是高層次的優化,難度也最大,被公認為是結構優化領域最具挑戰性的研究課題之一[1-2]。

從尺寸優化、形狀優化到拓撲優化的這一過程提供了新產品在設計中的優化策略：①首先根據產品的工作范圍確定設計空間,選擇能完全覆蓋零件設計區間的簡單初始形狀進行無參數化的拓撲優化,根據各截面的優化結果組合產生最佳的輪廓形狀和孔洞分布模型;②根據拓撲優化結果修改零件初始結構,并進行參數化定義,產生拓撲優化結構;③在設計目標約束下采用尺寸優化對拓撲優化結構的設計參數進行調整;④根據尺寸優化結果對拓撲優化結構進行修改,產生最終優化結構零件。

本文采用一種基于參數靈敏度的振蕩優化方法,通過令所研究結構的質量上下波動,在變形極小化目標控制下使結構參數不斷發生變化,最終得到質量不變、性能更優的新結構,通過與有限元分析軟件結合,這一過程很容易通過程序實現,而且能夠快速收斂。

1 變量定義及有限元模型參數化

圖1所示為高速銑床的橫梁結構,外觀的七面體結構是通過拓撲形狀優化產生的,在結構細化階段,通過參數優化確定最佳尺寸組合,使在滑板銑頭組合重力和切削力作用下變形最小,并具有較高的初階固有頻率。

在方案設計階段,橫梁的外觀尺寸L、W、H是根據加工零件特點初步確定的參數,H 1、W1在拓撲優化階段可以初步確定其與 H、W的比例,H1、W1可以作為確定量,也可作為優化變量來定義。控制結構的變量分為形狀變量和厚度變量,通稱為結構參數。

圖1 橫梁外觀和尺寸變量

形狀 變量為 H1、W1、KX 、n,厚度 變量為C1～C7。

要對結構進行性能優化,將有限元模型參數化是首要前提,因為只有帶參數的結構模型才能通過參數提取,分析參數變化對目標的影響,最終達到參數優化的目的。

2 變量對結構性能的靈敏度分析

結構參數變化對質量、變形、應力和頻率等性能參數皆有影響,但不同部位的形狀和尺寸參數對結構性能的影響程度不同[3],通過單變量改變結構參數的大小,總結歸納對結構整體性能的重要程度,為書寫方便將參數用x1～x11表示。

橫梁最大變形U為結構參數的函數,U=u(x 1,x2,…,x 11),任意一組變量增量d x1,d x2,…,d x11引起的最大變形改變量d U可以表達為

其中,?u/?xi為對變量xi求偏導數,稱為變量 xi對函數U的靈敏度,記為ξi。如果要分析某一變量(如xk對函數U的影響),應將其余的變量固定,因此上式中除了d xk外,其他變量的增量均為0,式(1)變為

得到xk的靈敏度

對于復雜的結構,不可能寫出變形與變量之間的函數關系式,因此式(2)只有理論意義。有限元分析為我們提供了求解靈敏度的工具,比如要求解變量xk對結構變形的靈敏度,先計算出變量為xk時的變形量u1,再計算出xk增加一個單位(d xk=1)時的變形量u2,則

u1、u2可以通過兩次有限元計算得到,靈敏度為“正”表明函數隨該變量的增大而增大,靈敏度為“負”表明函數隨該變量的增大而減小。

表1的數據反映了變量對優化目標的影響程度,通過靈敏度分析,得到以下四點結論：

(1)變量對變形的影響程度從大到小依次是：x8(-),x11(-),x4(-),x10(-),x7(-),x3(-),x9(-),x6(-),x5(-),x1(-),x2(+)。各變量后面的“-”號表示增大該變量變形減小,“+”號表示增大該變量變形增加。

(2)變量對結構應力的影響程度從大到小依次是：x11(+),x4(-),x8(-),x5(+),x7(-),x9(-),x10(+),x6(+),x2(+),x 1(+),x3(-)。各變量后面的“-”號表示增大該變量應力減小,“+”號表示增大該變量應力增加。

表1 各變量靈敏度綜合一覽表

(3)變量對結構質量的影響程度從大到小依次是：x11(+),x10(+),x5(+),x4(+),x7(+),x8(+),x6(+),x9(+),x3(+),x2(+),x 1(+)。各變量后面的“+”號表示增大該變量質量增加。

(4)變量對結構頻率的影響程度從大到小依次是：x11(+),x10(+),x3(+),x8(-),x 7(-),x4(-),x9(+),x6(+),x5(+),x1(+),x2(+)。各變量后面的“-”號表示增大該變量頻率減小,“+”號表示增大該變量頻率增加。

圖2 變量對優化目標的影響綜合

結構優化的目的是：減小變形(提高靜剛度),增大固有頻率(提高動剛度),減小結構質量[4-5],如果某變量的改變同時能實現上面三個目標,那么此變量在優化過程中為優先調整的變量,但從圖2所示的變量對優化目標的影響綜合來看,一個變量最多能使兩個目標情況變好,但同時會使另一個目標變壞 ,比如增大 x1、x3、x5 、x6、x 9、x10、x11會達到減小變形、提高頻率的目的,但會使質量增加;減小 x4、x 7、x8會達到提高頻率、降低質量的目的,但會使變形增加,結構優化過程就要使各目標合理地達到平衡。從控制變形提高結構靜剛度方面考慮,應采取的措施是：減小 x2,增加x8、x11 、x4、x 10、x7、x3、x9 、x6、x5、x1,變量的增減幅度與該變量對變形的靈敏度有關,靈敏度大的改變幅度大些,假設采用線性增減規律：

通過變換式(1)可得

得到

因此,若已知變形控制量d U,通過上式可得到變量的允許改變量,對結構頻率和質量的控制采用同樣的方法進行分析。圖3反映了結構變形、質量和頻率變化時各變量的變化趨勢。

圖3 變量的變化趨勢分析

3 單位質量的靈敏度分析

僅分析變量對目標的靈敏度似乎不能準確定義參數對目標函數的影響程度,因為某個變量對變形的靈敏度可能較大,但如果對質量的靈敏度同樣很大,則該變量對控制變形不一定是關鍵變量,因為它本質上是通過增加結構質量來達到控制變形的目的的。基于這方面的考慮,定義變量xi的形質靈敏度Γi為變形靈敏度(ξi)和質量靈敏度(ζi)的比值

同理,定義變量xi的頻質靈敏度Ψi為頻率靈敏度λi和質量靈敏度ζi的比值：

變量xi的形質靈敏度的意義是：xi代表的部分結構單位質量的改變對變形產生的影響,因此形質靈敏度反映了單位質量的材料增減對變形的影響程度,比變形靈敏度指標更能揭示變量對變形的影響。為減小結構變形,假設變量按形質靈敏度的大小采用線性增減規律：

經變換式(1)可改寫為

得到

因此基于形質靈敏度又定義了一組變量增量d x1,d x2,…,d x11,表2的分析數據表明,同樣使結構變形減小25%,采用形質靈敏度定義的變量增量使結構質量由2.803t增加到3.184t,增加了13.6%,采用變形靈敏度定義的變量增量使結構質量增加到3.371t,增加了20.2%,因此形質靈敏度用于結構性能優化更有效率。基于形質靈敏度和變形靈敏度,當變形減小25%時各變量的變化趨勢分析圖如圖4所示,變量x11為橫梁中間加強筋個數,為離散變量,計算時四舍五入取整數。

表2 采用兩種靈敏度指標控制變形綜合一覽表

4 基于變量靈敏度的結構優化

圖4 兩種靈敏度指標下變量的變化趨勢

結構優化大多以控制變形為主,過程表現為在不增加結構質量的前提下,使變形極小化[6-7]。變量的形質靈敏度在減小質量和減小變形方面具有更高效率,對于一組初始變量x1,x2,…,xn,變形和質量的函數為

結構變量的形質靈敏度、變形靈敏度和質量靈敏度分別為 Γi、ξi、ζi,質量增量為

第一步先使質量增加d m,為限制變形的增加,變量按形質靈敏度的大小采用線性增減規律：

式(6)可改寫為

得到

將這一步得到的增量組記為daxi：

變形增量

第二步使質量減小d m,恢復到原始水平,為限制變形的增加,變量按形質靈敏度的大小采用線性反比增減規律：

式(6)可改寫為

得到變量增量

變形增量：

經過兩步變換,結構質量保持不變,結構參數變為

結構變形為

表3 7次振蕩循環變量和目標信息綜合一覽表

圖5 7次振蕩循環下變量的變化趨勢分析

5 基于參數靈敏度優化程序的一些驗證模型

5.1 驗證模型1

對于二元函數

變量的初始值x1=15,x2=-3。

在函數T保持不變的前提下,計算函數U的極值。

初始變量下函數 T的初值為

函數U的初值為

設定的函數T振蕩百分比為1%,經過93次循環優化計算,得到當x1=-0.68,x2=4.84時函數U取得極小值,此時T=9,U=99.69。

5.2 驗證模型2

設定變量的初始值：x1=8,x2=13,x3=22。

在S保持不變的前提下計算函數V

圖6 驗證模型2圖例

由于結構參數隨質量變化采用不同的增減規律,所以daxi+dbxi不等于0,經過參數變換產生新的結構,與原始結構相比,結構質量未變但變形已經減小。

下一個循環是將得到的新結構作為初始結構,計算產生新的形質靈敏度Γi、變形靈敏度ξi和質量靈敏度ζi指標,進行同樣的兩步操作,當兩次循環得到的變形差小于預先設定的收斂精度時計算終止。這一優化方法通過令質量上下波動,在變形極小化目標控制下使結構參數不斷發生變化,最終產生質量不變、性能更優的新結構,因此可稱為振蕩循環優化。表3中的數據經過7次振蕩循環,橫梁結構質量未發生變化,但最大變形從0.032 07mm減小到0.021 58mm,優化效果非常明顯,圖5所示為各變量在優化過程中的變化趨勢曲線,從圖5中看出,變量 x1、x3、x5變化最劇烈。的極值。函數S的初值S0=1132。函數V的初值V0=2288。

設定函數S振蕩百分比為2%,經過25次循環優化計算得到,當 x1=13.62、x2=13.65、x3=13.90時,函數V取得極大值,此時S=1130,V=2584。

將面積和體積函數反過來,即在體積不變條件下求表面積的極值時,循環振蕩的次數處于不確定狀態,可見在體積一定的條件下表面積的極值會趨向無窮大。

5.3 驗證模型3

如圖7所示,從O點等角度發出n條線段,連接端點a1,a2,…,an構成封閉圖形,第i個三角形的信息如下：

頂點角

圖7 驗證模型3圖例

底邊長

面積

整個封閉圖形面積

整個封閉圖形邊長

因此,我們構造了兩個函數S、P。現在來計算：在保證封閉圖形長度P不變的前提下,尋求面積函數S的極值條件。

假設n=10,則圖形的控制變量為r1、r2、…、r10共10個,設定變量的初始值為：r 1=8,r2=8,r3=9,r4=11,r5=10,r6=9,r7=9,r8=10,r9=11,r10=9。

函數P的初值為

函數S的初值為

設定的函數P振蕩百分比為0.1%,經過67次循環優化計算,當 r1=9.17、r2=9.18、r 3=9.34 、r4=9.58 、r5=9.82 、r 6=9.96 、r 7=9.94 、r8=9.78、r9=9.53、r10=9.30時函數S 取得極大值,此時 P=59.11,S=268.85。

對于外凸多邊形,在邊長總和給定的條件下,當ri相等時面積存在極大值：

因此,r i=9.567,面積的極大值為S=269。優化解與理論解的誤差為0.06%。

6 結束語

優化技術的廣泛采用讓設計具有了更大的創造性,對提高產品性能、創新設計思路、降低產品的價格有巨大作用,并且使CAE應用達到一個新的高度。振蕩循環優化方法易于編程實現,可以應用于各種參數化有限元分析領域,筆者最早將其應用于多連桿機構的優化設計中,相信該方法是對其他優化方法的一個有益拓展和補充。基于參數靈敏度的快速優化算法,經一些數學模型和實際工程應用檢驗,分析結果是可信的,因此本課題從理論上是可行的。

[1] 唐文艷,顧元憲.遺傳算法在結構優化中的研究進展[J].力學進展,2002,32(1)：26-40.

[2] 榮見華,姜節勝,胡德文,等.基于應力及其靈敏度的結構拓撲漸進優化方法[J].力學學報,2003,35(5)：584-591.

[3] 王成端,楊肅.動態優化中的靈敏度分析研究[J].計算結構力學及其應用,1991,8(1)：77-83.

[4] 錢令希.工程結構優化設計[M].北京：水利電力出社,1983.

[5] 隋允康,金雪燕.應力和位移約束下的板殼結構截面優化[J].力學學報,2004,36(6)：701-708.

[6] 王曉明,劉震宇,郭東明.基于均勻化理論的微小型柔性結構拓撲優化的敏度分析[J].中國機械工程,1999,10(11)：1264-1267.

[7] Pettit R G,Wang J J,Toh C.Validated Feasibility Study of Integrally Stiffened Metallic Fuselage Panels for Reducing Manufacturing Costs[M].Hampton：Langley Research Center,2000.