GPS 高程異常擬合方法研究

賈自甜 何 浩

眾所周知，GPS技術(shù)已經(jīng)被廣泛應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域，如環(huán)境檢測(cè)部門的數(shù)據(jù)采集、地理信息系統(tǒng)的建立、地質(zhì)災(zāi)害的預(yù)報(bào)、監(jiān)測(cè)等。GPS的高精度，全球性，全天候等特點(diǎn)已被大家所共識(shí)，為提高經(jīng)濟(jì)效益，減少外業(yè)工作量，人們廣泛采用GPS定位技術(shù)進(jìn)行平面定位。但GPS測(cè)高數(shù)據(jù)的應(yīng)用卻沒(méi)有像GPS平面成果那樣被廣泛應(yīng)用。這主要是因?yàn)镚PS所測(cè)的高程為大地高程。由于大地高程面和水準(zhǔn)面不平行，產(chǎn)生了高程異常現(xiàn)象。因此GPS高程只有經(jīng)過(guò)高程異常的改正才能應(yīng)用到工程測(cè)量和城建系統(tǒng)中。大地水準(zhǔn)面是一個(gè)不規(guī)則的曲面，它不可能完全通過(guò)一個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)精確的描述。如何利用GPS所測(cè)的大地高，通過(guò)某種算法求出該點(diǎn)的正常高，一直是GPS測(cè)量研究的熱點(diǎn)。

1 擬合方法

GPS測(cè)得的大地高表現(xiàn)為WGS-84參考橢球面沿該點(diǎn)的法線方向，正常高表現(xiàn)為該點(diǎn)的鉛垂方向，這兩方向的偏差即為垂線偏差。但由此引起的高程異常一般不超過(guò)±0.1 mm，完全可以忽略。由于考慮到垂線偏差對(duì)高程轉(zhuǎn)換的影響比較微弱和工程測(cè)量作業(yè)范圍內(nèi)高程異常的相對(duì)恒定性，因而，在計(jì)算時(shí)沒(méi)有必要專門來(lái)考慮垂線偏差，而是將其直接參與到多項(xiàng)式求解過(guò)程當(dāng)中。確定高程異常的方法有:

1)在局域范圍，基準(zhǔn)站和流動(dòng)站的距離不超過(guò)5 km，且測(cè)區(qū)范圍內(nèi)的地形起伏變化不大時(shí)，可認(rèn)為測(cè)區(qū)內(nèi)各點(diǎn)的高程異常值是相同的。如測(cè)區(qū)內(nèi)A，B兩點(diǎn)，其大地高和正常高分別為:HA，HB，hA，hB，其中，A 為已知點(diǎn)，則 A 點(diǎn)的高程異常為:

基于以上假設(shè)，則B點(diǎn)的高程異常為:

此時(shí)，已知B點(diǎn)的大地高，則可求出其正常高:

2)若測(cè)區(qū)內(nèi)地形起伏較大，且基準(zhǔn)站和流動(dòng)站距離較大時(shí)，通常確定高程異常的方法有直接法和幾何法兩種。a.直接法。直接法又稱為重力法。重力法就是利用流動(dòng)站附近的重力測(cè)量資料求解大地水準(zhǔn)面的非線性變形部分的高程異常值。高程異常是地球重力場(chǎng)的一個(gè)參數(shù)，一般情況下，利用地球重力場(chǎng)模型，根據(jù)點(diǎn)位信息，即可求出該點(diǎn)的高程異常。對(duì)高程精度要求不高或不可能進(jìn)行水準(zhǔn)測(cè)量的困難地區(qū)，可采用直接法。b.幾何法。幾何法又稱為解析法。解析法就是用一個(gè)一次或高次的多項(xiàng)式來(lái)擬合出似大地水準(zhǔn)面模型，即高程異常模型，從而內(nèi)插出某點(diǎn)的高程異常值。根據(jù)測(cè)區(qū)的情況可將似大地水準(zhǔn)面用多項(xiàng)式曲線、平面和多項(xiàng)式曲面來(lái)表示，對(duì)應(yīng)的就有多項(xiàng)式曲線擬合、平面擬合和多項(xiàng)式曲面擬合三種方法。

多項(xiàng)式曲線擬合法:當(dāng)GPS點(diǎn)呈線狀布設(shè)，可根據(jù)控制點(diǎn)的平面坐標(biāo)x(或y)及其高程異常，通過(guò)構(gòu)造一個(gè)插值函數(shù)來(lái)擬合測(cè)線方向上的大地水準(zhǔn)面曲線，然后內(nèi)插出高程異常值。

選用一個(gè)m次代數(shù)多項(xiàng)式作為插值函數(shù)，設(shè)高程控制點(diǎn)的高程異常為:

各高程控制點(diǎn)的高程異常值與擬合值之差為:

其中，ri為擬合誤差。根據(jù)最小二乘原理求出ai(i=0，1，…，m)的值，代入式(4)則可用于求解高程異常。

插值多項(xiàng)式的次數(shù)m并非越高越好，會(huì)出現(xiàn)不收斂的現(xiàn)象(Runge現(xiàn)象)。

平面擬合法:對(duì)于范圍較小的平坦或低丘地區(qū)，似大地水準(zhǔn)面可看成平面。設(shè)測(cè)區(qū)內(nèi)高程控制點(diǎn)的平面坐標(biāo)為(xi，yi)，此時(shí)，選用插值函數(shù)為:

其中，εi為擬合誤差。根據(jù)最小二乘原理求出ai(i=0，1，2)的值，代入式(6)即可求得平面擬合模型。

多項(xiàng)式曲面擬合法:對(duì)于范圍稍大的地區(qū)應(yīng)把似大地水準(zhǔn)面看成是多項(xiàng)式曲面。當(dāng)測(cè)區(qū)似大地水準(zhǔn)面起伏較大，且重合點(diǎn)數(shù)較多時(shí)，可采用曲面擬合來(lái)逼近似大地水準(zhǔn)面。設(shè)測(cè)區(qū)內(nèi)高程控制點(diǎn)的平面坐標(biāo)為(xi，yi)，選用的插值函數(shù)為:

同樣，根據(jù)最小二乘原理求出待定系數(shù)ai的值，代入式(7)即可求得多項(xiàng)式曲面擬合模型。

2 擬合精度估算

GPS擬合高程精度一般采用的計(jì)算方法是:計(jì)算擬合點(diǎn)的擬合中誤差，分析GPS擬合高程的內(nèi)符合精度;聯(lián)測(cè)若干已知幾何水準(zhǔn)高程的GPS網(wǎng)點(diǎn)作為檢核點(diǎn)，計(jì)算檢核點(diǎn)的擬合中誤差，分析GPS擬合高程的外符合精度;將檢核點(diǎn)的高程異常與擬合的高程異常差，同相應(yīng)等級(jí)的水準(zhǔn)測(cè)量限差進(jìn)行比較，分析GPS擬合所能達(dá)到的精度。

內(nèi)符合精度為:

其中，εi為參加擬合點(diǎn)的擬合殘差;n為擬合點(diǎn)數(shù)。

外符合精度為:

其中，εj為檢核點(diǎn)的高程異常與擬合的高程異常之差;m為檢核點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

對(duì)于四等水準(zhǔn):

其中，L為檢核點(diǎn)到最近擬合點(diǎn)的距離，km。將εj的值與ε限進(jìn)行比較即可判斷出每個(gè)檢核點(diǎn)的εj是否超限。

3 結(jié)語(yǔ)

在我國(guó)范圍內(nèi)，高程異常誤差對(duì)坐標(biāo)的影響隨經(jīng)度減小而增大。在我國(guó)的西部邊緣區(qū)域，1 m高程異常誤差對(duì)平面坐標(biāo)的影響達(dá)數(shù)厘米，而此區(qū)域的高程異常誤差通常達(dá)2 m～3 m，按照坐標(biāo)誤差與高程異常誤差成正比的關(guān)系，則對(duì)轉(zhuǎn)換后的坐標(biāo)影響達(dá)數(shù)分米，因此必須給予重視。

由于我國(guó)西部地區(qū)平均海拔高度較高，高程異常精度較差，經(jīng)度值較小(87°～96°)，因此，不能采用利用正常高加高程異常值求大地高，再由空間公共已知點(diǎn)求轉(zhuǎn)換參數(shù)，實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的方法。而在東部地區(qū)，平均海拔低，經(jīng)度值較大(119°)，高程異常精度較好(±0.5 m)，因此，在一些精度要求不是很高的情況下，可采用此方式進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，再將轉(zhuǎn)換后的坐標(biāo)投影到平面，實(shí)現(xiàn)WGS-84坐標(biāo)向國(guó)家或地方平面坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換。

[1]張 勤，李家權(quán).GPS測(cè)量原理及應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社，2005.

[2]張 勤，王 利.GPS坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中高程異常誤差影響規(guī)律研究[J].測(cè)繪通報(bào)，2001(6):21-22.

[3]姜晨光，蓋玉松.我國(guó)GPS高程異常的調(diào)查與分析[J].勘查科學(xué)技術(shù)，2003(1):37-38.