脆性材料動態(tài)強度應變率效應*

嚴 成，歐卓成，段卓平，黃風雷

(北京理工大學爆炸科學與技術國家重點實驗室，北京 100081)

脆性材料在動態(tài)加載下比在準靜態(tài)加載下具有更高的承載能力，或者說，材料的動態(tài)破壞強度高于靜態(tài)破壞強度。這種現(xiàn)象常被稱為材料動態(tài)破壞強度的應變率效應。該問題的研究深受關注。

一方面，作為材料靜態(tài)強度理論的自然拓展，人們假設材料動態(tài)強度是與應變率相關的材料特征參數(shù)，并結(jié)合各種各樣的瞬時破壞理論如最大應力準則、最大應變準則和最大應變能準則等，試圖建立各類材料的動態(tài)強度與應變率之間的函數(shù)關系，并且提出了許多經(jīng)驗或半經(jīng)驗的應變率相關的動態(tài)破壞準則［1-6］。然而實驗數(shù)據(jù)離散度大，妨礙了人們對于規(guī)律的總結(jié)，難以滿足科學研究甚至工程應用的需要［7］。此外，在探索材料動態(tài)破壞的應變率效應的物理機理方面也遇到很大困難。

另一方面，從物理機制角度看，材料動態(tài)破壞是材料內(nèi)部原子鍵、分子鍵破裂，微缺陷生成及發(fā)展乃至宏微觀孔洞聚合，裂紋擴展等因素導致的一個復雜的損傷演化過程;而完成這一過程必然需要一定的時間，另外時間也是表示應變率的重要因素。基于此，學者們開始關注并提出了眾多與時間相關的動態(tài)破壞準則。如 B.Steverding 等［8］提出了臨界時間準則，V.S.Nikiphorovski等［9］提出了沖量準則，用來表征材料動態(tài)破壞的時間特征;J.F.Kalthoff等［10］、D.A.Shockey 等［11］、K.Ravi-Chandar等［12］等相繼提出了材料特征時間的概念，認為材料動態(tài)破壞存在一個與材料性質(zhì)相關的特征時間參數(shù);N.Morozov等［13］證明了矩形脈沖作用下動態(tài)應力強度因子KI(t)的發(fā)散性質(zhì)，說明瞬時動態(tài)斷裂準則存在嚴重缺陷，并提出了有限結(jié)構-時間破壞準則，認為材料的動態(tài)破壞將由破壞生成時間τ和臨界破壞尺寸d這2個材料參數(shù)決定。有限結(jié)構-時間破壞準則反映材料動態(tài)破壞過程的時間和空間兩方面的特征。尤其是臨界破壞尺寸的引入，更是當前臨界距離理論［14］和有限斷裂力學［15］理論的核心。此外，戚承志等［16］指出:時間因素的引入加深了人們對于材料變形及破壞現(xiàn)象的認識，使時間因素顯現(xiàn)出來，成為決定性因素之一;錢七虎等［17］認為:材料的變形與破壞有時間特性，即材料變形及破壞依賴于時間因素。

最近，D.M.Cotsovos等［7］提出動載荷下材料的動態(tài)響應行為主要是由材料的慣性和加載波特性所決定的，并使用有限元分析結(jié)合材料靜態(tài)參數(shù)得到了與材料動態(tài)響應實驗數(shù)據(jù)符合較好的數(shù)值結(jié)果。

與靜態(tài)破壞相比，動態(tài)破壞因與時間相關，使強度性質(zhì)表現(xiàn)出本質(zhì)上不同的特點。一方面需要考慮破壞的時間過程;另一方面，由于考慮時間因素，破壞過程是瞬態(tài)非平衡過程，慣性效應及狀態(tài)的非均勻性成為需要考慮的因素。基于上述考慮，本文中在一維應力條件下，結(jié)合有限結(jié)構-時間破壞準則［13］，對動態(tài)拉伸載荷下脆性材料動態(tài)破壞強度的應變率效應進行理論分析，擬得到材料動態(tài)破壞強度與應變率之間關系的解析表達式，并對結(jié)果進行必要的分析和討論。

1 理論模型及求解

如圖1所示，考慮半無限長均勻線彈性桿在動態(tài)拉伸載荷下的破壞問題。設桿的左端與坐標原點重合。從t=0時刻開始，桿端受到動載荷(ξ)=σ(0，t)的作用。于是，將產(chǎn)生一維應力彈性平面波在桿中由左向右傳播。假設x=xc為該桿的最薄弱截面，稱之為特征破壞截面，當外載荷滿足一定的破壞條件時，桿將在特征破壞截面處發(fā)生破壞。

按照上述模型，其運動方程為

式中:u=u(x，t)為待求解的位移場;ρ是一維應力彈性波速;E為彈性模量，ρ為桿材料密度。桿左端邊界條件為

圖1 桿中一維應力波Fig.1 One-dimensional stress wave in a bar

假設初始時刻桿處于靜止狀態(tài)，則有初始條件

式(1)～(3)構成本模型的定解問題。

方程(1)是標準的一維波動方程。在初始條件(2)和邊界條件(3)下，易得到該定解問題的通解［18］

圖2 邊界條件Fig.2 Boundary condition

以下，將寫出給定邊界條件下通解(4)的表達式。假設邊界動態(tài)拉伸載荷為一梯形脈沖(見圖2)

式中:k1、k2為加載曲線的斜率，而ξa、ξb、ξu為邊界加載曲線上各段直線分界所對應的時間點。

將邊界條件(5)代入通解(4)，可得桿中位移場u(x，t)、應變場ε(x，t)和應力場σ(x，t)如下

按照 N.Morozov 等［13］的理論，結(jié)構-時間準則可寫成

式中:τ是破壞生成時間，δ是材料破壞特征長度，σs為材料靜態(tài)拉伸強度。

如前所述，設材料在t=tc時刻于特征破壞面x=xc處發(fā)生破壞。xc/cb為波傳播到破壞點的時間;由于應力波在線彈性材料中傳播時波形不變，因此，ta、tb、tu分別對應于邊界載荷波形中的ξa、ξb、ξu;記Δ為從ta至完全破壞的時間。注意，當將式(8)代入破壞準則式(9)時，對于不同形式的邊界載荷(即載荷幅度、加載率以及載荷作用時間與材料破壞生成時間的關系)，材料動態(tài)破壞準則的具體數(shù)學表達形式是不同的。按照圖1所示的邊界載荷形式，斷裂準則呈如下3種形式。

圖3 經(jīng)過x c的入射波形Fig.3 Temporal curves at x=x c

(1)若xc/cb≤tc-τ＜tc≤ta，如圖3(a)所示，有

(2)若ta＜tc-τ＜tc≤tb，如圖3(b)所示，有

(3)若xc/cb＜tc－τ≤ta≤tc≤tb，如圖3(c)所示，則有

式中:σc是使材料發(fā)生破壞的邊界應力幅值，也就是所謂的動態(tài)破壞強度;0≤Δ≤τ。

2 結(jié)果分析

由式(11)可以看出，對于不同的邊界載荷形式，材料表現(xiàn)出不同的動態(tài)破壞強度。換言之，動態(tài)破壞強度不僅與加載率和材料靜態(tài)性質(zhì)(破壞強度、動態(tài)破壞生成時間和動態(tài)破壞特征長度)相關，還依賴于外載荷波形與材料特征參數(shù)的關系。這意味著，與靜態(tài)破壞強度是材料的內(nèi)稟性質(zhì)完全不同，材料的動態(tài)破壞強度不是材料的內(nèi)稟特征性質(zhì)。也就是說，同一種材料在不同的外載荷條件下會表現(xiàn)出不同的動態(tài)破壞強度，動態(tài)破壞強度的應變率效應表現(xiàn)出明顯的結(jié)構響應特征。事實上，動態(tài)破壞強度不是材料的內(nèi)稟性質(zhì)這一概念已開始得到一些學者的關注。最近，D.M.Cotsovos等［7］對脆性材料動態(tài)破壞過程進行了有限元數(shù)值分析，指出導致動態(tài)材料強度的主要因素是材料的結(jié)構動態(tài)響應和入射脈沖結(jié)構特征以及他們之間的關系，而不斷提高的材料強度并不能視作是材料的內(nèi)稟性質(zhì);并且，由于所謂的動態(tài)破壞強度已不再具有材料內(nèi)稟特征參數(shù)的特征，而以“動態(tài)臨界承載能力”來形容更加貼切，從而可以減少不必要的概念混淆。顯然，上述思想與本文的理論結(jié)果是吻合的。

由式(11)還可看出，材料的動態(tài)臨界承載能力可由外載荷和材料靜態(tài)參數(shù)以及破壞生成時間和特征長度完全確定，這是材料動態(tài)破壞應變率效應的結(jié)構響應特征導致的必然結(jié)果。實際上，D.M.Cotsovos等［7］也曾在有限元數(shù)值模擬中得到類似的結(jié)果，指出:脆性材料的動態(tài)臨界承載能力可由外載荷形式、材料靜態(tài)破壞強度以及其他材料靜態(tài)特征參數(shù)如質(zhì)量密度和彈性常數(shù)等完全確定。按照這一結(jié)果，在脆性材料動態(tài)破壞研究中已無須再尋找動態(tài)破壞參數(shù)，這無論對材料動態(tài)破壞的理論研究還是實際工程應用都具有重大意義。

另一方面，若σ0＜σc，則材料在入射脈沖的整個上升前沿都無法滿足破壞準則，使得材料破壞只可能產(chǎn)生于入射脈沖的平臺區(qū)，由此可確定材料動態(tài)破壞的下限。令σ0=σs且τ＜T，此時破壞準則為式(11b)，故有σc，min=σs，即材料動態(tài)臨界承載能力的下限為其靜態(tài)破壞強度。此外，類似地容易推知，當入射脈沖幅值滿足σs＜σ0＜σc時，有σs=σc，min＜σc＜σc，max。上式表明，隨著邊界載荷的不同特征，材料動態(tài)臨界承載能力可以取到靜態(tài)強度與最大動態(tài)臨界承載能力之間的一切值，這正是導致動態(tài)臨界承載能力實驗結(jié)果離散度較大的內(nèi)在因素。

3結(jié)論

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