一種基于證據推理的混合型灰色多屬性決策法

陳孝新

（江西財經大學 信息管理學院，南昌 330013）

0 引言

目前，對于屬性值分別為精確數、區間數、模糊數的多屬性決策問題研究，都取得了一定的進展[1-2]。而在工程實踐中常見的多屬性決策問題是具有定量和定性屬性的。這類問題通常稱為混合型多屬性決策問題。對于這類決策問題，通常有兩種解決方法：一是將定性屬性先轉換成區間數，或三角模糊數，或梯形模糊數，再結合TOPSIS方法，或灰色關聯方法，或投影方法等[3-5]。二是許多學者[6-14]運用證據推理算法來解決這類決策問題，即針對這種多屬性決策問題，將證據理論與模糊數學、效用理論進行結合，提出一些具體的求解模型與方法。如，Yang和Singh[6]提出一種基于證據理論的證據推理方法，用以解決屬性值不完全的多屬性決策問題；Yang，Wang，Xu等人[7-9]在前面研究的基礎上，進一步提出了任何一個證據理論的證據合成過程必須滿足四個公理，用于指導多屬性決策中決策矩陣不完全的評價與排序問題；Yang，Wang和王堅強等人[10-13]在前面研究的基礎上，對不完全信息多屬性決策問題的證據推理算法又進行了進一步改進和完善，使得該方法能夠有效地處理屬性值為模糊、區間和未知等不同情形的多屬性決策問題。

在決策分析中,準確地獲取決策者真實的偏好信息是極為重要的,由于受主觀和客觀等眾多因素的干擾,決策者的偏好信息往往是不精確的或不完全的,即獲取的決策信息包含“虧損”與“朦朧”[14]兩種情況。在“朦朧”情況下,決策的信息矩陣雖然已知,但各評判對象的特征值只知大致范圍,而不知其確切的值。這種只知大概范圍而不知其確切值的數稱為灰數。包含有灰數的混合型決策問題稱為混合型灰色決策問題。本文主要研究屬性值同時具有清晰數數、區間灰數、語言值的混合型灰色多屬性決策問題。

設某個混合型灰色多屬性決策問題有n個方案集，m個屬性集其中p個定量屬性，不妨設為S1,S2,…,Sp，其余為定性屬性。方案Ai在定量屬性Sj下的屬性值為非負區間灰數每個方案在所有定性屬性下有N個自然語言評價等級方案Ai在定性屬性Sk下的評價值為為信任度，表示決策者相信方案Ai在定性屬性Sk下屬于等級Ht的程度。原始決策矩陣記為Dg=(dij)n×m，其中再設屬性權重向量w=(w1,w2,…,wm)為已知，其中

1 問題的求解過程

證據推理算法是基于信度決策矩陣和D-S理論的證據合成規則的多屬性集成而發展的。不同于一般的多屬性決策方法，它使用的是信度決策矩陣，其方案的每個屬性使用信度結構的分成評價來描述的。這樣做的好處在于所使用的分成評價不僅能對精確數據建模，也能處理隨機、模糊、灰色等不確定性。

1.1 灰色信息的白化

定量屬性類型分為效益型和成本型，其中效益型屬性是指屬性值越大越好的屬性，成本型屬性是指屬性值越小越好的屬性。記I1為定量效益型屬性集合，I2為定量成本型屬性集合。

定義1設方案Ai在定量屬性Sj下的非負區間灰數屬性值λij∈[0,1]為區間灰數的等權白化值。

(1)當λij=0(i=1,2,…,n;j=1,2,…,p)時，稱決策矩陣為上限白化陣，且稱由上限白化陣導出的最優方案為上限最優方案；

(2)當λij=1(i=1,2,…,n;j=1,2,…,p)時，稱決策矩陣為下限白化陣，且稱由下限白化陣導出的最優方案為下限最優方案；

(3)當 0＜λij＜1(i=1,2,…,n;j=1,2,…,p)時，稱決策矩陣為等權白化陣，且稱由等權白化陣導出的最優方案為等權最優方案。特別當時，相應的決策矩陣稱為等權均值白化陣和由等權均值白化陣導出的最優方案為等權均值最優方案。

上限最優方案體現決策者對決策結果持樂觀態度，是風險愛好者。下限最優方案體現決策者對決策結果持悲觀態度，是風險厭惡者。等權最優方案體現決策者對決策結果持折中態度，是折中主義者。

1.2 定量屬性的信用結構表示

由于定量屬性通常是用數量來度量的，因此，為了使用證據推理方法來處理灰色多屬性決策問題，所有的數量數據需要轉換成已經定好的評價等級的形式。可以通過效用值來實行這種轉換。假設每個語言評價等級的效用已知，且記為u(Hl)(l=1,2,…,N)。不失一般性，設H1,HN分別是最低評價等級和最高評價等級，他們的效用為u(H1)=0,u(HN)=1。對于所有的評價等級效用有0=u(H1)＜u(H2)＜…＜u(HN)=1。

根據效用值等價原理[8]，對于效益型屬性，可以由下列等式

類似，對于成本型屬性，可以由下列等式

來決定定量屬性Sj(j=1,2,…,p)的N個評價等級值x1,j,x2,j,…,xN,j。如果這些值與決策者的偏好不一致，決策者可以進行適當的調整。尤其，對于x1,j要調整小一些，對于xN,j要調整大一些，以便屬性Sj的白化值能落在連續兩個評價等級之間。

設X1,j,X2,j,…,XN,j是定量屬性Sj的調整評價等級。對于定量屬性Sj的任一白化值，存在Xl,j,Xl+1,j，使得這意味我們可以用這兩個評價等級來表示屬性值的特性，并且可以用下列兩算式來計算屬性值被評價為等級Xl,j和Xl+1,j的信用度βl,j和βl+1,j，即

1.3 方案屬性值集成的證據推理解析算法[13]

文獻[13]進一步提出了證據推理解析算法，并且證明了它與證據推理遞歸算法是等價的。證據推理解析算法的過程是首先用下列方程把原始信用度轉換成基本概率信用度：

注意到mass函數是對整個集合H分配的，mH,i是沒有分配給任何單個評價等級的，把它分成兩部分和其中是由方案Al在屬性Si下的相對重要性引起的，是由方案Al在屬性Si下的評價的不完全性引起的。

其次，通過下列公式把在m個屬性的基本概率mass函數合成一個集成基本概率分配：

其中

最后，通過下列方程把集成基本概率分配歸一成總信度：

其中βn(Al)和βH(Al)表示集成基本概率分配的總信度。集成基本概率分配也是一個分配評價向量，可以記為S(Si(Al))={(Hn,βn(Al)),n=1,2,…,N}。

上述公式(4)到公式(13)一起構成一個完整證據推理解析算法。

根據已經得到每個評價等級Hn的效用值u(Hn)，則方案Al的最大效用值，最小效用值，平均效用值分別為

很顯然，如果在信度矩陣中的所有原始評價S(Si(Al))是完全的，則βH(Al)=0。

最后對方案進行排序：一般用平均效用值的大小就可得到整個方案的排序。但如果出現平均效用值相等的情況，再用文獻[15]的區間數均值—方差排序法，則可得到整個方案的排序。

2 實例分析

某國家國防部擬發展一種戰術導彈武器裝備，研制部門提供了4種導彈型號A1,A2,A3,A4的有關信息。該國防部派出的專家組對這4種導彈的6個戰術技術指標(屬性)S1─命中精度(公里)；S2─彈頭載荷(公斤)；S3─機動性能(公里/每小時)；S4─價格(百萬美元/每枚)；S5─可靠性；S6─可維修性進行了詳細考察，考察結果見下表1。對于定量屬性以區間灰數表示，對于每個定性屬性有5個等級：低(H1)、較低 (H2)、 一 般 (H3)、高 (H4)、極 高 (H5)，即H={H1,H2,H3,H4,H5}。每個等級的效用值分別為：u(H1)=0，u(H2)=0.35，u(H3)=0.55，u(H4)=0.85，u(H5)=1。已知屬性權重向量為w=(0.2,0.2,0.1,0.1,0.2,0.2)，問應選擇哪一種導彈以使決策的總效用最大。

在各項定量屬性中，命中精度和價格為成本型，彈頭載荷與機動性能為效益型。

由于屬性命中精度和彈頭載荷是清晰數，因此不需要白化。屬性S3的下限白化為(55，30，54，34)，上限白化為(65，38，62，46)，等權均值白化為(60,34,58,40)。屬性S4的上限白化為(4.7,4.0,5.2,4.4),下限白化為(5.7,5.2,6.0,5.0),等權均值白化為(5.2,4.6,5.6,4.7).

按照公式(1)到公式(17)求得上限白化的4個方案排序為

同理，分別求得下限白化，等權均值白化的4個方案的排序為

從上述三種決策結果可知，采取上限白化和等權均值白化的決策者選擇A1型號導彈武器作為最優發展導彈武器，而采取下限白化的決策者選擇A3型號導彈武器作為最優發展導彈武器。

表1 4種不同型號導彈武器性能指標

3 結束語

針對決策方案的屬性值為區間灰數與確定的語言等級，并且屬性權重完全已知的混合型灰色多屬性決策問題，提出了一種基于證據推理的灰色多屬性決策方法。該方法在供應伙伴選擇、產品選型、投資環境評價與選擇、產品選型、投資組合、人員評估等相關決策領域，具有較廣泛的應用價值。

本文引入的對區間灰數采取上限白化，等權均值白化和下限白化的三種決策方法在實際應用中，一般會出現不同的決策結果，決策者通常應根據自己的偏好和決策問題的具體情況選擇相應的決策方法。風險愛好者選擇對區間灰數上限白化的決策方法，風險中性者選擇對區間灰數等權均值白化的決策方法，風險厭惡者選擇對區間灰數下限白化的決策方法。

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