常利率下復合Poisson-Geometric雙險種模型

甘 柳,歐陽資生

(湖南商學院 財政與金融學院，長沙 410205)

1 預備知識及模型定義

文獻[3]提出了一類稱為復合Poisson-Geometric過程的計數過程,并建立了如下模型∶

其中U(t)為保險公司在t時刻的盈余量,c為單位時間內收取的保費,u≥0為公司的初始盈余,{N(t);t≥0}是參數為λ,ρ的復合Poisson-Geometric過程,Xi表示第i次索賠額。針對模型(1),文獻[3]給出了其破產概率所滿足的更新方程,并在索賠額Xi服從指數分布時,得到了破產概率的顯示表達式。

文獻[4]在考慮了常利率的情況下將模型(1)推廣為如下形式∶

本文給出了模型(3)初始資產為u時生存概率所滿足的積分方程,以及初始資產為0時的生存概率的精確解。

為了保證保險公司的經營穩定,每個險種的單位時間內的保費收入應都大于其單位時間內的理賠,即

這里c=c1+c2.本文恒設式(4)成立。

定義1 設λ＞0,0≤ρ＜1,稱{N(t);t≥0}是參數為λ,ρ的復合Poisson-Geometric過程,如果

(1)N(0)=0;

(2){N(t);t≥0}具有平穩獨立增量;

(3)對t≥0 有N(t)～PG(λt,ρ).

注1：易得

注2：當ρ=0時,復合Poisson-Geometric過程退化成Poisson過程,可見前者是后者的推廣。

2 生存概率所滿足的更新方程

破產時刻表示為Tδ=inf{t:Uδ(t)＜0},則破產概率表示為ψδ(u)=P(Tδ＜∞|Uδ=u),生存概率為φδ(u)=1-ψδ(u)。

定理2 模型(3)的生存概率φδ(u)所滿足的更新方程為

證明：對于充分小的時間Δt,考慮(0,Δt]內發生索賠的情況,利用全概率公式有

3 φδ(0)的精確解

然后將Fρ(x)和Gρ(x)的平衡分布F1ρ(x)與G1ρ(x)代入上式得到

其中Zδ?G1ρ是Zδ和G1ρ(u)的Stieltjes卷積。

對式(7)兩邊取Laplace變換并整理得到

式(8)化簡為

利用rδ(0)=1,式(10)中令s=0 就得到

由于δ＞0,利用常微分方程的方法我們解得式(9)

[1] GrandellJ.Aspects of RiskTheory[M].NewYork∶SpringerVerlag,1991.

[2] Sundt B,Teugels J L.Ruin Estimate under Interest Force[J].Insurance∶Math Econom,1995,(16).

[3] 毛澤春,劉錦萼.索賠次數為復合Poisson-Geometric過程的風險模型及破產概率[J].應用數學學報,2005,26(3).

[4] 熊雙平.索賠次數為復合Poisson-Geometric過程的常利率風險模型[J].經濟數學,2006,23(1).

[5] 熊雙平.索賠次數為復合Poisson-Geometric過程的常利率風險模型的罰金函數[J].經濟數學,2008,25(2).