類比法在物理解題中的應用

付愛明

(江西省臨川第二中學,江西撫州 344100)

在用類比法解決物理問題時,首先是現象類比,其次是過程類比、模型類比、方法類比,最后是結論類比.在用類比法解題時,這幾個類比環節一般都是有可能涉及到的,本文將從這幾個類比環節分別進行分析.

1 現象類比

例1.如圖1所示,ab是半徑為R的圓的一條直徑,該圓處于勻強電場中,場強為E,在圓周平面內,將一帶正電q的小球從a點以相同的動能拋出,拋出方向不同時,小球會經過圓周上不同的點,在這些所有的點中,到達c點時小球的動能最大,已知∠cab=30°,若不計重力和空氣阻力,試求:

(1)電場方向與弦ac 間的夾角θ;

(2)若小球在 a點時初速度與電場方向垂直,則小球恰好能落在c點,則初動能為多少?

圖1

圖2

解析:乍看此題,簡直無從下手.如果用熟悉的重力場與電場進行類比,就能找到解題的思路,“到達c點時小球的動能最大”隱含著重要條件,在重力場中,從環上a點沿不同方向以相同速率拋出小球,落到圓環上與環相碰,與環相碰前速率最大的球的落點應是環的最低點c,因為a和c兩點間的高度差最大,重力做功最多,轉化的動能也最多(見圖2)與此類似,圖 1中的 c點也就是電場中的最“低”點,即電勢最低點,小球到達 c點時速率最大,由于小球帶正電,所以電場方向應是O→c方向.

(1)如圖 3所示,連 Oc并延長,因為Oc=Oa ,所以∠acO=∠caO=30°,Oc為電場方向.

圖3

點評:重力場是我們熟知的場,對重力場的特點、物體在重力場中的運動也研究得比較透徹,將重力場來與電場進行類比,再將小球在重力場中的運動來與電場中的運動類比,就能從重力場強度的方向得出電場強度的方向.

2 過程類比

當兩個物理現象不相同時,我們可以將它們的物理過程進行類比,發現它們的物理過程是相似的或相近的,都遵循相同的物理規律,這樣就可以將不熟悉的物理過程轉化為熟悉的物理過程.

圖4

例2.如圖4所示,光滑圓弧形軌道和一足夠長的光滑水平軌道相連,水平軌道上方有一足夠長的光滑桿,上套一光滑金屬圓環,金屬圓環的中心軸線和水平軌道位置重合,在弧形軌道上高h的地方無初速釋放一塊磁鐵B(可視為質點),B下滑至水平軌道后繼續向前運動向A環接近,設A、B的質量分別為mA、mB,試求出金屬環獲得的最大速度和全過程中金屬環和磁鐵所獲得的總內能.

解析:本題所述的物理過程可與圖5所示的物理過程相比較,滑塊 B從高h的光滑軌道上無初速下滑,滑至光滑水平軌道上與滑塊 A相碰,相碰后 A、B粘合在一起,求A獲得的最大速度和系統增加的內能.

圖5

B下滑時機械能守恒,可求出B與A相碰前的速度;B與A相碰,水平動量守恒,A、B系統損失的機械能就是系統增加的內能.圖4中,磁鐵 B下滑機械能守恒,進入水平軌道與 A環相互作用,產生電磁感應現象,由于A和B的相互作用力是內力,水平方向動量守恒,A、B組成的系統損失的機械能轉化為系統內的電能,進而轉化為焦耳熱.磁鐵B下滑到水平軌道時的速度為

磁鐵B與A環相互作用,水平動量守恒,mBvB=(mA+mB)v,則 A環的最大速度為

金屬環和磁鐵中一共獲得的內能為

點評:圖5所示的物理過程是我們非常熟悉的過程,但本題所述的過程可能比較生疏.通過類比,發現兩者過程相似,遵循的規律、運用的方法都一樣.生題也就不生了,類比也是以“新”比“老”,以“老”帶 “新”的一種研究問題的方法.

3 模型類比

如果能從兩個物理問題所對應的物理模型中所具有的一些明顯相同的特性出發,經過類比,由此可以推斷出它們具有更多的相同的特性,這就是模型類比.模型類比是將事物的本質屬性進行類比,是更高層次的類比.在類比時要注意:有的物理模型形異而質同,而有的模型形同而質異,切忌不加分析濫用類比,引起知識的負遷移.

例3.如圖6所示,在光滑絕緣水平面上有兩個帶正電的小球,A球質量為m,B球的質量為2m,開始時兩球相距很遠,今 A球以初速度v0向B球接近,求:

(1)當兩球距離最近時,兩球速度的大小.

(2)當兩球距離又變得最遠時,兩球速度的大小.

解析:這是一個點電荷相互作用的運動模型,又是 A向B靠近,然后由于斥力,又分開最遠.這與彈簧連接體的運動模型極為相似.

不妨先來看這樣一個問題:在光滑的水平面上有質量分別為 mA和mB的兩個物體A和B(圖7),它們用一彈簧相連,開始彈簧處于自由狀態,今給 A一個向右的瞬時水平沖量,使 A獲得速度v0,進而壓縮彈簧,使B也開始運動.求:

(1)系統具有最大的彈性勢能;

(2)當彈簧再次恢復原長時,A和B速度的大小.

圖6

圖7

圖7所示模型的特點是:A通過彈簧和B相互作用,系統的動能和勢能相互轉化,系統的水平動量守恒,同樣圖6所示的電荷相互作用的運動模型也具有類似的特點:A和B通過電場相互作用,系統的機械能(這里是動能)和電勢能相互轉化,且電場力是內力,兩電荷組成的系統水平動量守恒.

再進一步分析可以看出,圖7中當彈簧壓縮量最大時,系統彈簧彈性勢能最大,A和B的速度相等;當彈簧再次恢復原長時,彈性勢能又轉化為A、B的動能,從彈簧處于原長狀態開始,經壓縮到最大,又再次恢復到原長,這相當于兩個物體經歷了一次彈性碰撞,可以用彈性碰撞的有關知識解出 A和B的速度.同樣,圖6中當兩電荷相距最近時,系統具有的電勢能最大,兩小球速度相等;當兩球又相距最遠,電勢能可以不考慮時,這一過程中電勢能又轉化為兩小球的動能,從 A和B相互作用開始,直到 A、B相距最遠,類似一次彈性碰撞過程,同樣可以用彈性碰撞的知識求解A、B的速度.能夠搞清圖7中彈簧連接體模型的運動特點,能量、動量轉化關系,會解該題的話,也一定能分析出圖6所示的電荷相互作用運動模型的運動特點,能量、動量轉化關系.

該題中 A、B兩球距離最近時,兩球具有相同的速度,由水平動量守恒有

由此解出共同速度

這一過程中,A球的動能減少,有一部分轉化為系統的電勢能.由于靜電斥力作用,A球減速,B球加速,兩者相距越來越遠,當它們相距很遠時,系統電勢能可視為零,以 A剛開始運動為初狀態,以兩球相距很遠為末狀態,A、B速度分別為vA和vB.由能量守恒和動量守恒有

解得 A和B的速度分別為

點評:本題和圖7所示的彈簧連接體問題,雖然外形不同,表述不同,但模型是相似的,物理本質和兩小球的彈性碰撞模型相似.外力不做功,內力是保守力,系統水平動量守恒,系統中能量相互轉化,沒有熱損失,有了模型的類比,會解一道題,就會解答一類題目.模型的類比起到了“以一當十”的作用.

4 方法類比

過程相似,模型相似的物理問題其解題方法也可能相似,我們也可以用類比的方法,將相似問題的方法進行類比,從而迅速找到解題的途徑.

圖8

例4.在無引力作用的宇宙空間里的環形空間實驗室(宇宙科研基地)中,要認為模擬地球上的重力,可以采取使其自轉的辦法,如圖8所示,外側壁就是“地板”,若要使“地板”上的物體和地球上有同樣的重力,自轉角速度 ω應為(其中 g為地球表面的重力加速度,R為環形實驗室的外半徑)

點評:本題可以這樣理解:如果環形空間實驗室不自轉,人將會漂浮起來,完全失重.而我們在地球上是有重力,是因為人感覺到地面的支持力,通過方法類比,環形空間實驗室無非是讓人感覺到環形空間實驗室對人的支持力.

5 結論類比

將不同物理問題的結論進行類比,發現它們有時竟有驚人的相似,人造衛星繞地球做勻速圓周運動是天體的宏觀運動,電子繞核做圓周運動是微觀世界的運動,但兩者在現象、過程、運動模型,甚至結論都十分相似,人造衛星繞地球做圓周運動時,總能量為勢能(這里是引力勢能,中學中尚未提及)和動能之和;電子繞核做勻速圓周,總能量也為電勢能和動能之和.運動半徑增大,人造衛星的運行速度減小,周期變大;同樣電子軌道半徑增大,電子運行的速率也減小,旋轉周期變大.所不同的是,人造衛星的軌道半徑是任意的,而電子軌道半徑是特定的,量子化的.將這些結論進行類比后,就可以倒過來套用某個已知的結論,從而達到迅速作答,從簡解題的目的.

例5.人造衛星在運行過程中由于受到電磁阻力和稀薄空氣的阻力作用,其總機械能逐漸減小,因此

(A)離地高度降低,運行速度變大.

(B)離地高度降低,運行速度變小.

(C)離地高度增加,運行速度變大.

(D)離地高度增加,運行速度變小.

解析:我們只知道人造衛星的總機械能等于勢能和動能之和,限于知識,只能判斷出(C)明顯不對,其他3個答案難以定奪,我們將人造衛星的運動與電子繞核運轉類比,電子運行時總能量為電勢能(為負)和動能(為正)之和,總能量是負值,總能量減小時,軌道半徑變小,(量子數 n變小),電子處于低軌道上,處于低能態,但電子的動能變大.由此類比,可知人造衛星的總機械能減小時,其軌道半徑減小,即離地高度降低,但低軌道上的運行速度要比原軌道(高軌道)的速度大,故選(A).

點評:通過人造衛星與電子繞核運動進行類比,把電子繞核做勻速圓周運動的結論直接運用到人造衛星上,選項立即可判斷出來.

類比是一種知識遷移,它對學生的思維能力,分析問題能力的培養,大有裨益.許多形式不同的物理習題具有相同或相似的特征,只要理解、掌握了一個問題的特征和解法,應用類比,這類問題就迎刃而解了.從一定意義上說,這是一個把學生從題海戰術中解放出來的一種有效方法.