妙用光學規律 巧解運動問題

葉玉琴

(安徽省安慶市第二中學,安徽安慶 246000)

例1.如圖1所示,P 、O、Q 為河岸上的 3點,其中 P、O連線垂直河岸,某人通過游泳(v1=3 m/s)和步行(v2=5 m/s)由P出發前往目的地Q.已知河寬L=100 m,O與Q間距150 m,問此人選擇什么樣的路徑可以使他經歷的時間最短?最短時間為多少?

圖1

解析1:這是一道看上去非常簡單的運動學問題.問題的關鍵是此人在何處上岸,不妨假設此人在與O相距為x m的M點上岸,如圖2所示,那么此人應該先沿PM方向游泳到M點再步行至目的地Q.

根據位移公式s=vt很容易得到

這題意及列式都比較簡單,但 t(x)是關于 x的復合函數,利用中等數學知識難以求出 t(x)的最小值.下面利用高等數學求解.

先求t(x)關于x的一階導數有

當 x=75時 t″(75)＞0,根據費馬原理可知

顯而易見,以上的計算過程不僅十分繁難,而且中學生現有的數學知識難以求解,但類比光運動的特點可使這類問題的求解簡單易行.

圖3

兩種解法結果是一致的,但第2種方法由于類比了光的折射,巧妙地借助規律,因此非常簡單.

圖4

例2.湖灣成頂角為 α的楔形,岸上住有一漁夫,他的房子在 A點,如圖 4所示,從A點到他離最近的C點之距離為h,而到湖灣的一頭,即到D點之距離為.湖對岸 B處有漁夫好友的房子,B點位置與A點相對于湖灣對稱.漁夫擁有一只小船,他可以以速度v沿河岸步行或以速度乘船在湖中劃行.求他從自己家中出發到好友家去所需要的最短時間t.

解析:本題可以利用高等數學求解.由于 A、B對稱,所以路徑關于角α的平分線對稱,因此漁夫沿如圖5所示的 A→E→G→B路徑行走,設 E與D間距為x,則有

從上式不難看出,通過中等數學無法求解,即使利用高等數學來解也較繁難,但如果類比光學規律就可以很容易求解.本題中漁夫的運動十分類似光在棱鏡中的折射情形,根據光學規律,光從 A點傳播到B點的光路,同所有其他的路徑相比,需時最少.又由于 A、B關于“棱鏡”(即湖灣)對稱和光路可逆性,所以在“棱鏡”中的光線必垂直于角α的平分線,因此漁夫應該沿如圖5所示的光路行走,即先沿 AE(令 γ為入射角)行走到湖灣E點,再乘船沿EG方向(EG垂直于角α的平分線)劃行渡過湖灣,然后沿GB方向步行到B點.

圖5

因此所求的時間為