利用“等效思維”求解彈簧連接體問題

陳 穆

(江蘇省揚州中學(xué)教育集團樹人學(xué)校,江蘇揚州 225000)

物體與彈簧相連接的動態(tài)平衡問題,可以說是高中物理力學(xué)中的“老、大、難”問題.“老”是因為逢考必有的“熱點問題”;“大”是因為與其他問題極容易組合成較難的綜合題;“難”則是因為彈簧的彈力是一個動態(tài)變化的,給學(xué)生總是有一種“捉摸不定”的感覺,所以稱之為“難”.本文關(guān)于“彈簧連接體問題”就是其中的一個典型難點.筆者以為,如果用“等效思維”來突破這一難點則有著事半功倍之奇效.

所謂等效思維,就是指人們在處理問題時,采用相同性質(zhì)事物間等效替代的思考方法.如在兩個或幾個不同的物理過程中,當(dāng)某兩個或幾個事件在某方面或某種意義上產(chǎn)生的效果相同,那么就說明這些事件具有等效性.“等效思維”是我們解決物理問題的最基本、最重要的思維方法之一.在中學(xué)物理中,常見的等效形式有:等效力的替代、等效過程替代、等效運動替代、等效電路替代等等.本文利用“等效過程替代”方法來處理“彈簧連接體”問題.

例1.如圖1所示,一個質(zhì)量為 M的物體放在水平地面上,物體上方安裝一個長度為 L、勁度系數(shù)為k的輕彈簧,開始時彈簧為原長.現(xiàn)用手拉著彈簧上端的P點緩慢向上移動,直到物體離開地面一段距離H,則彈簧的上端P移動的距離為多少?

圖1

圖2

圖3

解析:此題的難點顯然是這樣一個動態(tài)過程:當(dāng)物體沒有被拉起前,彈簧一邊被拉長彈力一邊在變化.當(dāng)彈簧伸長距離時,彈力等于物重,即可以拉起物體(如圖2),物體被緩慢拉起后再升高H距離的過程中,彈簧已經(jīng)不再伸長(如圖3).顯然,彈簧的上端P點移動的距離是由上述兩部分距離之和,即HP=H+.這為下面的難題突破做好了鋪墊.

1 兩彈簧與一物體相連情形

例2.如圖4所示,質(zhì)量為m的物塊與 A、B兩彈簧相連,B彈簧下端與地面相連.兩彈簧的勁度系數(shù)分別為k1、k2.現(xiàn)用手拉彈簧 A的上端,使 A緩慢上移,當(dāng) B彈簧的彈力變?yōu)樵瓉淼臅r,A上端移動的距離是多少?

解析:顯然,這是一個復(fù)雜的動態(tài)平衡過程:A彈簧在將物塊拉動后,在它伸長的同時,B彈簧也在恢復(fù)的過程中.這一過程就是題目的難點所在.此時,我們可由上題得到的啟發(fā),這一過程完全可等效為:首先干脆將 A彈簧認為不伸長,讓B彈簧恢復(fù)或伸長到某一狀態(tài),然后再讓 A彈簧伸長.即先將B彈簧在恢復(fù)到彈力為原來的狀態(tài),此時很明顯,B彈簧上的彈力變?yōu)樵瓉淼挠袃煞N可能:一種可能是它還處于壓縮狀態(tài)下的“”(如圖 5);另一種可能是它被拉伸狀態(tài)下的“”(如圖 6).

圖4

圖5

圖6

圖7

當(dāng)B彈簧恢復(fù)到題目中所要求的位置時,再使A彈簧拉長(如圖7),很顯然,A彈簧的上端移動的距離同樣有與B彈簧對應(yīng)的兩種情況.但不管怎么樣,A彈簧的上端移動的距離就是上述兩個距離之和.

通過這種等效思維,就可以把一個復(fù)雜的動態(tài)過程“一分為二”成“兩個獨立”的過程,這樣解決起來便得心應(yīng)手.

對應(yīng)于B彈簧的(1)、(2)兩種情形,對物塊進行受力分析,很快得出A彈簧上伸長后的彈力分別為mg和;所對應(yīng)的伸長量分別為和.最終 A彈簧上端上升的距離便分別是即和

下面一道題就是上題的變形,利用“等效過程替代”也能很快地得出正確答案.

圖8

2 兩彈簧與兩物體相連情形

例3.如圖9所示,原長分別為 L1和 L2,勁度系數(shù)分別為k1和k2的輕質(zhì)彈簧豎直地懸掛在天花板上,兩彈簧之間有一質(zhì)量為m1的物體,最下端掛著質(zhì)量為 m2的另一物體,整個裝置處于靜止?fàn)顟B(tài).現(xiàn)用一個平板把下面的物體豎直地緩慢地向上托起,直到兩個彈簧的總長度等于兩彈簧原長之和,則 m2上升的高度是多少?

解析:題中所給出的條件“直到兩個彈簧的總長度等于兩彈簧原長之和”這句話的意思是在說明兩彈簧的最終狀態(tài)是k1拉伸、k2壓縮,且 k2壓縮量等于 k1拉伸量(下式中用Δx表示).但從用平板托起 m2的過程,卻是一個很復(fù)雜的動態(tài)平衡過程:一開始用平板托起m2,k2便逐漸收縮,同時 k1開始收縮(但始終處于拉伸狀態(tài)),且 k2有一個收縮到原長后再壓縮的過程.對這個 k1、k2“兩頭都要兼顧”的復(fù)雜動態(tài)平衡問題,往往會讓人一籌莫展.如果用上述“等效過程替代”的思維方法來解決,則可達到事半功倍的效果.

將動態(tài)過程“等效替代”為:假設(shè) m1不動先讓 m2向上移動,即讓k2從拉伸狀態(tài)恢復(fù)到原長后再到壓縮狀態(tài).這一過程結(jié)束后,再讓k1收縮.顯然,m2上移的距離就是k2的形變量(下式 x2表達中前面括號中的量)與 k1的形變量(兩次伸長量之差,即為下式中的后面括號中的部分)之和.即

圖9

圖10

下面一道是根據(jù)高考題改編的,用同樣的方法,同樣可以很快地得到解決.

變式訓(xùn)練:如圖10,兩木塊的質(zhì)量分別為m1和 m2,兩輕質(zhì)彈簧的勁度系數(shù)分別為k1和k2,上面木塊壓在上面的彈簧上(但不拴接),整個系統(tǒng)處于平衡狀態(tài).現(xiàn)緩慢向上提上面的木塊,直到它剛離開上面彈簧.在這過程中下面木塊移動的距離為多少?