對自由下落的籃球受到地面最大彈力的研究

魏喜武

(安徽省宣城中學(xué),安徽宣城 242000)

有一道經(jīng)常出現(xiàn)的初中物理競賽題:怎樣測量籃球從某一高度自由落下時地面對籃球的最大彈力?

原解:把1張白紙平放在地面,然后把籃球的表面灑上水,讓籃球擊到白紙上,留下水印,然后把白紙放到體重計上,把球慢慢向下壓,當球和水印重合時,根據(jù)體重計的讀數(shù)就可知最大彈力的大小.

那么這種解答是否合理呢?下面筆者來談?wù)勛约涸诶碚撆c實驗上對這一問題的研究.

籃球在重力作用下自由下落,速度不斷發(fā)生變化,對地面產(chǎn)生一個沖力(大小為籃球受到地面的彈力).為了對籃球?qū)Φ孛鏇_力的大小有個估測,我們可以首先求出平均沖力.由牛頓第二定律的微分形式,可知

Fdt=dp.

將上式對籃球與地面接觸的時間由 t0到 t′段積分,即考慮地面對籃球作用力在這段有限時間內(nèi)的積累效應(yīng),則有

設(shè)平均沖力為 ˉF,則

即

當質(zhì)量為m的籃球,自由下落的高度為h1,反彈高度為 h2時,可得

實驗中,我們把質(zhì)量為0.58 kg的籃球從2 m的高度自由落下到水泥硬地面上反彈的高度為1.17 m,有人經(jīng)過精確測量與地面的接觸時間僅為0.019s.把這些數(shù)據(jù)代入上式 可得 ˉF=339 N.

實際上,在籃球與地面的碰撞過程中,相互作用力往往很大而且隨時間而變化,沖力應(yīng)有一個峰值Fm,如圖1所示.精確測量表示:對0.58 kg的籃球從2 m高度自由下落撞到測試臺面上時,沖力的峰值Fm可高達575 N,要比籃球自身的重力大100倍.從上面討論可知,籃球受到的平均沖力ˉF與沖力的峰值Fm相差不大,在要求不太嚴格的條件下,可以用平均沖力ˉF代替沖力的峰值Fm.那么,當我們把一張白紙平放在地面,然后把籃球的表面灑上水,讓籃球擊到白紙上,留下水印,然后把白紙放到體重計上,把球慢慢向下壓,當球和水印重合時,體重計的讀數(shù)與我們上面得到的峰值Fm是否能吻合呢?

圖1

實驗時,我們把打濕的籃球從2 m的高度自由落在白紙上,經(jīng)測定白紙上留下水印的直徑為12.5 cm,為便于觀察,在水印的邊緣用色筆著了色.然后把把白紙放到體重計上,一位學(xué)生把籃球扶在水印的中央,在籃球的上方放一塊長方形木板,讓兩位學(xué)生分別扶著課桌,踩在木板的兩端,慢慢向下使勁.當我們發(fā)現(xiàn)球和水印重合時,體重計的讀數(shù)達90.5 kg,約為900 N,比籃球沖力的峰值 Fm要大得多.那么為什么又會出現(xiàn)這樣的情況呢?下面我們來進行定性的分析.

圖2

從圖2不難看出,當籃球自由下落碰撞地面時,只有一處發(fā)生形變,而被用力擠壓的籃球有兩處發(fā)生了形變.圖2(b)中球內(nèi)空氣體積減小的量約是圖2(a)中球內(nèi)空氣體積減小量的兩倍,由此而導(dǎo)致了圖2(b)中球內(nèi)壓強也應(yīng)該比圖2(a)中球內(nèi)空氣壓強大得多.所以,只有對圖2(b)球施更大的力,才能保證兩只籃球下端的形變相同.從以上討論可知測量籃球從某一高度自由落下時地面對籃球的最大彈力Fm,可用平均沖力ˉF近似代替,但不可用擠壓籃球的形變與撞擊地面的形變來等效.

1 張三慧.大學(xué)物理學(xué)-力學(xué).北京:清華大學(xué)出版社,1999.