例談基本不等式在物理解題中的應(yīng)用

左 潔

(江蘇省泗陽中學(xué),江蘇泗陽 223700)

圖1

類型1:在力學(xué)中的應(yīng)用例 1.如圖 1所示,A是一帶有豎直立柱的木塊,總質(zhì)量為 M,位于水平地面上;B是一質(zhì)量為m可看作質(zhì)點(diǎn)的小球,通過一不可伸長的輕繩掛于立柱的頂端,懸點(diǎn)到小球的距離為l.現(xiàn)拉動(dòng)小球使繩伸直并處于水平位置,然后讓小球從靜止?fàn)顟B(tài)下擺,在小球與立柱發(fā)生碰撞前,木塊A始終未發(fā)生移動(dòng),則木塊與地面之間的靜摩擦因數(shù)至少為多大?(設(shè) A不發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng))

解析:設(shè)小球擺至位置C時(shí)細(xì)線與水平方向的夾角為θ,小球的速度為 v,分析此時(shí)小球受力,設(shè)細(xì)繩拉力為 T,如圖2所示.對小球,由動(dòng)能定理可得

在位置C滿足

圖2

圖3

對木塊,分析其受力如圖3所示,由于木塊始終處于靜止?fàn)顟B(tài),故有水平方向

豎直方向

根據(jù)題意有

聯(lián)立(1)～(5)式得

則

由(9)、(10)式可得

由(6)、(11)式可得當(dāng)

由此可見,不論θ取何值時(shí),木塊 A均不發(fā)生移動(dòng).由(8)式和(12)式得

圖4

例2.如圖4所示,長為 L的輕質(zhì)桿,兩端分別固定有質(zhì)量為m的小球A和B,A套在光滑豎直桿上,B套在光滑水平桿上.開始時(shí)桿與水平面成45°角,放手后A向下滑,B向右滑,求桿與水平面夾角為多大時(shí),B的速度vB最大?此時(shí)vB為多大?

圖5

解析:分別作出 A下滑到A′,B右滑到B′的速度矢量圖,設(shè) A′B′與水平面夾角為θ,如圖 5所示,由系統(tǒng)機(jī)械能守恒得

兩球沿桿方向運(yùn)動(dòng)速度相等v1=v3,即

由(1)、(2)式得

令 y=(2sin45°-2sinθ)sinθ sinθ. (4)

類型2:在電學(xué)中的應(yīng)用

例3.兩個(gè)等量帶正電的點(diǎn)電荷 q相距為d,求它們連線的垂直平分線上場強(qiáng)最大的位置.

圖6

解析:如圖 6所示,設(shè)兩點(diǎn)電荷連線的垂直平分線上的點(diǎn)C與兩點(diǎn)電荷的距離為L,點(diǎn) C處的場強(qiáng)為E,∠OAC=θ,則有

其中 k,q,r均為恒量.令 y=sinθ cos2θ,則

由(1)～(3)式可得最大場強(qiáng)為

圖7

例 4.如圖 7所示,ad、bc為相距為 l(l≤1)的平行導(dǎo)軌(電阻可忽略),a、b間連一阻值為R的電阻.長直細(xì)桿 MN可按任意角θ架在平行導(dǎo)軌上,并以平行于導(dǎo)軌的速度 v平移.桿 MN有電阻,單位長度的電阻為 R,整個(gè)導(dǎo)軌內(nèi)部空間充滿勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,方向垂直于紙面向里.

求:桿 MN上消耗的功率為最大時(shí)角θ的值.

解析:桿 MN上產(chǎn)生的電動(dòng)勢為

桿在電路中的電阻為

流過桿MN的電流強(qiáng)度為

由以上3式得桿MN上消耗的功率為

整理(4)式得