徑向諧和激勵下圓形隧道襯砌的動力穩定性＊

劉齊建，趙躍宇

（湖南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410082）

隨著城市人口的增加和城市現代化對環境的要求，地下鐵道建筑結構如區間隧道和車站結構的建設也顯著增多.1994年美國Northridge地震和1995年日本Kobe地震震害表明，地震時地下結構可能出現橫向動力失穩.地下結構地震動失穩的本質是結構在動力荷載下的限制失穩[1]，此時地下結構周圍土體的反應依賴于結構的變形，而地下結構的變形又受周圍土體約束，因此地下結構的動力失穩是結構－土動力相互作用問題.目前關于地下結構的橫向靜力穩定性和縱向動力穩定性研究已有一些文獻[2－6]，但針對地下結構地震動橫向失穩的研究還極少，對其失穩機理研究還不深入，同時也沒有相應的評價方法.

當隧道－土體系的參數作周期性變動時，可能造成系統出現參數共振.此時，參數共振發生在參數空間的若干個連續區域內，參數共振的響應頻率與外激勵頻率不一致，且參數共振方向與激勵方向正交[7－9].因為可能存在參數激勵頻率的一個完整區域，該區域對應于參數激振，所以研究地下結構的動力穩定性并尋找其臨界頻率顯得非常重要.

目前關于地下結構動力穩定性研究成果不多.Davis等在全面分析了1994年Northridge地震時大直徑管道的破壞形式和原因后，指出地震（特別是近場地震）時地下結構完全可能出現橫斷面內動力失穩，并給出了一種基于場地峰值加速度的擬靜力方法來計算橫斷面動力屈曲荷載[10].而后Davis等進一步研究了這類問題，他們針對地震時不同直徑埋管進行了震后調查，并建立了一種基于地震時場地應變破壞機制的地下埋管結構橫向動力穩定性分析的擬靜力方法[11].Genis針對某具體隧道的動力穩定性進行了數值計算[12].但由于影響地下結構地震動穩定性的原因很多，以上這些擬靜力方法對地下結構橫向動力穩定性研究還存在許多局限性.

本文擬結合圓形隧道襯砌的振動方程，分析徑向諧和激勵下隧道的動力穩定性，并分析激振參數對其動力穩定性的影響，以探討其動力失穩機理.

1 解析模型

本文考慮受徑向諧和激振荷載N＝N0＋Ntcos（θt）作用下的圓形隧道砌襯，如圖1所示，其半徑為R，襯砌厚度為t，襯砌單位長度上的質量為m.并假定：（a）隧道周圍地基為線彈性各向同性體；（b）隧道的彈性模量為Et；（c）隧道與周圍土體之間沒有滑動；（d）隧道與土體之間沒有脫空；（e）考慮平面應變問題.

圖1 彈性地基中的圓形隧道襯砌Fig.1 Circular tunnel linings in elastic foundations

根據文獻[8]和[13]關于圓環結構的振動方程，考慮隧道周圍土體的阻尼與約束作用，得圓形隧道襯砌的振動微分方程：

式中It為隧道的抗彎剛度，It＝πR3t；Et為隧道襯砌彈性模量；φ為從某點起計的轉角；K＝krR，kr為隧道周圍土體的徑向彈性抗力系數；c為阻尼系數.

計算隧道周圍土體的徑向彈性抗力系數kr時，應該考慮隧道發生失穩時的模態構形，故采用單一的Winkler地基彈性系數已經不能滿足要求，可采用以下計算公式計算[4]：

式中Es為土的彈性模量；n為發生動力失穩時圓形襯砌屈曲構形的波數；vs為土的泊松比.

2 求解方法

設襯砌的徑向位移u（φ；t）＝ff（t）sin（nφ），將之代入式（1），得：

式中

方程（3）已為眾多研究者所分析[8，14]，可以尋求其周期解.按形式尋求周期為2T的周期解，將級數代入式（3），令的同類項系數相等，可得關于ak和bk的線性齊次代數方程組，令其系數行列式為零，即得臨界頻率方程，解之得各階不穩定區域的邊界.求解臨界頻率方程一階行列式，即得隧道的第一振動頻率近似值：

其中λ＝ε／Ω.

同理，為決定由周期T的周期解所包圍的區域，可取代入式（3），令其系數行列式為零可得臨界頻率方程，解之得隧道襯砌的第二臨界振動頻率近似值：

3 方法驗證

為驗證本文關于圓形隧道動力穩定性的正確性，現將本文結果與文獻[8]對比，圖2為無阻尼情況下本文解答與文獻[8]關于隧道襯砌的不穩定區域對比.

圖2 無阻尼情況下圓形襯砌的不穩定區域Fig.2 Unstable zone of the circular linings with no damping

圖2顯示，無阻尼情況下按本文理論得到的圓形隧道襯砌的失穩區域與文獻[8]的解析解答吻合.這也表明，文獻[8]的解答是本文解答的特例.

應該指出的是，本文建模時，將土體簡化為線彈性各向同性體，其原因主要是為建模簡單.實際上，隧道周圍土體為各向異性體，并且在動力荷載作用下巖土材料表現出一定程度的塑性累積和滯脹性.但是在結構的非線性動力學分析時，如果考慮材料的各向異性和其動力特性弱化的話，所研究的問題將異常復雜[9].因此，本文僅考慮土體為彈性各向同性材料，以其從解析的角度，對徑向諧和荷載下圓形隧道襯砌的動力穩定性進行定性研究.

4 參數分析

從以上分析可看出，當圓形隧道襯砌在徑向諧和載荷下出現動力失穩時，其失穩特性將依賴于隧道－地基體系的各參數特性，以下分析隧道－地基體系各參數對隧道襯砌動力穩定性的影響.

4.1 隧道周圍土剛度對襯砌動力穩定性的影響

不同地基無量綱剛度Es／Et下隧道襯砌的動力曲線如圖3所示.圖3表明，隨著地基無量綱剛度Es／Et的增加，動力不穩定區域的寬度幾乎不會發生變化.這說明諧和激勵下隧道周圍土體的彈性模量對襯砌動力穩定性的加強作用有限，也表明通過加固隧道襯砌周圍土體的剛度幾乎不能改善襯砌的動力穩定性.

圖3 不同地基剛度下襯砌的動力曲線（vs＝0.1，R／t＝30，N0／Et＝0.08，Nt／Et＝0.05）Fig.3 Dynamic curve of the linings with different soil stiffness

4.2 地基泊松比對襯砌動力穩定性的影響

圖4給出了不同地基泊松比時隧道的動力曲線.可看出，隨著地基泊松比增加，不穩定區域不會發生明顯的變化，因此，地基泊松比對襯砌的動力穩定性影響不大.

圖4 不同地基泊松比時襯砌的動力曲線（Es／Et＝10－4，R／t＝30，N0／Et＝0.08，Nt／Et＝0.05）Fig.4 Dynamic curve of the linings with different Poisson’s ratio of the foundations

4.3 隧道徑厚比對襯砌動力穩定性的影響

圖5給出了隧道襯砌的動力失穩臨界頻率隨其徑厚比R／t的變化情況.可見，隨著徑厚比的增加，襯砌的不穩定區域的寬度開始基本不變，然后開始迅速增加.這表明，隨著襯砌半徑增加或厚度減小，其動力穩定性將降低.因此，對于大直徑的圓形隧道，有必要在滿足強度和靜力穩定性的同時，使襯砌保持一定厚度，以使其免于動力失穩.

圖5 不同徑厚比時襯砌的穩定圖（vs＝0.1，Es／Et＝10－4，N0／Et＝0.08，Nt／Et＝0.05）Fig.5 Stability figure of the linings with different radius－thickness ratio

4.4 激振荷載對襯砌動力穩定性的影響

圖6，圖7給出了隧道的動力失穩臨界頻率隨外激勵的變化情況.從圖中可看出，隨著外激勵N0的增加，隧道的不穩定區域寬度增大；當N0達到某值（如0.32），動力部穩定區域的寬度將無限大，此時無論體系和外激勵各參數如何，襯砌都將出現失穩；而后隨著N0的繼續增加，不穩定區域寬度減小，這說明隨著外加靜荷載的增加，將增加動力失穩的可能性；但是，當其超過某臨界值后，該荷載又將限制襯砌的動力失穩，而且該荷載越大，對動力失穩的限制效應就越強.

圖6 激振荷載N0對襯砌穩定性的影響（vs＝0.1，Es／Et＝10－4，R／t＝30，Nt／Et＝0.05）Fig.6 Effect of exciting loadsN0on the stability figure of the linings

隨著Nt的增加，不穩定區域的寬度增大，這表明周期激勵的振動幅值將增加襯砌的動力失穩可能.

綜合看來，外激勵對襯砌的動力穩定性影響較大.

4.5 阻尼對襯砌動力穩定性的影響

圖8給出了不同阻尼參數ε時隧道的穩定圖.可看出，隨著ε的增加，隧道的動力不穩定區域幾乎沒有變化.這說明隧道－地基系統的阻尼不能顯著增加襯砌動力穩定性，在工程實際中通過增加隧道－地基系統的阻尼不能改善襯砌的動力穩定性.

圖7 激振荷載Nt對襯砌穩定性的影響（vs＝0.1，Es／Et＝10－4，R／t＝30，N0／Et＝0.8）Fig.7 Effect of exciting loadsNton the stability figure of the linings

圖8 不同阻尼參數ε時襯砌的穩定圖（Es／Et＝10－4，R／t＝30，N0／Et＝0.2，Nt／Et＝0.05）Fig.8 Stability figure of the linings with different damp of the system

5 結 語

本文對徑向諧和激勵下圓形隧道襯砌的動力穩定性進行了研究，得到了隧道襯砌動力失穩時臨界頻率計算公式，對可能影響隧道襯砌動力穩定性的因素進行了參數分析，其結果表明：① 隧道周圍土體的性質，如彈性模量和泊松比，對襯砌的動力穩定性影響不大；②襯砌徑厚比對其動力不穩定區域的影響較大.在設計大直徑圓形隧道時，有必要在滿足強度和靜力穩定性的同時，使襯砌保持一定厚度，以使其免于動力失穩；③外激勵的大小將影響隧道的動力不穩定區域.隨著外激勵N0的增加，隧道的不穩定區域寬度將先增大，后減小.這說明，隨著外加靜荷載的增加，將先增加動力失穩的可能性，但是，當其超過某臨界值后，該荷載又將限制襯砌的動力失穩.周期激勵的振動幅值Nt將增加襯砌的動力失穩可能；④隧道－地基系統的阻尼不能顯著增加襯砌動力穩定性.

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