兆瓦級(jí)風(fēng)電偏航減速機(jī)行星齒輪疲勞仿真分析＊

鄂加強(qiáng)，李光明，張 彬，董江東，朱 浩

（湖南大學(xué) 機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410082）

對(duì)于將風(fēng)能轉(zhuǎn)化為電能的兆瓦級(jí)風(fēng)力發(fā)電機(jī)組來說，其關(guān)鍵部件之一的偏航減速器用來調(diào)整風(fēng)力發(fā)電機(jī)機(jī)頭的轉(zhuǎn)向以便獲得最大的風(fēng)力來源，其傳動(dòng)比大，傳遞扭矩大，工作環(huán)境惡劣，要求可靠性高、壽命長(zhǎng).而兆瓦級(jí)風(fēng)電偏航減速機(jī)行星齒輪則是實(shí)現(xiàn)偏航減速功能的主要零件，其材料的疲勞問題經(jīng)常出現(xiàn).

由于兆瓦級(jí)風(fēng)電偏航減速機(jī)行星齒輪形狀比較復(fù)雜，傳統(tǒng)的齒輪接觸強(qiáng)度計(jì)算均是以赫茲公式為基礎(chǔ)，通過對(duì)原始的赫茲公式加以變形及系數(shù)修正來獲得的，難以精確地求解出齒輪的接觸強(qiáng)度，因此采用傳統(tǒng)的計(jì)算方法不能確定兆瓦級(jí)風(fēng)電偏航減速機(jī)行星齒輪真實(shí)的應(yīng)力及變形分布規(guī)律.近年來，應(yīng)用新的計(jì)算軟件和3D建模技術(shù)[1－2]進(jìn)行風(fēng)電機(jī)組的仿真分析已成為有效的設(shè)計(jì)方式.目前國(guó)內(nèi)外針對(duì)齒輪疲勞破壞中出現(xiàn)幾率最高的齒面接觸疲勞強(qiáng)度問題[3－5]則普遍采用ANSYS軟件進(jìn)行疲勞壽命的總體預(yù)測(cè)和較準(zhǔn)確的應(yīng)力變形分析[6]，可為齒輪的疲勞壽命計(jì)算提供完整的應(yīng)力－時(shí)間歷程曲線，并且能夠進(jìn)行齒輪的動(dòng)態(tài)疲勞壽命計(jì)算.

為此，本文應(yīng)用ANSYS軟件建立兆瓦級(jí)風(fēng)電偏航減速機(jī)行星齒輪的研究模型，進(jìn)行偏航驅(qū)動(dòng)減速機(jī)中行星齒輪和太陽(yáng)輪嚙合的應(yīng)力分析及疲勞分析，并從彈性力學(xué)出發(fā)，用現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法研究兆瓦級(jí)風(fēng)電偏航減速機(jī)行星齒輪的受載變形情況和接觸強(qiáng)度，通過接觸疲勞試驗(yàn)計(jì)算分析找出點(diǎn)蝕的影響因素，其研究結(jié)果對(duì)兆瓦級(jí)風(fēng)電偏航減速機(jī)行星齒輪質(zhì)量、性能及壽命的提高具有重要的意義.

1 兆瓦級(jí)風(fēng)電偏航減速機(jī)行星齒輪接觸數(shù)值計(jì)算

根據(jù)其幾何特征和主要力學(xué)特性，選用兆瓦級(jí)風(fēng)電偏航減速機(jī)行星齒輪中的太陽(yáng)輪和行星齒輪的嚙合作為分析對(duì)象.兆瓦級(jí)風(fēng)電偏航減速機(jī)行星齒輪接觸界面非線性主要來源于：1）接觸界面的區(qū)域大小和相互位置以及接觸狀態(tài)不僅事先都是未知的，而且是隨時(shí)間變化的，需要在求解過程中確定.2）接觸條件的非線性.接觸條件的內(nèi)容包括：①接觸物體不可相互侵入；②接觸力的法向分量只能是壓力；③切向接觸的摩擦條件.

這些條件區(qū)別于一般約束條件，帶有強(qiáng)烈的非線性.因此，采用對(duì)稱罰函數(shù)法進(jìn)行兆瓦級(jí)風(fēng)電偏航減速機(jī)行星齒輪接觸數(shù)值分析.

1.1 兆瓦級(jí)風(fēng)電偏航減速機(jī)行星齒輪接觸數(shù)值計(jì)算條件

1）接觸界面與非嵌入條件.考慮兩齒輪A與B的接觸問題，其現(xiàn)時(shí)構(gòu)形分別為VA和VB，邊界面分別為AA和BB，接觸面記為AC＝AA∩AB，如圖1所示.

圖1 兩物體接觸示意圖Fig.1 Schematic diagram of the two objects in contact

太陽(yáng)輪A為主體（Master），其接觸面為主動(dòng)面，行星齒輪B為從體（Slave），其接觸面為從動(dòng)面.A與B接觸時(shí)的非嵌入條件可以表示為：

式（1）說明，太陽(yáng)輪A與行星齒輪B不能互相重疊，由于事先無法確定兩齒輪在哪一點(diǎn)接觸，因此大變形問題中無法將非嵌入條件表示成位移的代數(shù)或微分方程，只能在每一時(shí)間步對(duì)比AC面上齒輪A與B對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)，或?qū)Ρ人俾蕘韺?shí)現(xiàn)位移協(xié)調(diào)條件：

或

式中下標(biāo)N表示接觸法向.

2）接觸界面力條件.由牛頓第三定律，接觸面力應(yīng)滿足：

式中tNA與tBN分別為齒輪 A 與B的法向接觸力；tTA與tTB分別為齒輪A與B的切向接觸力.

1.2 兆瓦級(jí)風(fēng)電偏航減速機(jī)行星齒輪接觸問題有限元數(shù)值計(jì)算方法

兆瓦級(jí)風(fēng)電偏航減速機(jī)行星齒輪接觸數(shù)值計(jì)算的實(shí)現(xiàn)過程如下：

1）如圖2（a）所示，在齒輪碰撞體中選取任意一從節(jié)點(diǎn)nS，搜索與其最靠近的主節(jié)點(diǎn)mS.

2）檢查與主節(jié)點(diǎn)mS有關(guān)的所有主單元面，確定從節(jié)點(diǎn)nS穿透主表面時(shí)可能接觸的主單元表面，如圖2（b）所示.若主節(jié)點(diǎn)mS與從節(jié)點(diǎn)nS不重合，當(dāng)滿足不等式（5）時(shí)，從節(jié)點(diǎn)nS與主單元面Si接觸.

式中Ci和Ci＋1是主單元面上在mS點(diǎn)的兩條邊矢量；矢量S是矢量g在主單元面上的投影；g為主節(jié)點(diǎn)mS指向從節(jié)點(diǎn)nS的矢量，如式（6）所示：

圖2 從節(jié)點(diǎn)與主面接觸示意圖Fig.2 Schematic diagram of the from node and the main surface in contact

對(duì)于主單元面Si，則式（6）中m如式（7）所示：

如果nS接近或位于兩個(gè)主單元面的交線上，式（5）可能不確定.在這種情況下，若nS位于兩個(gè)主單元面的交線上，則S取極大值，即

3）確定從節(jié)點(diǎn)nS在主單元面Si上的接觸點(diǎn)c的位置.主單元面Si上任一點(diǎn)位置矢量如式（9）所示：

式中t為主單元面Si上不同于矢量r的任意矢量.

4）檢查從節(jié)點(diǎn)是否穿透主面.若l＝ni[tr（ξc，ηc）]＜0成立，則表示從節(jié)點(diǎn)nS穿透含有接觸點(diǎn)c（ξc，ηc）的主單元面Si；其中ni是接觸點(diǎn)處主單元面的外法線單位矢量如式（11）所示：

若l≥0，則表示從節(jié)點(diǎn)ni沒有穿透主單元面，即兩齒輪沒有發(fā)生碰撞－接觸，不做任何處理，從節(jié)點(diǎn)ni處理結(jié)束，開始搜索下一個(gè)從節(jié)點(diǎn)ni＋1.從節(jié)點(diǎn)與主單元面的關(guān)系如圖3所示.

圖3 從節(jié)點(diǎn)與主單元面的關(guān)系圖Fig.3 Diagram of the from node and the main unit plane

5）若從節(jié)點(diǎn)穿透主面，則在從節(jié)點(diǎn)nS和接觸點(diǎn)c之間施加法向接觸力為：

式中ki為主單元面的剛度因子，可用式（13）表示：

式中Ki為接觸單元的體模量；Ai為主單元面面積；Vi為主單元體積；Li為板殼單元最大對(duì)角線長(zhǎng)度；f為接觸剛度比例因子.f取值過大時(shí)，可能導(dǎo)致數(shù)值計(jì)算的不穩(wěn)定，除非縮短時(shí)間步長(zhǎng).

在從節(jié)點(diǎn)nS上附加法向接觸力矢量fS，再根據(jù)牛頓第三定律，在主單元面的接觸點(diǎn)c上作用一個(gè)反方向的力——fS，按照式（14）將c點(diǎn)的接觸力等效分配到主單元面Si的4個(gè)主節(jié)點(diǎn)上，記為fjm，j＝1，2，3，4（單元第j個(gè)節(jié)點(diǎn)），則

式中φj（ξc，ηc）為主單元面上的二維形函數(shù)，且在接觸點(diǎn)c有∑φj（ξc，ηc）＝1.

6）摩擦力計(jì)算.從節(jié)點(diǎn)nS的法向接觸力為fS，則它的最大摩擦力為FY＝μ｜fS｜，μ為摩擦因數(shù).設(shè)在上一時(shí)刻tn從節(jié)點(diǎn)nS的摩擦力為Fn，則當(dāng)前時(shí)刻tn＋1可能產(chǎn)生的摩擦力（試探摩擦力）F＊＝Fn－kΔe，k為界面剛度，當(dāng)前時(shí)刻tn＋1的摩擦力Fn＋1由式（15）確定：

按照作用力與反作用力原理，計(jì)算主單元面上4個(gè)主節(jié)點(diǎn)的摩擦力.若靜摩擦因數(shù)為μS，動(dòng)摩擦因數(shù)為μd，用指數(shù)插值函數(shù)來使兩者平滑過渡，如式（16）所示：

式中V＝Δe／Δt，Δt為時(shí)間步長(zhǎng)；C為衰減因子.

7）將接觸力矢量fS，fjm（j＝1，2，3，4）和摩擦力矢量投影到總體坐標(biāo)軸方向，得到節(jié)點(diǎn)力總坐標(biāo)方向向量，組集到總體載荷矢量Pf中，進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析.

為了驗(yàn)證下面數(shù)值有限元分析計(jì)算結(jié)果的可靠性，同時(shí)節(jié)省實(shí)驗(yàn)時(shí)間與費(fèi)用，本文對(duì)行星齒輪和太陽(yáng)輪的初始接觸應(yīng)力進(jìn)行了理論估算.

齒面接觸應(yīng)力的計(jì)算是以兩圓柱體接觸時(shí)的最大接觸應(yīng)力推導(dǎo)出來的.接觸區(qū)的最大接觸應(yīng)力σH可根據(jù)彈性力學(xué)中的知識(shí)計(jì)算：

式中b為配對(duì)齒輪的寬度，mm；Fn為配對(duì)齒輪接觸面的法向力，N；ZE為配對(duì)齒輪的材料系數(shù)，滿足：，其中μ1，μ2為配對(duì)齒輪材料的泊松比，E1，E2分別為兩齒輪材料的彈性模量，MPa；ρ為綜合曲率半徑，ρ＝ρ1ρ2／（ρ1＋ρ2），ρ1，ρ2為兩圓柱體接觸處的曲率半徑，±號(hào)分別表示外接觸或內(nèi)接觸.

根據(jù)湖南某機(jī)械公司提供的各個(gè)參數(shù)，計(jì)算轉(zhuǎn)速在1 000r／min，初始最大接觸應(yīng)力為：σH＝405.63MPa.

2 兆瓦級(jí)風(fēng)電偏航減速機(jī)行星齒輪接觸數(shù)值仿真分析

2.1 兆瓦級(jí)風(fēng)電偏航減速機(jī)行星齒輪接觸數(shù)值仿真模型建立

兆瓦級(jí)風(fēng)電偏航驅(qū)動(dòng)減速機(jī)整體裝配模型和一級(jí)行星傳動(dòng)部分的裝配模型如圖4所示.其材料屬性中的泊松比為0.3，內(nèi)徑D1＝66mm，外徑D2＝78.5mm，厚度為H＝40mm，其他材料屬性見表1和表2.

表1 各齒輪基本參數(shù)Tab.1 The gears basic parameters

表2 齒輪材料屬性Tab.2 The gears material attribute

圖4 兆瓦級(jí)風(fēng)電偏航驅(qū)動(dòng)減速機(jī)虛擬模型Fig.4 The virtual model of MW wind power yaw reducer

考慮到直齒齒輪可轉(zhuǎn)化為平面問題，故選用二維4節(jié)點(diǎn)板單元PLANE42建立太陽(yáng)輪和行星齒輪面模型.為避免可能出現(xiàn)應(yīng)力集中的區(qū)域及應(yīng)力梯度高的區(qū)域應(yīng)布置較密的網(wǎng)格，在應(yīng)力變化平緩的區(qū)域，布置較稀疏的網(wǎng)格，得到如圖5所示兆瓦級(jí)風(fēng)電偏航驅(qū)動(dòng)減速機(jī)接觸應(yīng)力分析網(wǎng)格.

圖5 二維行星齒輪網(wǎng)格劃分Fig.5 Meshing of two－dimensional planetary gear

2.2 兆瓦級(jí)風(fēng)電偏航減速機(jī)行星齒輪接觸有限元結(jié)果分析

根據(jù)兆瓦級(jí)風(fēng)電偏航減速機(jī)的設(shè)計(jì)要求，額定輸入功率為3.5kW，額定輸入轉(zhuǎn)速為1 000r／min（6 000°／s），總減速比為1 150.由轉(zhuǎn)矩公式T＝9.55×106×P／N，其中P為功率（kW），N為轉(zhuǎn)速（r／min），T為轉(zhuǎn)矩或扭矩（N·mm），得減速機(jī)的輸出轉(zhuǎn)速為0.87r／min（5.2°／s），額定輸入轉(zhuǎn)矩為33 425N·mm.

兆瓦級(jí)風(fēng)電偏航減速機(jī)行星齒輪接觸有限元計(jì)算結(jié)束后，兆瓦級(jí)風(fēng)電偏航減速機(jī)行星齒輪接觸變形分布、接觸節(jié)點(diǎn)位移分布、行星齒輪嚙合過程的接觸應(yīng)力分布和行星齒輪嚙合過程的等效應(yīng)力分布如圖6所示.

圖6（a）和 （b）表明，兆瓦級(jí)風(fēng)電偏航減速機(jī)行星齒輪初始嚙合接觸時(shí)，擠壓產(chǎn)生應(yīng)力，此時(shí)應(yīng)力最大值主要集中在行星齒輪的齒頂一側(cè)，接觸點(diǎn)上的最大接觸應(yīng)力為395MPa，而傳統(tǒng)計(jì)算值為405.63 MPa，誤差在5%的范圍內(nèi)，考慮到傳統(tǒng)計(jì)算在計(jì)算系數(shù)的選取過程中會(huì)帶來的一定誤差，故兆瓦級(jí)風(fēng)電偏航減速機(jī)行星齒輪接觸模擬結(jié)果較為可信.

圖6 兆瓦級(jí)風(fēng)電偏航減速機(jī)行星齒輪接觸有限元計(jì)算結(jié)果Fig.6 Finite element simulation results of MW wind power yaw planetary gear reducer’s contact

圖6（c）和（d）表明，隨著行星齒輪嚙合的繼續(xù)進(jìn)行，產(chǎn)生接觸應(yīng)力的范圍不斷擴(kuò)大，此時(shí)最大應(yīng)力急速增大至460MPa以上，小于行星齒輪材料的屈服極限.在應(yīng)力集中部分將不會(huì)產(chǎn)生塑性流動(dòng)及引發(fā)行星齒輪齒面塑性變形.

3 行星齒輪疲勞分析

在交變載荷重復(fù)作用下，材料或結(jié)構(gòu)仍然會(huì)發(fā)生疲勞破壞，風(fēng)力發(fā)電設(shè)備要求其運(yùn)行壽命較長(zhǎng)，因而其疲勞分析顯得尤為重要.

根據(jù)齒輪嚙合原理，齒輪在傳動(dòng)過程中，輪齒受到脈動(dòng)載荷的作用，即當(dāng)輪齒進(jìn)入到嚙合狀態(tài)時(shí)，輪齒要受到載荷的作用，而輪齒一旦脫離嚙合，受到的載荷則變?yōu)榱?因此，輪齒的接觸應(yīng)力為交變應(yīng)力.根據(jù)以上獲得的接觸應(yīng)力值，利用ANSYS的疲勞分析計(jì)算模塊對(duì)其進(jìn)行接觸疲勞壽命分析.為此，選擇產(chǎn)生最大接觸應(yīng)力的節(jié)點(diǎn)為分析點(diǎn)，因?yàn)槠诹鸭y往往容易先在此處萌生.疲勞分析還需疲勞特性參數(shù)即S－N曲線[7－9].

在齒輪疲勞試驗(yàn)中用疲勞曲線 （S－N或R－S－N或C－R－S－N）表征疲勞破壞的應(yīng)力S和疲勞壽命N之間的關(guān)系.接觸應(yīng)力的分析和計(jì)算目前一般仍采用赫茲公式或者是赫茲公式的修正公式[10]，但應(yīng)考慮到切向載荷等影響，并且接觸應(yīng)力應(yīng)該計(jì)算齒面抗點(diǎn)蝕能力最弱的危險(xiǎn)點(diǎn)處的應(yīng)力.

S－N曲線是根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法，對(duì)預(yù)先設(shè)計(jì)好的在不同應(yīng)力水平下獲得的適當(dāng)數(shù)量試件的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理后得出的，表示應(yīng)力與壽命的關(guān)系.

如圖7所示，S－N曲線由水平段和傾斜段組成，其左側(cè)傾斜段表示有限循環(huán)次數(shù)下的極限應(yīng)力，稱為條件疲勞極限；右側(cè)水平段表示持久疲勞極限，曲線的拐點(diǎn)對(duì)應(yīng)的應(yīng)力總循環(huán)次數(shù)稱為循環(huán)基數(shù)N0.

圖7 材料S－N曲線Fig.7 TheS－Ndiagram of the material

疲勞壽命試驗(yàn)中傾斜段的應(yīng)力與壽命的關(guān)系通常具有如下的冪函數(shù)形式[11－15]：

式中S為極限接觸應(yīng)力（即將要發(fā)生擴(kuò)展性點(diǎn)蝕時(shí)的最大接觸應(yīng)力）；S0為常數(shù)，可近似代表疲勞極限；N為S對(duì)應(yīng)的應(yīng)力總循環(huán)次數(shù)；m為指數(shù)；C為常數(shù).

當(dāng)S0＝0時(shí)，式（18）就變成二參數(shù)的冪函數(shù)形式，稱為Basquin公式.將式（17）兩邊取對(duì)數(shù)，得

令X＝ln（S－S0），Y＝lnN，a＝lnC，b＝－m，則有

采用如表3所示的42CrMo材料特性參數(shù)對(duì)齒輪進(jìn)行S－N曲線分析.

表3 42CrMo材料特性參數(shù)Tab.3 42CrMo material parameters

選擇產(chǎn)生最大接觸應(yīng)力的節(jié)點(diǎn)為分析點(diǎn)，因?yàn)槠诹鸭y往往容易先在此處萌生.打開ANSYS的后處理器，打開S－NTable命令 Main Menu／General Postproc／Fatigue／Property Table／S－N Table，進(jìn)入“S－N表”對(duì)話框，將其輸入，如圖8所示，然后由坐標(biāo)值得到節(jié)點(diǎn)號(hào)：Utility Menu／Parameters／Scalar Parameters.再指定最大接觸應(yīng)力位置，從數(shù)據(jù)庫(kù)中提取應(yīng)力值，保存好應(yīng)力值后，設(shè)置好事件的重復(fù)次數(shù)，最后進(jìn)行疲勞計(jì)算：Main Menu／General Postproc／Fatigue／Calculate Fatig.經(jīng)過疲勞壽命分析計(jì)算，可以得出的疲勞分析結(jié)果文件，從結(jié)果文件可以看出，計(jì)算所得出的該材料齒輪輪齒的疲勞壽命為125 800次，累計(jì)疲勞系數(shù)為0.725 01.顯然，其抗疲勞性能較好，能滿足兆瓦級(jí)風(fēng)電偏航減速機(jī)行星齒輪設(shè)計(jì)與運(yùn)行要求.

圖8 疲勞S－NTable對(duì)話框Fig.8 Dialog box of fatigueS－Ntable

4 結(jié) 語

1）本文先用Pro／E和ANSYS軟件對(duì)總體偏航減速機(jī)進(jìn)行了裝配和仿真分析，得到了動(dòng)力學(xué)仿真分析結(jié)果圖（圖4），驗(yàn)證了整個(gè)偏航減速機(jī)的模擬運(yùn)行良好，為下一步運(yùn)用ANSYS軟件進(jìn)行接觸和疲勞分析打下了良好的基礎(chǔ).

2）采用ANSYS有限元技術(shù)對(duì)行星齒輪接觸問題進(jìn)行分析，得到了齒輪嚙合過程的接觸應(yīng)力分布和等效應(yīng)力云圖（圖6），從圖中可以看出行星齒輪初始嚙合接觸時(shí)，擠壓產(chǎn)生的應(yīng)力值，此時(shí)應(yīng)力最大值主要集中在行星齒輪的齒頂一側(cè)，接觸點(diǎn)上的最大接觸應(yīng)力為395MPa，并隨著行星齒輪嚙合的繼續(xù)進(jìn)行，產(chǎn)生接觸應(yīng)力的范圍不斷擴(kuò)大，此時(shí)最大應(yīng)力急速增大至460MPa以上，略小于行星齒輪材料的屈服極限.故兆瓦級(jí)風(fēng)電偏航減速機(jī)行星齒輪接觸模擬結(jié)果較為可信，有助于優(yōu)化行星齒輪的設(shè)計(jì).

3）通過有限元法對(duì)行星齒輪進(jìn)行了疲勞仿真分析，獲得了行星齒輪的疲勞壽命次數(shù)為125 800次和累計(jì)疲勞系數(shù)為0.725 01.從計(jì)算結(jié)果可以看出，以42CrMo為材料的行星齒輪在一定轉(zhuǎn)矩下的抗疲勞特性符合工業(yè)設(shè)計(jì)的要求，驗(yàn)證了研究機(jī)理是切實(shí)可行的.對(duì)行星齒輪的疲勞壽命和可靠性的確定有一定價(jià)值，對(duì)提高齒輪的設(shè)計(jì)質(zhì)量，降低設(shè)計(jì)費(fèi)用，縮短開發(fā)周期，具有實(shí)際意義.

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